2021学年7.3* 复数的三角表示课时训练

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7.3  复数的三角表示式及运算 本节课知识点目录：1、复数的代数式化三角表示式；2、复数的三角表示式化代数形式。3、复数乘法的三角形式运算4、复数除法的三角形式5、复数的辐角6、复数的辐角主值7、探究与发现：地墨菲定理8、复数三角形式的综合应用9、联考与联赛题选 一、复数的代数式化三角表示式复数的三角式：z=r（cosθ+isinθ）特征：(1).r≥0；(2).相同角θ，θ为辐角但不一定是辐角主值；(3).cosθ与isinθ之间用“＋”号连接． 【典型例题】【例1】将下列复数化为三角形式：(1)；(2)；(3)；(4)．  【例2】把下列复数化为三角形式：-3，．  【例3】把下列复数表示成三角形式，并画出与它们对应的向量．(1)(2)(3)(4)(5)2(6)(7)2i(8) 【例4】利用，，把复数表示成三角形式．  【例5】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．(1)；(2)；(3)；(4)．  【例6】下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式.（1）； （2）.  【例7】复数的三角形式为（       ）A． B．C． D．  【对点实战】1.把下列复数表示成三角形式；(1)(2)(3)(4)13  2.把下列复数表示成三角形式：（1）﹣2(cosπ+isin)；（2）sinicos；（3）(sin5)•(cosisin). 3.将下列复数代数式化为三角式：（1）；       （2）. 4.复数的三角形式为（       ）A． B．C． D．  二、复数的三角形式化代数形式 【典型例题】【例1】分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．（1）4；（2）2  【例2】把下列复数的三角形式化成代数形式.（1）；（2）.  【例3】将复数化成代数形式，正确的是（       ）A．4 B．-4 C． D． 【例4】．复数的代数形式是_____________.  【例5】将复数化为代数形式为___________  【例6】将复数z=3化成代数形式为_____;|z|=_____.  三、复数乘法的三角形式 复数乘法运算三角表示的几何意义:复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按逆时针方向旋转θ2(如果θ2<0，就要把绕点O按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，得到向量，表示的复数就是积z1z2. 【典型例题】【例1】______________.  【例2】如图，向量与复数对应，把按逆时针方向旋转120°，得到．求向量对应的复数（用代数形式表示）．  【例3】将复数对应的向量按顺时针方向旋转，求所得向量对应的复数．  【例4】求证：(1)(2)  【对点实战】1.在复平面内，把与复数对应的向量绕原点O按顺时针方向旋转，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）． 2.计算：(1)；(2)；(3)；(4)． 3.已知z1=，z2=6cos+isin，计算z1z2，并说明其几何意义.  四、复数除法的三角形式复数除法运算三角表示的几何意义:复数z1，z2对应的向量为，，把向量绕点O按顺时针方向旋转θ2，再把它的模变为原来的，得到向量，表示的复数就是商. 【典型例题】【例1】______.  【例2】_______________.   【例3】_______________.   【例4】复数z的辐角，则对应的点位于第______象限．  【例5】若，且为负实数，则复数__________．   【对点实战】1.化简：(1)(2) 2.计算：(1)(2)(3)(4) 3.求证:.   五、复数的辐角辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量所在射线(射线OZ)为终边的角，显然辐角有无数个．而辐角主值是指在0≤θ<2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个．θ＝2kπ＋arg z，k∈Z. 【典型例题】【例1】求复数的模与辐角．  【例2】复数的一个幅角为（       ）A． B． C． D．  【例3】“复数的模与辐角分别相等”是“”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件  【例4】若复数的辐角为，的辐角为，则______．  【例5】把复数3－i对应向量按顺时针方向旋转π，所得向量对应复数为（       ）A．2 B．－2iC．－3－i D．3－i  【例6】设复数在复平面上对应的向量为，将绕原点逆时针旋转个角后得到向量，向量所对应的复数为，若，则自然数的最小数值为___________  【例7】已知复数的辐角为，的辐角为，则复数等于（       ）A． B． C． D．  六、辐角的主值 规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，即0≤arg z<2π.【典型例题】【例1】任意复数（、，为虚数单位）都可以写成的形式，其中该形式为复数的三角形式，其中称为复数的辐角主值.若复数，则的辐角主值为（       ）A． B． C． D． 【例2】已知复数则（       ）A． B． C． D．  【例3】．求下列复数的模与辐角主值：(1)(2)(3)(4)   【例4】已知（1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值；（2）若，求（用表示）.注：是辐角主值.   【例5】求复数的模与辐角主值.  【例6】已知复数和的辐角主值分别为、，则等于（       ）A． B． C． D．1  【例7】设复数z的辐角是，实部是－2，则z＝________．  【例8】设z1＝1－2i，z2＝1＋i，z3＝－1＋3i则argz1＋argz2＋argz3＝（       ）A． B．C． D．   【对点实战】1.画出下列复数所对应的向量，并用三角形式表示(辐角取主值)：（1）4；（2）﹣2i；（3）﹣2+2i；（4）.2.已知复数，求复数的辐角主值. 3.复数的辐角主值为A． B． C． D． 4.当实数m＝________时，复数(m2－m－2)＋(2m2－3m－2)i的辐角主值是π． 5.已知复数满足，且，则的三角形式为__________． 6.复数的辐角主值为__________． 7.如果非零复数有一个辐角为，那么该复数的（       ）A．辐角唯一 B．辐角主值唯一C．辐角主值为 D．辐角主值为   七、探究与发现：棣莫弗定理棣莫佛定理：复数的n(n∈N*)次幂的模等于这个复数的模的n次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的n倍．即[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ) 【典型例题】【例1】棣莫弗定理：若两个复数，，则，已知，，则的值为（       ）A． B． C． D．  【例2】已知：棣莫弗公式（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限  【例3】已知复数满足且，则的值为（       ）A． B． C． D．【例4】，则__________.  【例5】已知复数，若（，且），则的最小值为__________．  【例6】复数是方程的一个根，那么的值等于________.  【例7】设是正整数，分别记方程、的非零复数根在复平面上对应的点组成的集合为与．若存在，当取遍集合中的元素时，所得的不同取值个数有5个，则的值可以是（       ）A．6 B．5 C．4 D．3   【对点实战】÷()=_____. 2.复数经过次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，求的值．   在复数范围内，验证，，1，2，…，为方程的n个根，并给出几何解释． 八、复数三角形式的综合应用【典型例题】【例1】利用复数证明余弦定理． 【例2】在复平面内，设为坐标原点，点所对应的复数分别为，且的辐角主值分别为，模长均为1.若的重心对应的复数为，求.  【例3】已知复数满足，则的最大值为（       ）A． B． C． D．  【例4】已知复数满足，则的最大值是__________.  【例5】设复数，满足，，则__________．  【例6】已知，，其中，且，，求的值．  【例7】已知，且，若．（1）求复数的三角形式，并且复数的辐角主值；（2）求．   【例8】如图，若与分别表示复数Z1=1+2i，Z2=7+i，求，并判断的形状. 【例9】已知是实数，是非零复数，且满足，.（1）求；（2）设，若，求的值.   九、联赛、联考与自主招生题选【例1】对任意三个模长小于1的复数，，，均有恒成立，则实数的最小可能值是______．上海市高三数学竞赛试题   【例2】已知复数列，，…，，…满足，，，，n=1,2,...则在圆的内部所含有的的个数是______________．全国高中数学联赛广西赛区初赛试题  【例3】复数，满足，，则______.2021年浙江省数学夏令营测试题