数学必修 第二册7.2 复数的四则运算导学案及答案

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7.2.1复数的加、减运算及其几何意义
导学案
编写：廖云波 初审：孙锐 终审：孙锐 廖云波
【学习目标】
1.熟练掌握复数的代数形式的加、减法运算法则
2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
【自主学习】
知识点1 复数的加、减法法则及几何意义与运算律
z1，z2，z3∈C，设，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)相对应，且，不共线

加法
减法
运算法则
z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i
z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i
几何意义

复数的和z1＋z2与向量＋＝的坐标对应

复数的差z1－z2与向量－＝的坐标对应
运算律
交换律
z1＋z2＝z2＋z1

结合律
(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)


【合作探究】
探究一 复数加、减法的运算
【例1】(1)计算(2＋4i)＋(3－4i)；
(2)计算(－3－4i)＋(2＋i)－(1－5i).
解　(1)原式＝(2＋3)＋(4－4)i＝5.
(2)原式＝(－3＋2－1)＋(－4＋1＋5)i＝－2＋2i.

归纳总结：

【练习1】计算(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i).
解　方法一　原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 011－2 012)＋(－2＋3－4＋5＋…－2 012＋2 013)i＝－1 006＋1 006i.
方法二　(1－2i)－(2－3i)＝－1＋i，
(3－4i)－(4－5i)＝－1＋i，…，
(2 011－2 012i)－(2 012－2 013i)＝－1＋i.
将上列1 006个式子累加可得
原式＝1 006(－1＋i)＝－1 006＋1 006i.


探究二 复数加、减法的几何意义
【例2】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：

(1)所表示的复数，所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)对角线所表示的复数及的长度.
解　(1)因为＝0－(3＋2i)＝－3－2i，
所以所表示的复数为－3－2i.
因为＝，
所以所表示的复数为－3－2i.
(2)因为＝－，
所以所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为对角线＝＋＝＋，
所以所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
所以||＝＝.

归纳总结：

【练习2】满足条件|z＋1－i|＝|4－3i|的复数z在复平面内对应的点的轨迹是(　　)
A.一条直线 B.两条直线
C.一个圆 D.一个椭圆
【答案】　C
解析　根据复数减法的几何意义，|z＋1－i|表示复平面内复数z对应的点Z到点(－1,1)的距离，而|4－3i|表示复数4－3i的模，等于5，故满足|z＋1－i|＝5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，5为半径的圆.

探究三 复数加、减法的综合应用
【例3】已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①
(a－c)2＋(b－d)2＝1，②
由①②得2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|＝
＝＝.
方法二　设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝||
＝ ＝.

归纳总结：

【练习3】已知|z1|＝|z2|＝1，z1＋z2＝＋i，求复数z1，z2及|z1－z2|.
解　由于|z1＋z2|＝＝1，设z1，z2，z1＋z2对应的向量分别为，，，则因||＝||＝||＝1，故A，B，C三点均在以原点为圆心，1为半径的圆上，如图所示，由平行四边形法则和余弦定理易得

cos∠AOC＝＝，
故∠AOC＝60°，所以平行四边形OACB为菱形，且△BOC，△COA都是等边三角形，即∠AOB＝120°.
又∵与x轴正半轴的夹角为60°，故点A在x轴上，即A(1,0).
而xB＝||cos 120°＝－，yB＝||sin 120°＝，
∴B的坐标为.
∴或
方法一　|z1－z2|＝＝.
方法二　由结论|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)知，|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2－|z1＋z2|2＝3，
∴|z1－z2|＝.
方法三　由余弦定理可得
||2＝||2＋||2－2||||cos 120°＝3，
又∵z1－z2＝－＝，
∴|z1－z2|＝||＝||＝.


