高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算优秀学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册平面向量的运算优秀学案及答案，共11页。学案主要包含了学习目标，教材知识梳理，质疑辨析，教材例题变式，教材拓展延伸，课外作业等内容，欢迎下载使用。
1.理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，并会用它们解决实际问题.
3.理解向量加法的绝对值三角不等式.
【教材知识梳理】
向量加法的定义及其运算法则
1.定义：求 的运算，叫做向量的加法．两个向量的和仍然是向量.
2.三角形法则
已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，
则向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→)).
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则，运用三角形
法则的前提是首尾相连，即eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))，这里的B点具有任意性.
3.平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，
则eq \(OC,\s\up6(→))就是a与b的和．我们把这种作向量和的方法叫做向量加法
的平行四边形法则.
运用平行四边形法则的关前提是共起点，注意当两个向量共线时，
不能用平行四边形法则.
4.对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋0＝0＋a＝a.
二．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系
对于任意向量a，b，都有 ≤ |a＋b| ≤ ；
(1)当a，b共线，且同向时，有|a＋b|＝_______；
(2)当a，b共线，且反向时，有|a＋b|＝_______．
根据向量加法的三角形法则以及“三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以得出上述结论，因此形象称之为三角形不等式．
三．向量加法的运算律
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【质疑辨析】(对的打“√”，错的打“×”)
(1)两个向量相加的结果仍然是一个向量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)对于任意两个向量，都可利用平行四边形法则求出它们的和向量．( )
(4)若eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形三个顶点．( )
(5)若a，b是方向相反的两个向量，那么|a＋b| =|a| - |b|．( )
【答案】
两个向量和
二．||a|－|b|| |a|＋|b| |a|＋|b| ||a|－|b||
【质疑辨析】
(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
【教材例题变式】
例1.（源于P8例1）如图(1),(2),(3)，已知向量a，b，分别求作向量a＋b.

【答案】(1)作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(1)．
(2)作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(2)．
(3)作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，则eq \(OB,\s\up6(→))＝a＋b，如图(3)．
归纳总结：
（1）当两个不共线向量求和时，三角形法则和平行四边形法则都可以用．
（2）利用向量的三角形法则求a＋b，务必使它们的“首尾顺次连接”；利用平行四边形法则求a＋b，务必使它们的起点重合.
（3）多个向量求和时，可先求两个向量的和，再和其他向量求和．
例2.（源于P9例2）长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5eq \r(3) km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东5 km/h.
(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度方向间的夹角表示)．
【答案】 (1)如图所示，eq \(AD,\s\up6(→))表示船速，eq \(AB,\s\up6(→))表示江水速度．易知AD⊥AB，以AD，AB为邻边作矩形ABCD，则eq \(AC,\s\up6(→))表示船实际航行速度．
(2)在Rt△ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝5eq \r(3)，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(\(\s\up11( ),\s\d4(|\(AB,\s\up6(→))|2＋|\(BC,\s\up6(→))|2)))＝eq \r(52＋5\r(3)2)＝eq \r(100)＝10.
因为tan∠CAB＝eq \f(|\(BC,\s\up11(→))|,\(\s\up5( ),\s\d4(|\(AB,\s\up6(→))|)))＝eq \r(3)，所以∠CAB＝60°.
因此，船实际航行的速度大小为10 km/h，方向与江水速度方向间的夹角为60°.
归纳总结：
解决向量加法的实际应用问题，一般的步骤为：
准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；
（2）将所求问题转化为向量的加法运算，利用向量加法的几何意义进行求解;
（3）将向量问题还原为实际问题.
【教材拓展延伸】
例3．化简下列各式：
(1)；(2)；(3)．
【答案】（1）.
（2）.
（3）.
归纳总结：
1．向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量．特别地，当若干个依次首尾相连的向量形成封闭图形时，这些向量的和向量为零向量.
2．向量的加法满足交换律，因此在进行多个向量的加法运算时，可以按照任意的次序和任意的组合去进行．
例4.（1）设|a|=8，|b|=12，则|a＋b|的最大值与最小值分别为__________．
【答案】20，4
【详解】因|a|=8，|b|=12，则|a|=8，|b|=12，则|a＋b||a|+|b|=20，当且仅当a与b同向时取等号，
|a＋b||b|-|a|=4，当且仅当a与b反向时取等号，所以|a＋b|的最大值与最小值分别为12，4.
