高中数学直线的交点坐标与距离公式课堂检测

这是一份高中数学直线的交点坐标与距离公式课堂检测，共9页。试卷主要包含了已知点M关于直线l等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.已知三角形的三个顶点分别为A(2,−1)，B(3,2)，C(−5,4)，则△ABC的中线AD的长为（ ）
A. 3
B. 5
C. 9
D. 25
2.（2025广东广州月考）已知A(x1,y1)，B(x2,y2)是直线y=2x+m上的两点，若|AB|=5，则|x2−x1|=（ ）
A. 5
B. 25
C. 10
D. 5
3.函数y=x2−2x+5+x2−6x+25的最小值为（ ）
A. 210
B. 22
C. 2+10
D. 3+5
4.已知菱形ABCD的对角线BD与x轴平行，D(−3,1)，A(−1,0)，则点C的坐标为（ ）
A. (−1,2)
B. (−2,1)
C. (−1,1)
D. (2,2)
5.已知点(a,b)在线段3x+4y−10=0(−2≤x≤6)上，则a2+b2−2的取值范围是（ ）
A. [2,18]
B. [2,38]
C. [0,38]
D. [0,210−2]
6.（2025北京海淀区月考）若点P(x,y)在直线x+y=12上，则x2+1+y2+16的最小值为（ ）
A. 37+213
B. 2+137
C. 13
D. 1+410
二、多选题
7.已知等腰直角三角形ABC的直角顶点为C(3,3)，点A的坐标为(0,4)，则点B的坐标可能为（ ）
A. (2,0)
B. (6,4)
C. (4,6)
D. (0,2)
8.已知平面内一点M(3,4)，若直线l上存在点P，使|PM|=2，则称该直线为点M(3,4)的“2域直线”，下列直线中是点M(3,4)的“2域直线”的是（ ）
A. 4x−3y=0
B. y=2
C. x−4y=0
D. x=5
9.已知点M(1,2)关于直线l:y=kx+b对称的点是N(−1,6)，直线m过点M，则（ ）
A. kb=2
B. l在x轴上的截距是−8
C. 点M到直线l的距离为1
D. 当m∥l时，两直线间的距离为5
三、填空题
10.在平面直角坐标系中，定义d(S,T)=|x2−x1|+|y2−y1|为两点S(x1,y1)，T(x2,y2)之间的“折线距离”。
（1）若A(0,0)，B(1,1)，则d(A,B)=________；
（2）原点O与直线x−y+3=0上任意一点M之间的折线距离d(O,M)的最小值为________。
11.（2024河南洛阳期中）已知直线3x+2y−6=0分别与x轴、y轴交于点A，B，若直线x+y−1=0上存在一点C，使|CA|+|CB|最小，则点C的坐标为________。
12.直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，若l1∥l2，且l1与l2的距离为5，则l1的方程为________。
四、解答题
12.（2025河北沧州月考）在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，已知A(1,7)，B(7,5)，C(4,1)。
（1）求点D的坐标；
（2）求梯形ABCD的面积。
14.已知G(1,0)为正方形的中心，且这个正方形的一条边所在直线的方程为3x+y−5=0，求这个正方形另外三条边所在直线的一般式方程。
15.已知三条直线l1:2x−y+a=0(a>0)，直线l2:4x−2y−1=0和直线l3:x+y−1=0，且l1和l2间的距离是755。
（1）求a的值；
（2）能否找到一点P，使得点P同时满足下列三个条件：①点P是第一象限内的点；②点P到l1的距离是点P到l2的距离的一半；③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2:5？若能，求出点P的坐标；若不能，说明理由。
一、单选题
1.答案：B
解析：中线AD的端点D是BC的中点，先求B(3,2)与C(−5,4)的中点坐标：
中点D的横坐标为3+(−5)2=−1，纵坐标为2+42=3，即D(−1,3)。
再用两点间距离公式|AD|=(x2−x1)2+(y2−y1)2，代入A(2,−1)与D(−1,3)：
|AD|=(−1−2)2+(3−(−1))2=(−3)2+42=9+16=25=5。
2.答案：D
解析：因A、B在直线y=2x+m上，故y2−y1=2(x2−x1)（直线斜率为2，纵坐标差是横坐标差的2倍）。
