必修 第二册平面向量的运算学案设计

这是一份必修 第二册平面向量的运算学案设计，共6页。
1．向量的加法：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法．
（1）向量加法的平行四边形法则；（2）向量加法的三角形法则：将第二个向量的始点与第一个向量的终点相重合，则第一个向量的始点为始点，第二个向量的终点为终点所组成的向量，即为两向量的和 （3）对于共线的向量，分别为同向或反向的两种情况．
2．向量加法的性质：（1）向量加法的交换律：；
（2）向量加法的结合律：；
（3）．
3．向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算（用加法的逆运算定义向量的减法）．若则叫做的差，记作．
4．求作差向量：已知向量，求作向量．
作法：在平面内取一点，作可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量．
要点诠释
1．注意：两个向量的和仍是向量（简称和向量）．
2．向量加减法运算的几何意义：
典例强化
例1．化简．
A
B
C
D
例2．如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
例3．如图，AD，BE，CF分别是的中线，G为重心，且，试用，表示，
举一反三
1．设为所在平面内一点，则（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量（ ）
A． B．
C． D．
3．在中，，，，M为BC 的组中点，则_______．（用、表示）
知识点二：向量数乘运算及其几何意义
1．实数与向量的积，定义：实数与非零向量的积是一个向量，记作．它的模与方向规定如下：
（1）；（2）时，与方向相同；时，与方向相反；时，．
特点：当时，与平行．
2．实数与向量积的运算：结合律：；分配律
3．共线向量定理：向量(≠0)与共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得＝λ．
要点诠释
1．三点共线的性质定理：
（1）若平面上三点A、B、C共线，则eq \(AB,\s\up6(→))＝λeq \(BC,\s\up6(→))．
（2）若平面上三点A、B、C共线，O为不同于A、B、C的任意一点，则eq \(OC,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))，且λ＋μ＝1．
2．共线向量定理应用时的注意点：
（1）向量共线的充要条件中要注意“≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．
（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合．
典例强化
例1．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若，=+，则λ等于( )
A． B． C．－ D．－
例2．已知，设为实数，如果，
那么为何值时，C，D，E三点在同一条直线上．
举一反三
1．已知是△ABC所在平面内的一点，若，其中λ∈R，则点一定在( )
A．△ABC的内部 B．AC边所在直线上 C．AB边所在直线上 D．BC边所在直线上
2．已知不平行，三点共线．
3．在中，为边上一点，，，则为.
随堂基础巩固
1．在中，已知是中点，设，则=（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，不共线，＝k+(k∈R)，＝－，如果∥，那么( )
A．k＝1且与同向 B．k＝1且与反向 C．k＝－1且与同向 D．k＝－1且与反向
4．设D是△ABC所在平面内一点，且，设，则的值为.
课时跟踪训练
1．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．给出命题①零向量的长度为零，方向是任意的．②若，都是单位向量，则=．
③向量与向量相等．④若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线．
以上命题中，正确命题序号是（ ）
A．① B．② C．①和③ D．①和④
4．设为中边上的中点，且为边上靠近点的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知和点满足．若存在实数m使得成立，则m=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
6．已知点O为△ABC外接圆的圆心，且，则△ABC的内角A等于( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
7．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F．若，试求的值为．
8．平行四边形ABCD中， M为BC的中点，若，试求的值为．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
(1)交换律：；
(2)结合律：
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则