数学直线的交点坐标与距离公式巩固练习

这是一份数学直线的交点坐标与距离公式巩固练习，共9页。试卷主要包含了直线l1，若平面内两条平行线l1，若直线l1，已知点M关于直线l，对于直线l，已知两点A，B，点P是直线l，已知两条平行直线l1等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1.(2025浙江温州十校期中联考)直线l1:x−2y+1=0与直线l2:2x−4y+3=0间的距离为（ ）
A. 1
B. 255
C. 55
D. 510
2.(2025河北邯郸多校联考)已知直线2x+y−3=0与直线4x−my−3=0平行，则它们之间的距离是（ ）
A. 355
B. 510
C. 3510
D. 55
3.(2025山东烟台期中)若平面内两条平行线l1:x+(a−1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0间的距离为355，则实数a=（ ）
A. -1
B. 2
C. -1或2
D. -2或1
4.(2025重庆八中月考)已知直线x+3y+λ=0与直线2x+6y+1=0间的距离为102，则λ=（ ）
A. −92或112
B. -9
C. -9或11
D. 6或-4
5.(2025江西新余期末)若直线l1:ax−y+1=0与直线l2:(a+2)x−ay−1=0平行，则l1与l2之间的距离为（ ）
A. 55
B. 255
C. 355
D. 3510
6.在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x−2y+1=0和x−2y+3=0，另一组对边所在直线的方程分别为3x+4y+c1=0和3x+4y+c2=0，则|c1−c2|=（ ）
A. 23
B. 25
C. 2
D. 4
二、多选题
7.已知点M(1,2)关于直线l:y=kx+b对称的点是N(−1,6)，直线m过点M，则（ ）
A. kb=2
B. l在x轴上的截距是−8
C. 点M到直线l的距离为1
D. 当m∥l时，两直线间的距离为5
8.(2025福建厦门外国语学校月考)对于直线l:(m−1)x+y−2m+3=0，下列结论中正确的是（ ）
A. 直线l恒过点(2,−1)
B. 当m=0时，直线l在y轴上的截距为3
C. 若直线l不经过第二象限，则m∈(1,32)
D. 坐标原点到直线l的距离的最大值为5
9.(2025浙江温州期中)已知两点A(−5,−1)，B(0,4)，点P是直线l:y=2x−1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 存在P(1,1)使|PA|+|PB|最小
B. 存在P(12,0)使|PA|2+|PB|2最小
C. 存在P(5,9)使|PA|−|PB|最小
D. 存在P(0,−1)使||PA|−|PB||最小
三、填空题
10.(2025河南濮阳期中)已知两条平行直线l1:x−2y+1=0，l2:mx−y+n=0间的距离为5，则|2m−2n|=________.
11.(2025陕西咸阳期中)两平行直线l1，l2分别过点P(−1,3)，Q(2,−1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是________.
12.已知直线l1:kx−3y+9b=0与l2:2x+y+b2+3=0，其中k,b∈R。若直线l1∥l2，则l1与l2间距离的最小值是________.
四、解答题
13.(2025河南南阳一中月考)已知直线l1:3x+4y−7=0，l2:3x+4y+8=0，点A和点B分别是直线l1，l2上一动点。
(1)若直线AB经过原点O，且|AB|=3，求直线AB的方程；
(2)设线段AB的中点为P，求点P到原点O的距离的最小值。
14.(2024四川遂宁月考)已知直线l经过点A(2,4)，且被平行直线l1:x−y+1=0与l2:x−y−1=0所截得的线段的中点M在直线x+y−3=0上，求直线l的方程。
15.(2025湖北武汉月考)已知两条平行直线l1:x−2y+m=0(m>0)与l2:2x+ny−6=0之间的距离是25。
(1)求直线l1关于直线l2对称的直线方程；
(2)求直线l1关于直线l3:3x−y−4=0对称的直线方程。
一、单选题
1.答案：D
解析：两条平行直线间距离公式需先统一x,y系数：
将l1:x−2y+1=0化为2x−4y+2=0，与l2:2x−4y+3=0对比，得A=2,B=−4,C1=2,C2=3。
距离d=|C1−C2|A2+B2=|2−3|22+(−4)2=125=510。
2.答案：C
解析：
① 由平行条件求m：直线2x+y−3=0与4x−my−3=0平行，故24=1−m≠−3−3，解得m=−2。
② 统一系数求距离：将2x+y−3=0化为4x+2y−6=0，与4x+2y−3=0对比，距离d=|−6−(−3)|42+22=325=3510。
3.答案：A
解析：
① 由平行条件求a：直线l1:x+(a−1)y+2=0与l2:ax+2y+1=0平行，故1a=a−12≠21，解得a=2或a=−1。
② 验证距离：
当a=2时，l1:x+y+2=0，l2:2x+2y+1=0（化为x+y+0.5=0），距离|2−0.5|2=324≠355，舍去；
