人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算精品课后测评

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知识点一 概念
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1. 向量的概念
在数学中，既有大小又有方向的量叫做向量，只有大小没有方向的量称为数量.
2. 向量的几何表示
通常，在线段的两个端点中，规定一个顺序，假设为起点，为终点，
我们就说线段具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.
向量可以用有向线段来表示，记作向量. 有向线段的长度表示向量的大小，叫做向量的长度（或模）；有向线段的方向表示向量的方向. 向量也可以用，，，…表示
3.特殊向量：
长度为0的向量叫做零向量，记作.
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.
4. 相等向量与共线向量
平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
用有向线段表示的向量与是两个平行向量，
向量与平行，记作.
我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，
用有向线段表示的向量与相等，记作.
重点题型一
1．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则不是共线向量
2．给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若，则；
③在四边形中，若，则四边形是平行四边形；
④平行四边形中，一定有；
⑤若，，则；⑥若，，则
其中不正确的命题的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．设是非零向量，分别是的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．或
C．D．
4．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A、B、C、D、E、F、O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
知识点二 向量的运算
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重点题型二
1.如图，在四边形ABCD中，，设，，则等于（ ）
A．B．
C．D．
2. 如图，四边形ABCD是一个梯形，eq \(AB,\s\up16(→))∥eq \(CD,\s\up16(→))且|eq \(AB,\s\up16(→))|＝2|eq \(CD,\s\up16(→))|，M，N分别是DC，AB的中点，已知eq \(AB,\s\up16(→))＝e1，eq \(AD,\s\up16(→))＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)eq \(AC,\s\up16(→))＝________；(2)eq \(MN,\s\up16(→))＝________.
3.
知识点三 平面向量基本定理及性质
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1、共线向量基本定理
如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．
2、平面向量基本定理
如果和是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量，都存在唯一的一对实数，使得，我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为，叫做向量关于基底的分解式．
3、三点共线定理
平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．
A、B、C三点共线
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在唯一的实数，使得；
存在，使得．
4、中线向量定理
如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确．
D
A
C
B
重点题型三
1．已知向量是平面内所有向量的一组基底，则下面的四组向量中，不能作为基底的是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知是两个不共线的向量，，，若，则（ ）
A．B．2C．D．
3．已知，是平面内两个不共线的向量，，，，且A，C，D三点共线，则（ ）
A．B．2C．4D．
4. 如图所示，中，点是线段BC的中点，是线段AD的靠近的三等分点，则（ ）

A．B．C．D．
知识点四 平面向量的坐标表示及坐标运算
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（1）平面向量的坐标表示．
在平面直角坐标中，分别取与轴，轴正半轴方向相同的两个单位向量作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量，有且只有一对实数使，我们把有序实数对叫做向量的坐标，记作．
（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的。
（3）设，，则，，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．
若，为实数，则，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．
（4）设，，则=，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．
（5）平面向量的坐标运算
①已知点，，则
，
②已知，，则
，，
，．
平行：
垂直：
重点题型四
1.已知向量，，下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．与向量平行的单位向量仅有D．向量在向量上的投影向量为
2．已知向量则下列说法正确的是（ ）
A．的相反向量是 B．若，则
C．在上的投影向量为 D．若，则
3.已知非零向量 ,满足，且 则的夹角为（ ）
A．45°B．135°
C．60°D．120°
知识点五 平面向量的应用
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1.平面向量在平面几何的应用
(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.
如下“翻译”：
(1)证明直线平行或共线：AB//CD⇔AB//CD
(2)证明直线垂直：AB⊥CD⟺AB⋅CD=0
(3)求线段比值：ABCD=λ且AB//CD⇔ AB=λCD
(4)证明线段相等： AB2=CD2⇔AB=CD
2.平面向量在物理的应用
（1）速度、力是向量，都可以转化为向量问题；
（2）力的合成与分解符合平行四边形法则.
重点题型五
1.在四边形ABCD中，若AB+CD=0,AC⋅BD=0，则四边形为（ ）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．菱形
2.平面上三个力F1,F2,F3作用于一点且处于平衡状态.|F1⃗=1N，|F2⃗|=3N，F1与F2的夹角为150°，则F3=（ ）
A．1NB．3NC．5ND．7N
3.如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE垂直AB于点E，PF垂直BC于点F．求证：PD⊥EF．

知识点六 正弦定理、余弦定理
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1.正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
正弦定理
eq \f(a,sin A)＝ eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)＝2R.
变形：①a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C；
②a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
③ eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝ eq \f(a,sin A)＝2R.
余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc csA；b2＝c2＋a2－2ca csB；c2＝a2＋b2－2ab csC
变形：cs A＝ eq \f(b2＋c2－a2,2bc)；cs B＝ eq \f(c2＋a2－b2,2ac)；cs C＝ eq \f(a2＋b2－c2,2ab)
2.常用结论
(1)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B．
(2)三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝b cs C＋c cs B；
b＝a cs C＋c cs A；
c＝b cs A＋a cs B．
(3)内角和公式的变形
sin (A＋B)＝sin C；
cs (A＋B)＝－cs C.
3.三角形常用面积公式
(1)S＝ eq \f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝ eq \f(1,2)ab sin C＝ eq \f(1,2)ac_sin_B＝ eq \f(1,2)bc_sin_A；
(3)S＝ eq \f(1,2)r(a＋b＋c)(r为内切圆半径).
重点题型六
1.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,若a=3,b=2,B=π4,则A=( )
A.π6 B.π3 C.π6或5π6 D.π3或2π3
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则A+B的大小为（ ）
A．B．C．D．
3.已知在中，分别是角的对边，若，则是（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．等腰直角三角形D．有一个内角是的直角三角形
4.（多选）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是( )
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角的余弦值是最小内角的余弦值的12
D.cs A∶cs B∶cs C=12∶9∶2
5.在△ABC中,BC=6,A=π3,sin B=2sin C,则△ABC的面积为( )
A.63B.6C.93D.42
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律
线性运算
加法
求两个向量和的运算
三角形法则平行四边形法则
①交换律
②结合律
减法
求与的相反向量的和的运算叫做与的差
三角形法则
数乘
求实数与向量的积的运算
（1）
（2）当时，与的方向相同；
当时，与的方向相同；
当时，
非线性运算
数量积
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积
=
规定：零向量与任一向量的数量积为0．