人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算精品达标测试

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常用解题思路：
主要分“形化”和“数化”两类。
“形化”是借助向量几何意义，将问题转化为图形中的距离、夹角等问题，比如把向量模长转化为圆上点到定点的距离。
“数化”则是通过建系转化为坐标运算，把向量关系变成函数或不等式，再用基本不等式、二次函数最值等知识求解。
题型一 投影向量问题
1
●知识点一
投影向量：投影向量是指将一个向量投影到另一个向量上的向量。具体来说，向量a在向量b上的投影向量，是一个与b同方向的向量，其长度是a在b方向上的投影长度。
公式：a 在b上的投影向量是a∙b|b|2 ∙b
●典例一
已知O是坐标原点，点N2,1，且点M是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上的一点，则向量ON在向量OM上的投影向量的模的取值范围是
题型二 等和线问题
2
●知识点二
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。
当等和线恰为直线AB时，；
当等和线在O点和直线AB之间时，；
当直线AB在点O和等和线之间时，；
当等和线过O点时，；
若两等和线关于O点对称，则定值互为相反数；
●典例二
已知在中，A=π2，，，P为BC上任意一点（含B，C），以P为圆心，1为半径作圆，Q为圆上任意一点，设，则的最大值为( )
A．B．C．D．
题型三 极化恒等式
3
●知识点三
a∙b=14a+b2-a-b2————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
●典例三
如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ）
(题图) （答案图）
A．B．C．D．
题型四 范围与最值问题
4
●知识点四
与向量的模有关的最值问题
与向量夹角有关的最值问题
与向量投影有关的最值问题
与平面向量数量积有关的最值问题
●典例四
1.已知，是两个单位向量，且，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.已知OA=x1,y1，OB=x2,y2，且OA、OB不共线，则△OAB的面积为（ ）
A．12x1x2-y1y2B．12x1y2-x2y1
C．12x1x2+y1y2D．12x1y2+x2y1
3.（多选）已知Px1,y1，Qx2,y2是椭圆x24+9y24=1上两个不同点，且满足x1x2+9y1y2=-2，则下列说法正确的是（ ）
A．2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最大值为6+25
B．2x1+3y1-3+2x2+3y2-3的最小值为3-5
C．x1-3y1+5+x2-3y2+5的最大值为25+2105
D．x1-3y1+5+x2-3y2+5的最小值为10-22
4.已知A1,A2,A3,A4,A5五个点，满足：AnAn+1⋅An+1An+2=0n=1,2,3，AnAn+1An+1An+2=nn=1,2,3，则A1A5的最小值为 ．
题型五 与不等式结合
5
●知识点五
1.基本不等式：ab≤a+b2
2.两点之间线段最短；垂线段最短
●典例五
已知a=b=2，c=1，a-c⋅b-c=0，则a-b的取值范围是（ ）
A．6-1,6+1B．7-12,7+12
C．7-1,7+1D．6-12,6+12
题型六 三角形四心问题
6
●知识点六
三角形的“四心”：
①外心：三角形三条边的垂直平分线的交点
②内心：三角形三个角的角平分线的交点
垂心：三角形三条边的高所在直线的交点
④重心：三角形三条边的中线的交点（常考）
重心坐标公式：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则△ABC的重心坐标为P
利用三角形“四心”的性质结合向量来解决问题。
●典例六
1.已知点是锐角三角形的外心，若（， ），则（ ）
A. B. C. D.
2.（多选）点O，H分别是△ABC的外心､垂心，则下列选项正确的是（ ）
A．若BD=λBA|BA|+BC|BC|且BD=μBA+(1-μ)BC，则AD=DC
B．若2BO=BA+BC，且AB=2，则AC⋅AB=4
C．若∠B=π3，OB=mOA+nOC，则m+n的取值范围为-2,1
D．若2HA+3HB+4HC=0，则cs∠BHC=-105
3.已知点D在线段AB上，CD是△ABC的角平分线，E为CD上一点，且满足BE=BA+λADAD+ACACλ>0,CA-CB=6,BA=14，设BA=a,则BE在a上的投影向量为 ．（结果用a表示）．
4. 已知 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+m(AB+AC) ，m∈ e （0，+∞)，则 P 的轨迹一定通过△ABC 的（ ）
A.重心 B.外心 C . 内心 D.垂心
题型七 奔驰定理
7
●知识点七
奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，且满足，则有△APB、△APC、△BPC的面积之比为.
由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，所以我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.
2．三角形的四心与奔驰定理的关系
(1)O是△ABC的重心：.
(2)O是△ABC的垂心：
.
(3)O是△ABC的内心：.
(4)O是△ABC的外心：
.
●典例七
平面上有△ABC及其内一点O，构成如图所示图形，若将△OAB，△OBC，△OCA的面积分别记作Sc，Sa，Sb，则有关系式Sa⋅OA+Sb⋅OB+Sc⋅OC=0．因图形和奔驰车的lg很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足a⋅OA+b⋅OB+c⋅OC=0，则O为△ABC的（ ）
A．外心B．内心C．重心D．垂心
题型八 向量与实际模型
8
●知识点八
求两个向量的数量积有三种方法：
①利用定义；
②利用向量的坐标运算；
③利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
●典例八
中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它身上所显示的情致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为一个大正方形（内部是16个全等的边长为1的小正方形）和凸出的16个半圆所组成，如图，点A是大正方形的一条边的四等分点，点C是大正方形的一个顶点，点B是凸出的16个半圆上的任意一点，则AC⋅AB的最大值为（ ）
A．33+3172B．33+2172C．33+172D．9172