数学6.2 平面向量的运算教案及反思

这是一份数学6.2 平面向量的运算教案及反思，共5页。


教学基本信息
课题
向量的数乘运算的应用
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名： 普通高中教科书数学必修第二册 出版社：人教社A版 出版日期： 2019年 6月
教学目标及教学重点、难点
本节课由向量数乘运算的定义出发，探究非零向量a与向量b共线的充要条件，即向量共线定理，并对该定理的应用进行探究和练习。在这个过程中，体会数学逻辑的严谨性，以及向量在解决几何问题中的工具性，提升直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养。
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
上节课，我们学习了向量的数乘运算，这节课我们继续学习向量数乘运算的应用，在学习之前，我们先复习一下向量的数乘的定义：
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λ倍向量a，它的长度与方向规定如下：
(1) | λa | ＝ | λ | | a | ；
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
(2) 当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
特别地，当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
承上启下，为本节.课的学习做好铺垫。
新课
探究1
若 b ＝ λa，那么 b 与 a 有怎样的位置关系？
当 λ > 0 时，λa 与 a 的方向相同；
当 λ < 0 时，λa 与 a 的方向相反.
当 λ ＝ 0 时，λa ＝ 0.
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.
规定零向量与任意向量平行.
平行向量也叫共线向量.
结论： b = λa b // a .
a
λa
探究2
若b//a ，是否存在实数λ，使得b=λa？
(1)当a≠0， b≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
(2)当a≠0， b=0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.
(3)当a=0， b≠0时，不存在这样的实数λ，使得b=λa.
(4)当a=0， b=0时，λ取任意实数，都使得b=λa.
结论：
所以当b//a ，a≠0时，存在唯一一个实数λ，使得b=λa.

问题：
若存在唯一一个实数λ，使得b=λa能推出 b//a ，a≠0吗？
分析：
若a=0，则b=λa=0，此时，λ可以取任意实数，不唯一
.
定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b=λa.
判断：
(1) 向量a(a≠0)与b共线，则存在实数λ，使得a=λb； ( )
(2) b//a的充要条件是存在不全为零的实数λ和μ，使得λa=μb； ( )
(3)若向量a与b不共线，且λa=μb，则实数λ=μ=0.
( )
应用1
若存在实数λ，使b=λa，则向量a与b共线。
1．证明向量共线
例如：已知，试证向量a，b共线。
2．证明两直线平行
，且直线AB与CD不重合
直线 AB//CD
3．证明三点共线
A,B,C三点共线
或 或 ……
引导学生发现向量的数乘运算中其实就蕴含了向量的平行，并从几何角度进行了适当的阐述，希望学生能直观地角度加以理解。进而得出要推证的定理。
提出探究问题
通过对不同情形的分析，培养学生思考问题的严密性，逻辑推理的严谨性
推理得出结论是正确的
进一步提出要探究的问题引发学生的思考
学生体会反证法在证明中的作用
师生一起归纳得出定理的内容，培养学生的归纳能力，语言表达能力
通过辨析题，让学生加深对定理的理解与认识
引导学生从多方面发现定理的运用必要性解决问题的常见类型：
（1）证明向量共线，并举例说明，(2) 证明两直线平行,(3) 证明三点共线
培养学生善于思考，勇于探究的学习习惯
例题
例1 已知任意两个非零向量a，b，试作
，．猜想 A，B，C三点之
间的位置关系，并证明你的猜想．
猜想：A，B，C三点共线.
证明：
∴ A，B，C三点共线.
通过学生操作、观察，掌握利用向量共线判断三点共线的方法，培养学生综合运用向量知识解决问题的能力，发展直观相象和逻辑推理素养。
新课
应用2
若向量a(a≠0)与b共线，则 存在唯一一个实数λ，使b=λa.
与非零向量a同向的单位向量为_______ .
与非零向量a共线的单位向量为_____.
进一步提出定理的用法，加深对定理的理解
例题
例2 已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta，
共线，求实数t的值．
解：∵ a，b不共线，
，
∵ a，b不共线，
∴a // b .
与已知矛盾.
让学生熟练运用向量共线定理，体会知识之间的联系。
总结
本节课从复习向量数乘运算的定义出发，探究了非零向量a与向量b共线的充要条件（定理），并对该定理的应用进行了探究和练习。在这个过程中，充分体现了数学逻辑的严谨性，向量在解决几何问题中的工具性，让我们的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学素养得以提升。
总结概况所学内容，方法，让学生形成反思的习惯，提升分析问题解决问题的能力。
业
1．已知a，b是不共线的向量，且 ，
， ，则( )．
(A) A，B，D三点共线
(B) A，B，C三点共线
(C) B，C，D三点共线
(D) A，C，D三点共线
2．已知若 ， 是不共线的向量，且， ，若a与b是共线向量，求实数k的值．
巩固所学内容