数学必修 第二册6.2 平面向量的运算精品ppt课件

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1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会计算平面向量的数量积.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象
知识点一　两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个 a，b，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作a⊥b.
知识点二　向量数量积的定义
已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ .规定：零向量与任一向量的数量积为 .思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0?答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
|a|·|b|cs θ
知识点四　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|cs θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝
，a与b同向， ，a与b反向.
特别地，a·a＝ 或|a|＝ .(4)|a·b| |a||b|.
1.两个向量的数量积是一个向量.(　　)2.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.(　　)3.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.(　　)4.若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0.(　　)
例1　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？
因为|a|＝|b|＝2，
所以平行四边形OACB是菱形，
即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°.
求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.
A.30° B.60°C.120° D.150°
所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.
例2　已知正三角形ABC的边长为1，求：
定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cs θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
例3　已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.
解　∵|b|＝1，∴b为单位向量.
投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cs θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为
已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量.
解　∵a·b＝|a||b|cs θ，
2.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为A.60° B.120°C.135° D.150°
B解析　设a与b的夹角为θ，
又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.若a⊥b，则a·b＝0D.|a|＝
AB解析　a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，知|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cs 0＝|a|2，
5.已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为______.
解析　设a与b的夹角为θ，a在b上的投影向量为|a|cs θe＝2× e＝e.
1.知识清单：(1)向量的夹角.(2)向量数量积的定义.(3)投影向量.(4)向量数量积的性质.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量夹角为钝角.