高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的交点坐标与距离公式习题，共8页。试卷主要包含了若点P到直线l，点A到直线l，已知A，B两点到直线l，已知点M关于直线l，已知两点A，B，点P是直线l等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1.(2024广东东莞期中)若点P(1,3)到直线l:4x+3y+a=0(a>0)的距离为3，则a=（ ）
A. 2
B. 3
C. 32
D. 4
2.(2025安徽合肥月考)已知直线l1:x+y+C=0与直线l2:Ax+By+C=0交于点(1,1)，则原点O到直线l2的距离的最大值为（ ）
A. 2
B. 2
C. 22
D. 1
3.（教材习题改编）已知直线l过原点O，且A(1,0)，B(3,2)两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A. x−y=0
B. x−2y=0
C. x+y=0或x+2y=0
D. x−y=0或x−2y=0
4.(2025陕西咸阳段考)点A(2,−4)到直线l:(1−3m)x+(1−m)y+4+4m=0（m为任意实数）的距离的取值范围是（ ）
A. [0,5]
B. [0,25]
C. [0,4]
D. [0,5]
5.已知A(−2,−4)，B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则实数a的值为（ ）
A. -3
B. 3
C. -1
D. -3或3
6.(2025广东珠海一中检测)已知点P(3,4)到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有（ ）
A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
二、多选题
7.已知平面内一点M(3,4)，若直线l上存在点P，使|PM|=2，则称该直线为点M(3,4)的“2域直线”，下列直线中是点M(3,4)的“2域直线”的是（ ）
A. 4x−3y=0
B. y=2
C. x−4y=0
D. x=5
8.已知点M(1,2)关于直线l:y=kx+b对称的点是N(−1,6)，直线m过点M，则（ ）
A. kb=2
B. l在x轴上的截距是−8
C. 点M到直线l的距离为1
D. 当m∥l时，两直线间的距离为5
9.(2025浙江温州期中)已知两点A(−5,−1)，B(0,4)，点P是直线l:y=2x−1上的动点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 存在P(1,1)使|PA|+|PB|最小
B. 存在P(12,0)使|PA|2+|PB|2最小
C. 存在P(5,9)使|PA|−|PB|最小
D. 存在P(0,−1)使||PA|−|PB||最小
三、填空题
10.(2025黑龙江牡丹江月考)如图，已知网格中每个小正方形的边长都是1，则点C到直线AB的距离为________.
11.(2025黑龙江牡丹江月考)若P(m,n)为直线x−2y−8=0上的动点，则m2+(n−1)2的最小值为________.
12.(2025江苏南京东山外国语学校检测)已知点P(−2,−1)，直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为________.
四、解答题
13.(2025福建部分优质高中质检)已知△ABC的一个顶点为A(1,2)，AB边上的中线CM所在直线的方程为x+2y−1=0，∠ABC的平分线BH所在直线的方程为y=x。
(1)求直线BC的方程和点C的坐标；
(2)求△ABC的面积。
14.已知ΔABC的三个顶点是A(2,3),B(1,2),C(4,-4).
(1)求BC边上的中线所在直线l1的方程；
(2)若直线l2过点C，且点A,B到直线l2的距离相等,求直线l2的方程.
15.(2025湖北武汉月考)已知直线l:y=3x+3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点的坐标；
(2)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程。
一、单选题
1.答案：A
解析：根据点到直线距离公式，点P(1,3)到直线4x+3y+a=0的距离为：
|4×1+3×3+a|42+32=|13+a|5=3
因a>0，故13+a=15，解得a=2。
2.答案：B
解析：由两直线交于(1,1)，代入l1:x+y+C=0得C=−2；代入l2:Ax+By−2=0得A+B=2。
原点到l2的距离d=2A2+B2，由均值不等式A2+B2≥(A+B)22=2，故dmax=22=2。
3.答案：D
解析：分两种情况：
直线l过AB中点(2,1)，斜率为12，方程为x−2y=0；
直线l平行于AB（斜率为1），过原点，方程为x−y=0。
4.答案：B
解析：整理直线方程为x+y+4+m(−3x−y+4)=0，过定点Q(4,−8)。
点A到直线的距离最大值为AQ=(4−2)2+(−8+4)2=25，最小值为0，故范围为[0,25]。
5.答案：D
解析：由距离相等得|−2a−4+1|a2+1=|a+5+1|a2+1，即|2a+3|=|a+6|，平方解得a=±3。
6.答案：C
解析：分截距为0和不为0：
截距为0：设y=kx，由距离得k=−34，直线3x+4y=0（1条）；
截距不为0：设x+y=a，由距离得a=7±52（2条）。
共3条直线。
二、多选题
7.答案：ABD
解析：“2域直线”需与圆(x−3)2+(y−4)2=4有交点（距离d≤2）：
A：d=|12−12|5=0≤2；B：d=|4−2|=2≤2；C：d=|3−16|17>2；D：d=|3−5|=2≤2。
8.答案：ABD
解析：由对称得MN中点(0,4)在l上（b=4），MN斜率−2与l垂直（k=12）：
A：kb=12×4=2；B：l截距x=−8；C：距离|1−4+8|5=5≠1；D：平行线距离|8−3|5=5。
9.答案：ABD
解析：
A：找A对称点A′(3,−5)，与B交点为P(1,1)；
B：设P(x,2x−1)，|PA|2+|PB|2=10x2−10x+50，最小值在x=12（P(12,0)）；
C：P(5,9)时|PA|−|PB|=|AB|（最大值），非最小值；
D：P(0,−1)在AB垂直平分线上，||PA|−|PB||=0（最小值）。
三、填空题
10.答案：101717
解析：在平面直角坐标系中，给定点 A(0,1)、B(4,0)、C(2,3)。
直线 AB 的方程由截距式表示为：
x4+y1=1
化为一般式：
x+4y−4=0
点 C 到直线 AB 的距离计算公式为：
d=|Ax0+By0+C|A2+B2
代入点 C(2,3) 和直线系数 A=1, B=4, C=-4：
d=|1×2+4×3−4|12+42=|2+12−4|17=1017=101717
因此，点 C 到直线 AB 的距离为 101717。
11.答案：25
解析：m2+(n−1)2是P(m,n)到(0,1)的距离，最小值为(0,1)到直线x−2y−8=0的距离：
|0−2−8|1+4=25
12.答案：13
解析：直线过定点Q(1,1)，距离最大值为PQ=(1+2)2+(1+1)2=13。
四、解答题
13.解：
(1) 设B(t,t)（因B在y=x上），AB中点M(1+t2,2+t2)代入x+2y−1=0，得t=−1，故B(−1,−1)。
由角平分线性质，直线BC斜率为23，方程为2x−3y−1=0。
联立x+2y−1=0与2x−3y−1=0，解得C(57,17)。
(2) 直线AB:3x−2y+1=0，AB=13，C到AB的距离d=20713，面积为：
12×13×20713=107
14.解：
(1) BC中点M(52,−1)，直线l1过A(2,3)，斜率为−8，方程为8x+y−19=0。
(2) 分两种情况：
平行于AB（斜率1）：x−y−8=0；
过AB中点(32,52)：斜率−135，方程为13x+5y−32=0。
15.解：
(1) 设对称点P′(x0,y0)，由垂直得y0−5x0−4=−13，中点在l上得y0+52=3×x0+42+3，联立解得P′(−2,7)。
(2) 设l′上点(x,y)，其对称点(6−x,4−y)在l上，代入得4−y=3(6−x)+3，整理为3x−y−17=0。