课后作业
A组 基础题
一、选择题
1.若复数z满足z＋i－3＝3－i，则z等于(　　)
A.0 B.2i
C.6 D.6－2i
【答案】　D
解析　z＝3－i－(i－3)＝6－2i.
2.复数i＋i2在复平面内表示的点在(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
【答案】　B
解析　i＋i2＝－1＋i，对应的点在第二象限.
3.在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为(　　)
A.2＋8i B.－6－6i
C.4－4i D.－4＋2i
【答案】　C
解析　＝－＝－(＋)＝3＋2i－(1＋5i－2＋i)＝4－4i.
∴表示的复数为4－4i.
4.若|z－1|＝|z＋1|，则复数z对应的点在(　　)
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
【答案】　B
解析　∵|z－1|＝|z＋1|，∴点Z到(1,0)和(－1,0)的距离相等，即点Z在以(1,0)和(－1,0)为端点的线段的中垂线上.
5.复数z1＝2－i，z2＝－2i，则z1＋z2等于(　　)
A.0 B.＋i
C.－i D.－i
【答案】　C
解析　z1＋z2＝－i＝－i.
6.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于(　　)
A.1＋i B.1＋3i
C.－1－i D.－1－3i
【答案】　B
解析　z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
7.复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于(　　)
A.2 B.2＋2i
C.4＋2i D.4－2i
【答案】　C
8.设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，当z1＋z2＝0时，复数a＋bi为(　　)
A.1＋i B.2＋i
C.3 D.－2－i
【答案】　D
解析　由得∴a＋bi＝－2－i.
二、填空题
9.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝ .
【答案】　－1
解析　z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i(a∈R)为纯虚数，∴解得a＝－1.
10.若复数z1＋z2＝3＋4i，z1－z2＝5－2i，则z1＝ .
【答案】　4＋i
解析　两式相加得2z1＝8＋2i，∴z1＝4＋i.
11.若|z－2|＝|z＋2|，则|z－1|的最小值是 .
【答案】　1
解析　由|z－2|＝|z＋2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(－2,0)距离相等的点，即虚轴.|z－1|表示z对应的点与(1,0)的距离.∴|z－1|min＝1.
12.如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是 .
【答案】　＋i
解析　设这个复数为x＋yi(x，y∈R)，
∴x＋yi＋＝5＋i，
∴∴
∴x＋yi＝＋i.
三、解答题
13．计算：
(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)；
(2)4－(5＋12i)－i；
(3)若z－(－3＋5i)＝－2＋6i，求复数z.
[解]　(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i＝3＋7i.
(2)4－(5＋12i)－i＝(4－5)＋(－12－1)i＝－1－13i.
(3)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为z－(－3＋5i)＝－2＋6i，所以(x＋yi)－(－3＋5i)＝－2＋6i，
即(x＋3)＋(y－5)i＝－2＋6i，因此
解得于是z＝－5＋11i.
法二：由z－(－3＋5i)＝－2＋6i
可得z＝－2＋6i＋(－3＋5i)，
所以z＝(－2－3)＋(6＋5)i＝－5＋11i.
14.已知ABCD是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，求点D对应的复数.
解　方法一　设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，
则D(x，y)，又由已知A(1,3)，B(0，－1)，C(2,1).
∴AC中点为，BD中点为.
∵平行四边形对角线互相平分，
∴∴即点D对应的复数为3＋5i.
方法二　设D点对应的复数为x＋yi(x，y∈R).
则对应的复数为(x＋yi)－(1＋3i)
＝(x－1)＋(y－3)i，
又对应的复数为(2＋i)－(－i)＝2＋2i，
由于＝.∴(x－1)＋(y－3)i＝2＋2i.
∴∴即点D对应的复数为3＋5i.

B组 能力提升
一、选择题
1.如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是(　　)
A.1 B.
C.2 D.
【答案】　A
解析　设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，Z1Z2＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值.

因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，Z0Z3＝1.故选A.
2.复平面内点A，B，C对应的复数分别为i,1,4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作▱ABCD，则||等于(　　)
A.5 B. C. D.
【答案】　B
解析　如图，

设D(x，y)，F为▱ABCD的对角线的交点，则点F的坐标为，
所以即
所以点D对应的复数为z＝3＋3i，
所以＝－＝(3,3)－(1,0)＝(2,3)，
所以||＝.
3．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为(　　)
A．0 B．1
C． D．
【答案】C　[由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为.]
4．(多选题)已知i为虚数单位，下列说法中正确的是(　　)
A．若复数z满足|z－i|＝，则复数z对应的点在以(1,0)为圆心，为半径的圆上
B．若复数z满足z＋|z|＝2＋8i，则复数z＝15＋8i
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数z1对应的向量为，复数z2对应的向量为，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则⊥
【答案】CD　[满足|z－i|＝的复数z对应的点在以(0,1)为圆心，为半径的圆上，A错误；在B中，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则|z|＝.由z＋|z|＝2＋8i，得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i，B错误；由复数的模的定义知C正确；由|z1＋z2|＝|z1－z2|的几何意义知，以，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正确．故选CD．]
二、填空题
5．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
【答案】－4i　[设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则所以所以z＝－4i.]
三、解答题
6．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长．

[解]　如图所示.
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.

7.集合M＝{z||z－1|≤1，z∈C}，N＝{z||z－1－i|＝|z－2|，z∈C}，集合P＝M∩N.
(1)指出集合P在复平面上所表示的图形；
(2)求集合P中复数模的最大值和最小值.
解　(1)由|z－1|≤1可知，集合M在复平面内所对应的点集是以点E(1,0)为圆心，以1为半径的圆的内部及边界；由|z－1－i|＝|z－2|可知，集合N在复平面内所对应点集是以点(1,1)和(2,0)为端点的线段的垂直平分线l，因此集合P是圆面截直线l所得的一条线段AB，如图所示.

(2)圆的方程为x2＋y2－2x＝0，
直线l的方程为y＝x－1.
解得
A(，)，B(，－).
∴|OA|＝，|OB|＝.
∵点O到直线l的距离为，且过O向l作垂线，垂足在线段BE上，∴<.
∴集合P中复数模的最大值为，最小值为.
8．在复平面内，A，B，C三点所对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i，其中i为虚数单位．
(1)求，，对应的复数；
(2)判断△ABC的形状；
(3)求△ABC的面积．
[解]　(1)对应的复数为2＋i－1＝1＋i，
对应的复数为－1＋2i－(2＋i)＝－3＋i，
对应的复数为－1＋2i－1＝－2＋2i.
(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，
∴||2＋||2＝||2，∴△ABC为直角三角形．
(3)S△ABC＝××2＝2.