数学人教A版2019选择性必修第一册 6.2.1平面向量的运算讲义（学生版＋教师版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28706" 【题型1 向量的加、减运算】 PAGEREF _Tc28706 \h 3
\l "_Tc8328" 【题型2 向量数乘的有关计算】 PAGEREF _Tc8328 \h 4
\l "_Tc83" 【题型3 平面向量的混合运算】 PAGEREF _Tc83 \h 5
\l "_Tc24937" 【题型4 由平面向量的线性运算求参数】 PAGEREF _Tc24937 \h 7
\l "_Tc629" 【题型5 平面向量共线定理证明点共线问题】 PAGEREF _Tc629 \h 9
\l "_Tc16725" 【题型6 平面向量共线定理的推论及应用】 PAGEREF _Tc16725 \h 11
\l "_Tc4572" 【题型7 根据向量关系判断三角形的心】 PAGEREF _Tc4572 \h 13
\l "_Tc24387" 【题型8 向量的线性运算的几何应用】 PAGEREF _Tc24387 \h 16
1．向量的加法运算
(1)向量加法的定义及两个重要法则
(2)多个向量相加
为了得到有限个向量的和，只需将这些向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量，就是这些向量的和，如图所示.

2．向量加法的运算律
(1)交换律：；
(2)结合律：.
3．向量的减法运算
(1)相反向量
我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作.零向量的相反向量仍是零向量.
(2)向量减法的定义：
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
(3)向量减法的三角形法则
如图，已知向量a,b，在平面内任取一点O，作，，则.即可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义.

4．向量的数乘运算
(1)向量的数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：
①；
②当λ>0时，的方向与a的方向相同；当λ0,y>0，再根据“1”的代换，运用基本不等式可解.
【解答过程】由D是BC的中点得BC=2BD，所以BP=xBA+yBC=xBA+2yBD，
因为A,P,D三点共线，所以x+2y=1x>0,y>0，
所以1x+8y=(1x+8y)(x+2y)=17+2yx+8xy≥17+22yx⋅8xy=25，
当且仅当2yx=8xy，即y=2x=25时取等号，
所以1x+8y的最小值是25.
故选：D.
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
向量加法的三角形法则
前提
已知非零向量a,b，在平面内任取一点A.
作法
作，连接AC.
结论
向量叫做a与b的和，记作，即.
图形
向量加法的平行四边形法则
前提
已知两个不共线的向量a,b，在平面内任取一点O.
作法
作，以OA,OB为邻边作四边形OACB.
结论
以O为起点的向量就是向量a与b的和，即.
图形
规定
对于零向量与任一向量a，我们规定.