（2）若a，b是非零向量，且|a＋b|＝|b|－|a|，则( )
A．a，b同向共线 B．a，b反向共线
C．a，b同向共线且|b|>|a| D．a，b反向共线且|b|>|a|
【答案】D
【详解】由于|a＋b|＝|b|－|a|，因此向量a，b是方向相反的向量，且|b|>|a|．
例5.（1）如图所示，∠AOB＝∠BOC＝120°，||＝||＝||，求＋＋.
【答案】
【详解】如图所示，
以OA，OB为邻边作平行四边形OADB，则
由，∠AOB＝120°知∠BOD＝60°，，
又∠COB＝120°，且，，.
（2）如图所示，P，Q是的边BC上两点，且.
求证：.
【答案】因为，，所以.
又因为，所以.
【课外作业】
基础过关
1．某人先向东走3km，位移记为a，接着再向北走3km，位移记为b，则a+b表示（ ）
A．向东南走B．向东北走
C．向东南走D．向东北走
【答案】B
【详解】由向量的加法知，得a+b表示先向东走3km，再向北走3km，即向东北走.
2．人骑自行车的速度为，风速为，则逆风行驶的速度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为速度是既有大小又有方向的量，如下图，由向量的加法法则可知，逆风行驶的速度为＋.
3．化简的结果等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据向量的三角形法则，可得.
4．如图所示，在四边形中，＝，则四边形为（ ）
A．矩形B．正方形
C．平行四边形D．菱形
【答案】C
【分析】根据平面向量的加法法则，即可判断四边形形状.
【详解】根据平面向量的加法的平行四边形法则，若＝，
则四边形是平行四边形.
故选：C.
5．正方形的边长为1，则为（ ）
A．1B．C．3D．
【答案】B
【详解】在正方形中，如图所示,

根据向量加法的平行四边形法则，,又因为正方形的边长为1，
所以.
6．（多选）已知向量，那么下列命题中正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】由向量的加法法则可得：，故正确，错误；
当点在线段上时，，否则,故错误，D正确．
7．如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量．
(1)＋＝_________；(2)＋＝_________；(3)＋＝_________.
【答案】
【详解】(1)四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故；
(2)因为，故与方向相同，长度为长度的2倍，故；
(3)因为，故.
8．已知向量，不共线，且，，则的取值范围是___________．
【答案】
【详解】由不等式且，不共线知，.
9．如图，已知向量，，不共线，作向量++．
【答案】由向量加法的三角形法则，++如图，
能力提升
10.已知O是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点O在的内部B．点O在的边上
C．点O在边所在的直线上D．点O在的外部
【答案】D
【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
11．（多选）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【详解】，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D正确．
12．（多选）已知点，，分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【详解】对于A选项，，正确；
对于B选项，，正确；
对于C选项，根据向量加法的平行四边形法则可知，正确；
对于D选项，，所以D错误.
13．已知点O为ABC外接圆的圆心，且＋＋＝，则ABC的内角A等于________．
【答案】30°
【详解】由向量加法的几何意义知四边形OACB为平行四边形，
又OA＝OB=OC，则四边形OACB为菱形，所以OAC是正三角形，
所以∠CAO＝60°，所以∠CAB＝∠CAO＝30°.
14．如图，已知电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力|F1|=24 N.绳BO与墙壁垂直，所受拉力|F2|=12 N，则F1与F2的合力大小为____，方向为_____.
【答案】 竖直向上
【详解】以为邻边作平行四边形BOAC，则，
即，则，，，
，. 与的合力大小为，方向为竖直向上.
15．如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：
(1)；(2).
【答案】（1）；
（2）.
16．如图，已知D， E， F分别是△ABC三边AB， BC， CA的中点，求证：.
【答案】如图，连接DE， EF， FD,因为D， E， F分别是△ABC三边的中点，所以四边形ADEF为平行四边形．
由向量加法的平行四边形法则，得①,
同理②，③，
将①②③式相加，.