高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程巩固练习

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程巩固练习，共10页。试卷主要包含了已知直线l，已知直线l1，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.已知直线ax+y−2+a=0在两坐标轴上的截距相等，则实数a=（ ）
A. 1
B. -1或-2
C. 1或2
D. 2
2.(2025山西太原期中)已知直线l经过点(1,0)，且平行于直线2x+y−1=0，则直线l的方程为（ ）
A. 2x+y−2=0
B. 2x−y−2=0
C. x+2y−1=0
D. x−2y−1=0
3.已知直线l:x+my+n=0，其中m，n为常数，且满足mn0时，直线l1始终不过第三象限
9.(2025重庆沙坪坝入学考试)下列说法正确的是（ ）
A. 直线xcs2α+ysin2α−1=0恒过定点(1,1)
B. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
C. 过点P(1,2)且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为x+y−3=0
D. 经过平面内任意相异两点(x1,y1)，(x2,y2)的直线都可以用方程(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)表示
三、填空题
10.（2025天津开学考试）已知直线l的方程为(m2−2m−3)x−(2m2+m−1)y+6−2m=0，若直线l的斜率为1，则实数m的值为________.
11.(2025广东广州四中期中)过点A(3,1)，且与直线2x+y−5=0垂直的直线方程是________.
12.已知点A(0,1)，点B在直线l:x+y=0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________.
四、解答题
13.(2025河北承德段考）在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标如图所示，求：
(1)AC边上的中线所在直线的方程；
(2)AC边上的高所在直线的方程；
(3)AC边上的垂直平分线所在直线的方程；
(4)过AC边的中点且在x轴上的截距为3的直线的方程。
14.(2025安徽十校期中联考)已知△ABC的三个顶点分别是A(−1,2)，B(2,−2)，C(3,5)，
(1)求边AC上的高所在直线的一般式方程；
(2)求∠BAC的平分线所在直线的一般式方程。
15.(2025河南信阳月考)已知直线l的倾斜角为π3，在x轴上的截距为2。
(1)若直线l1经过点P(2,−3)，Q(3,0)，求l的斜截式方程，并判断l1与l是否平行；
(2)若直线l2的一般式方程为x+3y+2=0，求l2在y轴上的截距，并判断l2与l是否垂直；
(3)若直线l3与l平行，且l3与两坐标轴围成的三角形的面积为63，求l3的一般式方程。
一、单选题
1.答案：C
解析：直线方程整理为a(x+1)+(y−2)=0，分两种情况讨论截距：
① 截距均为0（直线过原点）：令−2+a=0，得a=2，此时直线为2x+y=0，截距均为0，满足条件；
② 截距不为0且相等：令y=0得x=2−aa（x轴截距），令x=0得y=2−a（y轴截距），由2−aa=2−a（2−a≠0），得1a=1，即a=1，此时直线为x+y−1=0，截距均为1，满足条件。
综上，a=1或2。
2.答案：A
解析：平行直线斜率相等，设直线l的方程为2x+y+c=0（与2x+y−1=0平行）。
将点(1,0)代入方程：2×1+0+c=0，解得c=−2，故直线l的方程为2x+y−2=0。
3.答案：D
解析：直线x+my+n=0整理为y=−1mx−nm，由mn0，则n0，y轴截距−nm>0，直线过第一、二、三象限。
两种情况均不经过第三、四象限。
4.答案：B
解析：
第一步：求l1:x−2y−2=0的斜率，变形为y=12x−1，故tanθ=12；
第二步：用二倍角公式求l2的斜率，tan2θ=2tanθ1−tan2θ=2×121−14=43；
第三步：l2在y轴上的截距为3，由斜截式得y=43x+3，整理为一般式4x−3y+9=0。
5.答案：A
解析：
点P的横坐标为2，且P在直线PA上（PA方程：x−y+1=0）。代入x=2，得：2−y+1=0 → y=3，所以点P坐标为(2, 3)。
点A在x轴上（y=0），且A在直线PA上。代入y=0到PA方程：x−0+1=0 → x=−1，所以点A坐标为(-1, 0)。
由于PA = PB，且B在x轴上（y=0），设点B坐标为(b, 0)。计算距离：
PA = (2−(−1))2+(3−0)2=32+32=18=32。
PB = (b−2)2+(0−3)2=(b−2)2+9。
设PB = PA：(b−2)2+9=32，两边平方得：(b−2)2+9=18 → (b−2)2=9 → b−2=±3。
解得：b = 5 或 b = -1（b=-1对应点A，故舍去），所以点B坐标为(5, 0)。
求直线PB的方程：点P(2,3)和点B(5,0)，斜率m = (0-3)/(5-2) = -1。
点斜式：y - 3 = -1(x - 2) → y - 3 = -x + 2 → x + y - 5 = 0。
对比选项，直线PB的方程为 x+y−5=0，对应选项A。
6.答案：C
解析：将直线方程化为斜截式：kx−y+2k−2=0 → −y=−kx−2k+2 → y=kx+2k−2。
斜率 m = k，y轴截距 b = 2k - 2。
直线不经过第二象限（第二象限：x < 0, y > 0）的条件是：
