高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程课后练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程课后练习题，共7页。试卷主要包含了过点A与B的直线的方程是，经过两点，的直线方程可以表示为等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.已知直线l的两点式方程为y−0−3−0=x−(−5)3−(−5)，则直线l的斜率为（ ）
A. −38
B. 38
C. −32
D. 32
2.(2024湖北黄石二中月考)过点A(5,6)和点B(−1,2)的直线的两点式方程是（ ）
A. y−5x−6=y+1x−2
B. y−62−6=x−5−1−5
C. 2−6y−6=−1−5x−5
D. x−62−6=y−5−1−5
3.已知直线l经过点(−3,−2)，(1,2)，则下列不在直线l上的点是（ ）
A. (−2,−1)
B. (−1,0)
C. (0,1)
D. (2,1)
4.(2025江苏常州联盟学校学情调研)过点A(4,−1)与B(0,7)的直线的方程是（ ）
A. y=−2x+7
B. y=−2x−1
C. y=2x+7
D. y=−2x+4
5.直线x4−y5=2在y轴上的截距是（ ）
A. 5
B. -5
C. 10
D. -10
6.(2024吉林长春期中)在x，y轴上的截距分别是−3，4的直线方程是（ ）
A. 4x+3y−12=0
B. 4x−3y+12=0
C. 4x+3y−1=0
D. 4x−3y+1=0
二、多选题
7.经过两点(x1,y1)，(x2,y2)的直线方程可以表示为（ ）
A. x−x1x2−x1=y−y1y2−y1
B. x−x2x1−x2=y−y2y1−y2
C. (y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)
D. y−y1=y2−y1x2−x1(x−x1)
8.(2025河北邢台月考)已知直线l的两点式方程为y−95−9=x−82−8，则（ ）
A. 直线l经过点(5,2)
B. 直线l的解析式方程为x=32y−112
C. 直线l的倾斜角为锐角
D. 直线l的点斜式方程为y−2=23(x−5)
9.已知直线过点(4,−3)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程可能为（ ）
A. x−y−7=0
B. x+y−1=0
C. 3x+4y=0
D. 4x+3y=0
三、填空题
10.(2025陕西西安期中)已知△ABC的三个顶点分别为A(−6,3)，B(2,5)，C(7,−4)，则边AB上的中线所在直线的方程为________.
11.已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上的截距之和为7，则实数m的值为________.
12.(2025江苏苏州期中)直线l分别交x轴和y轴于点A，B，若M(1,2)是线段AB的中点，则直线l的方程为________.
四、解答题
13.一条光线从点A(−1,3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后经过点B(3,1)，则入射光线所在直线的方程为？（先推导再写方程）
14.（2025重庆巴蜀中学月考）如图，过点P(2,1)作直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点。
(1)求△AOB面积的最小值及相应的直线l的方程；
(2)当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程；
(3)当|PA|⋅|PB|取最小值时，求直线l的方程。
15.(2025河北衡水中学月考)已知直线l1:kx−y−3−4k=0(k∈R)过定点P。
(1)求过点P且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l2的方程；
(2)若直线l1交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，△ABO的面积为S（O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l1的方程。
一、单选题
1.答案：A
解析：两点式方程的核心是斜率k=y2−y1x2−x1。由题干方程可知，直线过(x1,y1)=(−5,0)和(x2,y2)=(3,−3)，故斜率k=−3−03−(−5)=−38，选A。
2.答案：B
解析：两点式方程的标准形式为y−yAyB−yA=x−xAxB−xA（xA≠xB，yA≠yB）。代入A(5,6)、B(−1,2)，得y−62−6=x−5−1−5，与选项B一致，选B。
