人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示学案，共5页。
1．平面向量基本定理
（1）定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数λ1，λ2，使＝λ1＋λ2．
（2）基底：不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
单位向量定义：长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量．设是非零向量同方向的单位向量，则或．
2．向量平行的充要条件：与非向量平行（共线）的充要条件是有且只有一个实数使得
推论：的充要条件是存在实数使．
要点诠释
1．平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．
2．选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
3．强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
典例强化
例1．在三角形ABC中，点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 AB边的中点，点 SKIPIF 1 < 0 F为 SKIPIF 1 < 0 AC边的中点， SKIPIF 1 < 0 BF交 SKIPIF 1 < 0 CE于点 SKIPIF 1 < 0 G，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例2．如图所示，在△ABC中，H为BC上异于B，C的任一点，M为AH的中点，若，则λ＋μ＝________．
例3．在中，，若，则的值为_________．
举一反三
1．如图，已知＝ SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 ，表示，则 SKIPIF 1 < 0 等于( )
A． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
C．－ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 D．－ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
2．在三角形ABC中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在正方形ABCD中， M，N分别是BC，CD的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． 1 D． -1
知识点二：平面向量的坐标表示与坐标运算
1．平面向量的坐标表示:
在直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底．由平面向量的基本定理知，该平面内的任意一个向量可表示成，由于与数对是一一对应的，因此把叫做向量的坐标，记作，其中叫作在轴上的坐标，叫作在轴上的坐标．
规定：（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量．
（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．
2．平面向量的坐标运算:
（1）设=，=，则=．
（2）设=，=，则=．
（3）设，，则．
（4）设=，，则=．
（5）设=，=，则（斜乘相减等于零）．
（6）设=，则||=．
要点诠释
1．两个向量平行（共线）的充要条件:
（1）如果，则的充要条件是有且只有一个实数，使得（没有坐标背景）．
（2）如果=，=，则的充要条件是(坐标背景)．
2．三点共线的充要条件:
（1）、、三点共线的充要条件是．
（2）设、不共线，点、、三点共线的充要条件是．
特别地，当时，是中点．
典例强化
例1．已知点 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例3．在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知四边形 SKIPIF 1 < 0 ABCD是平行四边形，=(1，-2) SKIPIF 1 < 0 ，=(2，1) SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
例4．已知向量=（2，6），= SKIPIF 1 < 0 ，若||，则 SKIPIF 1 < 0 ．
举一反三
1．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2，5)三点共线，则m的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知A(－2，－3)，B(2，1)，C(1，4)，D(－7，t)，若与共线，则t＝________．
3．设，是平面内一组基底，若λ1＋λ2＝0，则λ1＋λ2＝________．
4．若＝(3，2)，－2＋4＝(－6，0)，则－2＝________．
随堂基础巩固
1．已知向量=（csα，﹣2），=（sinα，1），且∥，则等于（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．
4．已知向量，，且∥，则（ ）
A．3 B． C． D．
5．三角形ABC中，点E为AB边的中点，点F为AC边的中点，BF交CE于点G，若，则等于（ ）
A． B．C． D．
6．如图，在中，=，点P是BN上的一点，若=+，则实数的值为（ ）
A．1 B． C． D．3
7．已知向量，，则当时，的取值范围是_________．
8．△ABC中，||＝10，||＝15，∠BAC＝，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且，直线CD与BE相交于点P，则线段AP的长为_________．
9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1 ≤ λ ≤ 2，0 ≤ μ ≤ 1）的点P组成，则D的面积为 ．
课时跟踪训练
1．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则向量eq \f(1,2)的坐标是（ ）
A．(－4，eq \f(1,2)) B．(4，－eq \f(1,2)) C．(－8，1) D．(8，1)
2．已知M(3，－2)，N(－5，－1)且＝eq \f(1,2)，则P点的坐标为( )
A．(－8，1) B．(－1，－eq \f(3,2)) C．(1，eq \f(3,2)) D．(8，－1)
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且＝2，则顶点D的坐标为( )
A．(2，eq \f(7,2)) B．(2，－eq \f(1,2)) C．(3，2) D．(1，3)
4．已知向量＝(1－sinθ，1)，＝(eq \f(1,2)，1＋sinθ)，且∥，则锐角θ等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b，0)，a>0，b>0，O为坐标原点，若A、B、C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
6．直角坐标系xOy中，＝(2，1)，＝(3，k)，若三角形ABC是直角三角形，则k的可能值个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
7．l1、l2是不共线向量，且＝－l1＋3l2，＝4l1＋2l2，＝－3l1＋12l2，若、为一组基底，则＝_____．
8．已知向量＝(3，1)，＝(1，3)，＝(k，7)，若(－)∥，则k的值为．
9．若向量＝(1，2)，＝(x，1)，＝＋2，＝2－且∥，则x的值为．
10．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)．
（1）若点A、B、C能够成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若点A、B、C构成以∠A为直角的直角三角形，求m的值．