当a=−1时，l1:x−2y+2=0，l2:−x+2y+1=0（化为x−2y−1=0），距离|2−(−1)|12+(−2)2=35=355，符合条件。故a=−1。
4.答案：A
解析：
① 统一系数：将x+3y+λ=0化为2x+6y+2λ=0，与2x+6y+1=0对比。
② 列距离方程求解：距离d=|2λ−1|22+62=|2λ−1|210=102，故|2λ−1|=10，解得λ=112或λ=−92。
5.答案：D
解析：
① 由平行条件求a：直线l1:ax−y+1=0与l2:(a+2)x−ay−1=0平行，故aa+2=−1−a≠1−1，解得a=2（a=−1时两线重合，舍去）。
② 求距离：将l1:2x−y+1=0化为4x−2y+2=0，与l2:4x−2y−1=0对比，距离d=|2−(−1)|42+(−2)2=325=3510。
6.答案：B
解析：菱形两组对边平行，且对边距离相等（菱形边长相等，面积=边长×高，故两组高相等）。
① 求第一组对边距离：x−2y+1=0与x−2y+3=0的距离d1=|1−3|12+(−2)2=25。
② 求第二组对边距离：设3x+4y+c1=0与3x+4y+c2=0的距离d2=|c1−c2|32+42=|c1−c2|5。
由d1=d2，得25=|c1−c2|5，故|c1−c2|=25。
二、多选题
7.答案：ABD
解析：由M(1,2)与N(−1,6)对称，得：
中点(0,4)在l:y=kx+b上，故b=4；
MN斜率为−2，与l垂直，故k=12，即l:y=12x+4（化为x−2y+8=0）。
验证选项：
A：kb=12×4=2，正确；
B：l在x轴截距：令y=0，得x=−8，正确；
C：M到l的距离|1−4+8|1+4=5≠1，错误；
D：m∥l且过M，方程为x−2y+3=0，两线距离|8−3|5=5，正确。
8.答案：AD
解析：将直线l:(m−1)x+y−2m+3=0化为m(x−2)+(−x+y+3)=0，恒过定点(2,−1)（A正确）。
B：当m=0时，l:−x+y+3=0，y轴截距为−3≠3，错误；
C：l不经过第二象限，需斜率1−m≥0且截距2m−3≤0，即m≤1，而非m∈(1,32)，错误；
D：原点到l的最大距离为原点到定点(2,−1)的距离，即22+(−1)2=5，正确。
9.答案：ABD
解析：设P(x,2x−1)，结合几何性质分析：
A：|PA|+|PB|最小，找A关于l的对称点A′(3,−5)，A′B与l交点为P(1,1)，正确；
B：|PA|2+|PB|2=10x2−10x+50，二次函数最小值在x=12，即P(12,0)，正确；
C：|PA|−|PB|最大值为|AB|（P(5,9)时），最小值为−|AB|，错误；
D：||PA|−|PB||最小为0（P在AB垂直平分线上），交点为P(0,−1)，正确。
三、填空题
10.答案：5
解析：
① 由平行得m=12（同第1题逻辑），将l2:12x−y+n=0化为x−2y+2n=0。
② 距离|1−2n|5=5，故|1−2n|=5。
③ 所求|2m−2n|=|2×12−2n|=|1−2n|=5。
11.答案：(0,5]
解析：两平行线间距离的最大值为两点P(−1,3)与Q(2,−1)的距离（当两线垂直于PQ时），PQ=(2+1)2+(−1−3)2=5；距离大于0（两线不重合），故范围为(0,5]。
12.答案：3520
解析：
① 由平行得k=−6（同第2题逻辑），将l1:−6x−3y+9b=0化为2x+y−3b=0。
② 距离d=|−3b−(b2+3)|5=|b2+3b+3|5。
③ 二次函数b2+3b+3的最小值为34（顶点公式），故dmin=345=3520。
四、解答题
13.解：
(1) 设直线AB的方程为y=kx（过原点），分别与l1,l2联立求交点：
与l1:3x+4y−7=0交于A73+4k,7k3+4k；
与l2:3x+4y+8=0交于B−83+4k,−8k3+4k。
由|AB|=3，得151+k2|3+4k|=3，解得k=43，故方程为4x−3y=0。
(2) 设P(x,y)为AB中点，则A(2x−x2,2y−y2)（B(x2,y2)在l2上），代入l1得3(2x−x2)+4(2y−y2)−7=0，结合3x2+4y2=−8，化简得6x+8y=−1（P的轨迹）。
点P到原点的最小距离为原点到直线6x+8y+1=0的距离，即162+82=110。
14.解：
设线段中点为M(x0,y0)，由M到l1:x−y+1=0与l2:x−y−1=0的距离相等，得M在x−y=0上（两平行线的中垂线）。
又M在x+y−3=0上，联立x−y=0x+y−3=0，解得M32,32。
直线l过A(2,4)与M32,32，斜率k=5，方程为5x−y−6=0。
15.解：
(1) 由平行得n=−4（同第6题逻辑），l2化为x−2y−3=0；由距离得m=7（m>0），l1:x−2y+7=0。
设对称直线上点(x,y)的对称点(x′,y′)在l1上，由对称性质得x′=3x+4y+65,y′=4x−3y−125，代入l1化简得x−2y−13=0。
(2) 求l1与l3:3x−y−4=0的交点(3,5)（在对称直线上）；找l1上点(−7,0)的对称点(8,−5)，由两点式得斜率−2，方程为2x+y−11=0。