3.答案：D
解析：先求直线方程：
斜率k=2−(−2)1−(−3)=1，由点斜式得y−2=1×(x−1)，即y=x+1；
代入选项验证：D(2,1)满足1≠2+1，故不在直线上，选D。
4.答案：A
解析：
斜率k=7−(−1)0−4=−2，直线过B(0,7)（y轴截距b=7）；
由斜截式y=kx+b得y=−2x+7，选A。
5.答案：D
解析：y轴截距即x=0时的y值：
代入x=0，得−y5=2，解得y=−10，选D。
6.答案：B
解析：截距式方程为x−3+y4=1（x截距−3，y截距4），整理为一般式：
4x−3y+12=0，选B。
二、多选题
7.答案：BC
解析：
A、D：需满足x1≠x2（斜率存在），否则分母为0，无法表示垂直于x轴的直线，错误；
B：与A等价（仅交换两点顺序），但需x1≠x2且y1≠y2，不过题目“可以表示”即存在适用场景，正确；
C：两点式的整式变形，无需分母不为0，适用于所有直线（包括垂直x轴或y轴的直线），正确。
8.答案：BC
解析：先化简题干两点式方程：
y−9−4=x−8−6 ⟹ 3(y−9)=2(x−8) ⟹ 2x−3y+11=0（斜率23）。
A：代入(5,2)，2×5−3×2+11=15≠0，不经过，错误；
B：变形为x=32y−112，与方程一致，正确；
C：斜率23>0，倾斜角为锐角，正确；
D：直线不经过(5,2)，点斜式不成立，错误。
9.答案：BC
解析：“截距相等”分两种情况：
① 截距为0（过原点）：设y=kx，代入(4,−3)得k=−34，方程3x+4y=0（选项C）；
② 截距不为0：设xa+ya=1，代入(4,−3)得a=1，方程x+y−1=0（选项B）。
故选BC。
三、填空题
10.答案：8x+9y−20=0
解析：
第一步：求AB中点M，M−6+22,3+52=(−2,4)；
第二步：求M(−2,4)与C(7,−4)的直线方程，斜率k=−4−47−(−2)=−89；
第三步：点斜式y−4=−89(x+2)，整理为8x+9y−20=0。
11.答案：4
解析：
x轴截距：令y=0，得x=12m；y轴截距：令x=0，得y=4；
截距之和12m+4=7，解得m=4。
12.答案：2x+y−4=0
解析：
设A(a,0)、B(0,b)，中点M(1,2)，故a2=1，b2=2，得a=2，b=4；
截距式x2+y4=1，整理为2x+y−4=0。
四、解答题
13.解：利用对称点法求解反射问题：
步骤1：找对称点
入射光线的反射光线过点A关于x轴的对称点A′(−1,−3)（反射定律：入射角=反射角，A′、P、B共线）。
步骤2：求反射光线A′B的方程
斜率kA′B=1−(−3)3−(−1)=1；
点斜式：y−1=1×(x−3)，即y=x−2。
步骤3：求入射点P
P是反射光线与x轴的交点，令y=0，得x=2，故P(2,0)。
步骤4：求入射光线AP的方程
斜率kAP=0−32−(−1)=−1；
点斜式：y−3=−1×(x+1)，整理为x+y−2=0。
14.解：设直线l的截距式为xa+yb=1（a>0，b>0），代入P(2,1)得2a+1b=1。
(1) 面积S=12ab，由基本不等式：
1=2a+1b≥22ab ⟹ ab≥8，当且仅当2a=1b（即a=4，b=2）时取等号；
最小值Smin=12×8=4，直线方程为x4+y2=1，整理为2x+y−4=0。
(2) |OA|+|OB|=a+b，由2a+1b=1得：
a+b=(a+b)2a+1b=3+ab+2ba≥3+22，当且仅当ab=2ba（即a=2+2，b=1+2）时取等号；
直线方程为x2+2+y1+2=1，整理为2x+2y−2(2+1)=0。
(3) 坐标法：|PA|=(a−2)2+1，|PB|=4+(b−1)2，由2a+1b=1得a=2bb−1；
代入化简：|PA|·|PB|=4+(b−1)2b−1=t+4t（t=b−1>0），由基本不等式得最小值4，当且仅当t=2（即a=3，b=3）时取等号；
直线方程为x3+y3=1，整理为x+y−3=0。
15.解：
(1)整理l1：k(x−4)−(y+3)=0，令x−4=0y+3=0，得P(4,−3)；
分情况求l2（截距绝对值相等）：
① 截距为0（过原点）：方程3x+4y=0；
② 截距不为0（b=a）：xa+ya=1，代入P得a=1，方程x+y−1=0；
③ 截距不为0（b=−a）：xa+y−a=1，代入P得a=7，方程x−y−7=0。
(2) 求A、B坐标：A4+3k,0（x正半轴，k>0），B(0,−3−4k)（y负半轴，k>0）；
面积S=124+3k(3+4k)=1224+16k+9k；
基本不等式：16k+9k≥216k·9k=24，当且仅当k=34时取等号；
最小值Smin=12(24+24)=24，此时l1的方程为3x−4y−24=0。