人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算精品学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算精品学案，共9页。学案主要包含了学习目标，教材知识梳理，质疑辨析，教材例题变式，教材拓展延伸，课外作业等内容，欢迎下载使用。
理解向量数乘的概念，了解向量数乘的运算律；
了解线性运算的概念及其运算律；
3. 理解向量共线定理，并会用之解决两个向量的共线问题。
【教材知识梳理】
一．向量的数乘运算
1．向量的数乘运算的概念
一般地，规定实数λ与向量a的积是一个 ，这种运算叫做向量的数乘，记作 ，它的长度与方向规定如下：
(1)|λa|＝ ．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向 ；当λ＜0时，λa的方向与a的方向 ；
当λ＝0时，λa＝_____．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝ ． (2)(λ＋μ)a＝ ． (3)λ(a＋b)＝ ．
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的 ．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝ ．
二．共线向量定理
1.向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使____________．
【质疑辨析】(对的打“√”，错的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积是一个向量．( )
(2) 若ma＝mb，则a＝b.( )
(3) (m－n)a＝ma－na.( )
(4)若向量a和b不共线，且λa＝μb，则必有λ＝μ＝0.( )
(5)若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))共线，则A，B，C，D四点共线．( )
【答案】
一．1. 向量 λa |λ||a| 相同 相反 0
2. (λμ)a λa＋μa λa＋λb
3. 线性运算 λμ1a±λμ2b
二． b＝λa
【质疑辨析】
(1) √ (2) × (3) √ (4) √ (5)×
【教材例题变式】
例1.（源于教材P14例5）
（1）化简eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)＝________．
（2）已知向量a，b，c满足0，则向量x=________.
【答案】（1） 0 （2）x＝eq \f(4,21)a－eq \f(1,7)b＋eq \f(1,7)c.
【详解】（1）原式＝eq \f(2,5)a－eq \f(2,5)b－eq \f(2,3)a－eq \f(4,3)b＋eq \f(4,15)a＋eq \f(26,15)b＝(eq \f(2,5)－eq \f(2,3)＋eq \f(4,15))a＋(－eq \f(2,5)－eq \f(4,3)＋eq \f(26,15))b＝0a＋0b＝0＋0＝0.
因为2x－eq \f(2,3)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c＋eq \f(3,2)x＋b＝0，所以eq \f(7,2)x－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c＝0，
所以eq \f(7,2)x＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，所以x＝eq \f(4,21)a－eq \f(1,7)b＋eq \f(1,7)c.
归纳总结：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量线性运算中也可以使用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
例2.（源于P14例6）如图所示，已知在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，DC边上的中点．若，试以为基底表示.
【答案】，
【详解】∵E，F分别是BC，DC边上的中点，∴，
∵，∴，
∴，
.
例3.（源于P15例7）设两个非零向量与不共线．
（1）试确定实数，使和共线；
（2）若，，求证三点共线．
【答案】
（1）因为和共线，所以存在实数，使，
所以，即 .
又，是两个不共线的非零向量，所以，所以，
所以或.
（2）因为，，
所以，
所以，共线，
又因为它们有公共点， 所以三点共线.
归纳总结：
（1）两条非零向量，共线，等价于（其中）；
（2）证明三点共线一般转化为证明两条向量共线. 即要证明A，B，C三点共线，只需证eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))共线，即证eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(AC,\s\up6(→))（其中）．
【教材拓展延伸】
例4.如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b.
(1)用a，b表示eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(AE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【答案】(1)如图，延长AD到点G，使eq \(AG,\s\up6(→))＝2eq \(AD,\s\up6(→))，连接BG，CG，得到平行四边形ABGC.
则eq \(AG,\s\up6(→))＝a＋b，eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b，
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(a＋b)－a＝eq \f(1,3)(b－2a)，
eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(AF,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)b－a.
(2)证明：由(1)，知eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(BF,\s\up6(→))，∴eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))共线．
又eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))有公共点，∴B，E，F三点共线．
例5．如图，在中，是边上一点，是线段上一点，且，过点作直线与，分别交于点，.
（1）用向量，表示.
（2）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）.
（2）设，，则，
因为
所以，
所以，即， 故为定值.
【课外作业】
基础过关
1．要得到向量，可将（ ）
A．向量向左平移2个单位 B．向量向右平移2个单位
C．向量保持方向不变，长度伸长为原来的2倍
D．向量的方向反向，长度伸长为原来的2倍
【答案】D
【详解】根据向量数乘的概念及几何意义可知，要得到向量，可将向量的方向反向，长度伸长为原来的2倍.
2．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】.
3．已知向量，(为单位向量)，则向量与向量（ ）
A．不共线 B．方向相反 C．方向相同 D．
【答案】B
【详解】因为，，所以，故向量与向量共线反向.
4．已知空间向量，，且，，，则一定共线的三点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，
又与过同一点B，∴ A、B、D三点共线．
5．在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以，故选A.
6．（多选）已知、是实数，、是向量，下列命题正确的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
【答案】AB
【详解】对于A选项，，A对；
对于B选项，，B对；
对于C选项，若，则、不一定相等，C错；
对于D选项，若，则、不一定相等，D错.
7．设，是两个不共线向量，若向量与方向相反，则实数______.
【答案】
【详解】由题意知，与共线，
∴存在实数，使.
∵，不共线，∴解得或，
∵与反向， ∴，.
8.已知点P在线段AB上，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4|eq \(AP,\s\up6(→))|，设eq \(AP,\s\up6(→))＝λ eq \(PB,\s\up6(→))，则实数λ＝________．
【答案】eq \f(1,3)
【详解】因为|eq \(AB,\s\up6(→))|＝4|eq \(AP,\s\up6(→))|，则eq \(AP,\s\up6(→))的长度是eq \(PB,\s\up6(→))的长度的eq \f(1,3)，二者的方向相同，所以eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(PB,\s\up6(→)).
9．如图，已知向量，，求作向量.
【答案】如图所示.在平面内取一点O，作，，连接，则.
能力提升
10．若是所在平面内一点，，则点必在（ ）
A．内部B．在直线上
C．在直线上D．在直线上
【答案】B
【详解】 ， ，
，即与共线 ∴点一定在边所在直线上.
11．（多选）如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【详解】因为方向相同，且，所以，A正确，
因为方向相同，且，所以，B正确，
因为方向相反，且，所以，C正确，
因为方向相反，且，所以，D错误.
12．（多选）已知点是的重心，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【详解】记D为BC中点，则O为AD靠近点D的三等分点
因为，所以，A正确；
又，所以，B正确，C错误；
又，所以，故D错误.
13．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________．
【答案】
【详解】∵是上的一点，设，又 ，
则
．
∴，，解得，．
14．已知平面上不共线的四点，若，则的值为________．
【答案】
【详解】，，即，
则，即，故．
15．如图，四边形ABCD是一个梯形，且，M，N分别是DC，AB的中点，已知，，试用表示下列向量： (1)； (2).
【答案】（1）梯形ABCD中，且，即有，
所以.
（2）M，N分别是DC，AB的中点，
所以.
16．在平行四边形中，点N在上，，M为中点，用向量知识证明：M，N，C三点共线.
【答案】证明：因为M为中点，所以.
因为，，所以.
所以.
因为，所以，是共线向量，
即M，N，C三点共线.