斜率 m ≥ 0（即 k ≥ 0），否则当斜率负时，直线必经过第二象限。
y截距 b ≤ 0（即 2k - 2 ≤ 0），否则当截距正时，直线在y轴正半轴有交点，易进入第二象限。
解不等式：
k ≥ 0
2k - 2 ≤ 0 → 2k ≤ 2 → k ≤ 1
所以 k 的取值范围是 0≤k≤1。
对比选项，对应选项C。
二、多选题
7.答案：BD
解析：对直线x−my+m−1=0逐一分析：
A：斜率为0需1m=0，无实数解（分母不能为0），故斜率不可能为0，A错误；
B：当m=0时，直线为x−1=0（垂直于x轴），斜率不存在，B正确；
C：若直线过点(2,1)，代入得2−m+m−1=1≠0，不成立，C错误；
D：x轴截距为1−m，y轴截距为m−1m。当1−m=m−1m时：
若m≠1，得1=−1m，即m=−1，此时截距均为2；
若m=1，直线为x−y=0，截距均为0，故截距可能相等，D正确。
8.答案：ACD
解析：
A：l2倾斜角为135∘，斜率为−1。l2:ax−(2a−3)y−1=0的斜率为a2a−3，由a2a−3=−1得a=1，A正确；
B：l1∥l2需满足1×[−(2a−3)]−a×a=0（系数交叉积相等），即a²+2a−3=0，解得a=1或a=−3。但a=1时，l1:x+y−1=0与l2:x+y−1=0重合，故仅a=−3，B错误；
C：l1⊥l2需满足1×a+a×[−(2a−3)]=0（系数积和为0），即−2a²+4a=0，解得a=0或a=2，C正确；
D：a>0时，l1:x+ay−a=0整理为y=−1ax+1（斜率为负，y轴截距为正），直线过第一、二、四象限，不过第三象限，D正确。
9.答案：AD
解析：
A：将点(1,1)代入直线xcs²α+ysin²α−1=0，得cs²α+sin²α−1=0（恒成立），故直线恒过定点(1,1)，A正确；
B：直线a²x−y+1=0与x−ay−2=0垂直的充要条件为a²×1+(−1)×(−a)=0，即a²+a=0，解得a=0或a=−1，故“a=−1”是充分非必要条件，B错误；
C：过点P(1,2)且在x轴、y轴上截距相等的直线，除了x+y−3=0，还有过原点的直线y=2x（截距均为0），C错误；
D：方程(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)是两点式的整式变形，适用于所有相异两点（无需考虑分母不为0的情况），D正确。
三、填空题
10.答案：−2
解析：直线(m²−2m−3)x−(2m²+m−1)y+6−2m=0的斜率为m²−2m−32m²+m−1（直线Ax+By+C=0的斜率为−AB，此处B=−(2m²+m−1)）。
由斜率为1得m²−2m−32m²+m−1=1，整理得m²+3m+2=0，解得m=−1或m=−2。
当m=−1时，A=1+2−3=0，B=−(2−1−1)=0，直线不存在，舍去；
当m=−2时，A=4+4−3=5≠0，B=−(8−2−1)=−5≠0，符合条件，故m=−2。
11.答案：x−2y−1=0
解析：直线2x+y−5=0的斜率为−2，与其垂直的直线斜率为12（负倒数）。
该直线过点A(3,1)，由点斜式得y−1=12(x−3)，整理为x−2y−1=0。
12.答案：x−y+1=0
解析：线段AB最短时，AB⊥直线l:x+y=0（垂线段最短）。直线l的斜率为−1，故AB的斜率为1（负倒数）。
直线AB过点A(0,1)，由斜截式得y=x+1，整理为x−y+1=0。
四、解答题
13.解：已知A(−2,6)、B(−4,−2)、C(2,2)，先求AC的中点M：M−2+22,6+22=(0,4)。
(1)斜率kBM=4−(−2)0−(−4)=64=32；
由点斜式（过M(0,4)）得y=32x+4，整理为3x−2y+8=0。
(2) AC的斜率kAC=2−62−(−2)=−1，故高的斜率为1（负倒数）；
由点斜式（过B(−4,−2)）得y+2=x+4，整理为x−y+2=0。
(3) 斜率为1（与高的斜率相同），过M(0,4)；
由点斜式得y−4=x，整理为x−y+4=0。
(4) 过AC边的中点且在x轴上截距为3的直线的方程
直线过M(0,4)和(3,0)，斜率k=0−43−0=−43；
由斜截式得y=−43x+4，整理为4x+3y−12=0。
14.解：已知A(−1,2)、B(2,−2)、C(3,5)。
(1) AC的斜率kAC=5−23−(−1)=34，故高的斜率为−43（负倒数）；
高过点B(2,−2)，由点斜式得y+2=−43(x−2)，整理为4x+3y−2=0。
(2) 第一步：计算AB、AC的长度，|AB|=(2+1)2+(−2−2)2=5，|AC|=(3+1)2+(5−2)2=5，故△ABC为等腰三角形（AB=AC）；
第二步：∠BAC的平分线过A(−1,2)且过BC的中点D，D2+32,−2+52=52,32；
第三步：斜率kAD=32−252+1=−17，由点斜式得y−2=−17(x+1)，整理为x+7y−13=0。
15.解：直线l的倾斜角为π3（斜率3），在x轴上的截距为2（过点(2,0)），故l的方程为y=3(x−2)。
(1) l的斜截式：y=3x−23；
l1过P(2,−3)、Q(3,0)，斜率kl1=0+33−2=3（与l的斜率相等）；
验证不重合：l过点(2,0)，l1过点(2,−3)，两点不重合，故l1∥l。
(2) l2的方程应为x+3y+2=0（补充遗漏的y），整理为y=−13x−23，故y轴截距为−233；
l2的斜率为−13，与l的斜率3的乘积为−13×3=−1，故l2⊥l。
(3)因l3∥l，设l3的方程为y=3x+b，其与x轴的截距为−b3，与y轴的截距为b；
由三角形面积公式：12×−b3×|b|=63，整理得b²23=63，解得b²=36，即b=6或b=−6；
当b=6时，l3的方程为3x−y+6=0；当b=−6时，l3的方程为3x−y−6=0。
综上，l3的一般式方程为3x−y+6=0或3x−y−6=0。