由两点间距离公式|AB|=(x2−x1)2+(y2−y1)2=5，代入y2−y1=2(x2−x1)：
(x2−x1)2+4(x2−x1)2=5 ⇒ 5(x2−x1)2=5 ⇒ 5|x2−x1|=5，
解得|x2−x1|=5。
3.答案：A
解析： y=x2−2x+5+x2−6x+25=(x−1)2+(0−2)2+
(x−3)2+(0+4)2
,则y可看成x轴上一点P(x，0)到点
A(1，2)与点B(3，-4)的距离之和，即：PAI+|PB|，又A，B
位于x轴的两侧，故当A，P，B三点共线且P在A，B之间
时，|PA|+|PB|取得最小值，即(|PA|+|PB|)min=|AB|=
(1−3)2+(2+4)2=210
4.答案：A
解析：菱形性质：对角线互相垂直平分，且BD∥x轴（BD斜率为0）。
设B(x,1)（BD纵坐标与D(−3,1)相同），C(m,n)，则BD中点与AC中点重合：
BD中点为x−32,1，AC中点为−1+m2,0+n2，故−1+m2=x−32，n2=1，得n=2，m=x−2。
菱形邻边相等：|AD|=|AB|，|AD|=(−1+3)2+(0−1)2=4+1=5，
|AB|=(x+1)2+(1−0)2=5，解得x=1（x=−3为D点，舍去）。
代入m=x−2=1−2=−1，n=2，得C(−1,2)。
5.答案：B
解析：a2+b2表示点(a,b)到原点O的距离的平方，a2+b2−2即“距离平方减2”。
最小值：原点到直线3x+4y−10=0的垂线距离为最短距离，公式d=|0+0−10|32+42=2，故a2+b2最小值为22=4，a2+b2−2最小值为4−2=2。
最大值：线段端点到原点的距离最大，线段端点为x=−2时(−2,4)（距离平方4+16=20），x=6时(6,−2)（距离平方36+4=40），故a2+b2最大值为40，a2+b2−2最大值为40−2=38。
取值范围为[2,38]。
6.答案：C
解析：P(x,y)在x+y=12上，故y=12−x，表达式x2+1+y2+16转化为：
x2+12+(12−x)2+42，表示x轴上点(x,0)到A(0,1)与B(12,4)的距离之和。
最小值为A关于x轴的对称点A′(0,−1)到B的距离：
|A′B|=(12−0)2+(4−(−1))2=144+25=169=13。
二、多选题
7.答案：AC
解析：等腰直角三角形直角顶点为C(3,3)，故|CA|=|CB|且CA⊥CB。
计算|CA|=(3−0)2+(3−4)2=9+1=10，故|CB|=10。
向量CA=(−3,1)，CB=(x−3,y−3)，垂直则CA⋅CB=0：
−3(x−3)+1(y−3)=0 ⇒ y=3x−6。
代入|CB|=10：(x−3)2+(3x−9)2=10 ⇒ |x−3|=1，解得x=4（y=6）或x=2（y=0），即B(4,6)或(2,0)。
8.答案：ABD
解析：“2域直线”即直线与以M(3,4)为圆心、2为半径的圆有交点，需圆心到直线的距离≤2。
A：4x−3y=0，距离|12−12|5=0≤2，符合；
B：y=2，距离|4−2|=2≤2，符合；
C：x−4y=0，距离|3−16|17=1317≈3.17>2，不符合；
D：x=5，距离|3−5|=2≤2，符合。
9.答案：ABD
解析：M(1,2)与N(−1,6)对称，故：
中点(0,4)在l上，l斜率k=12（MN斜率为−2，负倒数），l方程y=12x+4，故b=4，kb=12×4=2，A正确；
x轴截距：y=0时x=−8，B正确；
点M到l的距离|12×1−2+4|(12)2+1=5252=5≠1，C错误；
m∥l时，m方程x−2y+3=0，两直线距离|3−8|5=5，D正确。
三、填空题
10.答案：(1) 2；(2) 3
解析：
(1) 折线距离d(A,B)=|1−0|+|1−0|=2；
(2) 设M(x,x+3)（在x−y+3=0上），折线距离d(O,M)=|x|+|x+3|：
x≥0时，d=2x+3≥3；
−30,y>0)，条件②：|4x−2y+13|25=12×|4x−2y−1|25，得|4x−2y+13|=12|4x−2y−1|，解得4x−2y=−27（舍去负根）；
条件③：|2x−y+132|5:|x+y−1|2=2:5，代入2x−y=−272，解得x+y=1+710；
联立4x−2y=−27与x+y=1+710，得x=1410−256，y=2810+316，均为正数，符合条件。