数学平面向量的运算学案

这是一份数学平面向量的运算学案，共5页。
1．两个向量的夹角
（1）定义已知两个非零向量和，作，，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．
（2）范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°．
（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥
2．平面向量数量积
（1）已知两个非零向量与，则数量||||·cs θ叫做与的数量积，记作·，即·＝||||cs θ，其中θ是与的夹角．【规定·＝0． 当⊥时，θ＝90°，这时·＝0】
（2）的几何意义：数量积·等于的长度||与在的方向上的投影||cs θ的乘积．
要点诠释
1．平面向量数量积的计算方法
（1）已知向量，的模及夹角，利用公式·＝||||cs θ，求解；
（2）已知向量，的坐标，利用数量积的坐标形式求解．
2．对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用数量积的运算律化简，再进行运算．
典例强化
例1．已知向量=(1，2)，=(1，-1)，则=（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．4
例2．已知向量与的夹角为60°，||=2，||=5，则-在方向上的投影为（ ）
A． B．2 C． D．3
例3．在中，，AB=3，AC=2．若，且，则的值为___________．
举一反三
1已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得
DE=2EF则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量=(2，3)，=(-4，7)，则在方向上的投影为（ ）
A． B． C． D．
3．在矩形ABCD中，，点F在边CD上，若，则的值为（ ）
A．0 B． C．-4 D．4
知识点二：平面向量数量积的坐标表示、摸、夹角
1．向量数量积的性质
（1）如果是单位向量，则 （2）
（3）||2，||=． （4）(为与的夹角)
（5）|·|||||．
2．数量积的运算律：（1）交换律：·＝· （2）分配律：(+)·＝·+·．
（3）对∈R，(·)＝()·＝·()．
3．数量积的坐标运算：设＝(a1，a2)，＝(b1，b2)，则：
（1）·＝a1b1＋a2b2． （2）⊥a1b1＋a2b2＝0．
（3）||＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2))． （4）＝．(为与的夹角)
要点诠释
1．两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角．
2．两向量夹角的范围为[0，π]，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为π．
3．在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围．
典例强化
例1．2．已知向量的夹角为，且，，则||=（ ）
A． B． C． D．
例2．设向量，，且，则的值为__________．
例3．已知向量的夹角为60°，||=2，||=1，则 |+2 |= ．
举一反三
1．已知向量，，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知非零向量，满足4││=3││，cs=．若⊥（t+），则实数t的值为（ ）
A．4 B．–4 C． D．–
3．已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是 ．
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1．若向量=(2，0)，=(1，1)，则下列结论正确的是（ ）
A．=1 B．||=|| C． D．
2．若 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ||=1，||=2，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，||=3，则= ．
4．已知向量与的夹角为120°，且||=||=4，那么的值为________．
5．已知， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ||=2，||=3，且与垂直，则实数的值为 ．
6．已知向量=(1，2)，=(-3，4)．（1）求+与-的夹角；（2）若，求实数的值．
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1．设=(1，2)，=(1，1)，．若，则实数的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量=(3，1)，=(1，3)，=(k，-2)，若，则向量与向量的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
3．，是两个向量，||=1，||=2且(+)，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．若非零向量，满足||=||，=0，则与的夹角为
A． B． C． D．
5．已知向量=(1，1)，2+=(4，2)，则向量，的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知平面向量，夹角为，且||=1，||=，则+2与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
7．已知=(，)，||=2，|+2|=2，则在方向上的投影为__________．
8．设向量=(1，)，=(m，)，且，的夹角为，则实数m=__________．
9．已知AD，BE分别是三角形ABC的中线，若AD=BE=1，且=，则与的夹角为 ．
10．已知，是两个单位向量．（1）若|3-2|=3，试求|3+|的值；（2）若，的夹角为，试求向量=2+与=2-的夹角的余弦．