数学必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示学案设计

这是一份数学必修 第二册平面向量基本定理及坐标表示学案设计，共5页。学案主要包含了知识梳理，学习目标，例题分析，课时训练等内容，欢迎下载使用。
一、两向量的夹角与垂直
1.夹角：已知两个非零向量a和b，O是平面上的任意一点，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向.
2.垂直：如果a与b的夹角是eq \f(π,2)，则称a与b垂直，记作a⊥b.
二、向量数量积的定义
非零向量a，b的夹角为θ，数量|a||b|cs θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cs θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.
三、投影向量
在平面内任取一点O，作eq \(OM,\s\up6(→))＝a，eq \(ON,\s\up6(→))＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \(OM1,\s\up6(→))就是向量a在向量b上的投影向量.
设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则eq \(OM1,\s\up6(→))与e，a，θ之间的关系为eq \(OM1,\s\up6(→))＝|a|cs θ e.
四、平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则
(1)a·e＝e·a＝|a|·cs θ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a∥b时，a·b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|a||b|，a与b同向，,－|a||b|，a与b反向.))
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)|a·b|≤|a||b|.
五、平面向量数量积的运算律
1.a·b＝b·a(交换律).
2.(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律).
3.(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)
【学习目标】
理解实向量的数量积的物理意义，能够计算两个向量的数量积
掌握向量数量积的运算律与常用公式
数形结合解决向量综合问题
【例题分析】
例1.（1）若与是相反向量，且=3，则等于（ ）
A．9B．0C．-3D．-9
（2）已知向量、满足， 与的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
巩固. 若的夹角为，则___________.
例2.已知向量与的夹角为120°， ||＝2， ||＝3，求：
（1）(＋)·(－)；
（2）|－|．
巩固.
若平面向量，满足，，，则___________．
已知向量与满足，，与的夹角大小为60°，则______．
已知向量，满足，，，则与的夹角为__________.
例3.已知，且，则向量在向量上的投影向量的模等于________．
巩固. 已知向量，，若，则向量在方向上的投影为______.
例4.已知为边长为2的正方形的边DC上任一点，则的最大值为（ ）
A．4B．6C．8D．10
巩固.
设圆C半径为r，若A， B两点都是⊙C上的动点，求的最大值．
【课时训练】
一、单选题
1．下面给出的关系式中正确的个数是（ ）
①；②；③；④；⑤.
A．1B．2C．3D．4
2．若，则的值不可能是（ ）
A．0B．C．2D．3
3．若，向量与向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4．已知均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则（ ）
A．1B．C．2D．或2
6．已知，的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）
A．15B．C．14D．16
7．若向量，满足且，则（ ）
A．4B．3C．2D．0
8．已知，如果，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
9．若向量满足：则（ ）
A．2B．C．1D．
10．在同一平面内，线段为圆的直径，动点满足，则点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外部B．点在圆上C．点在圆内部D．不确定
11．在边长为1的等边三角形中，设，则（ ）
A．B．0C．D．3
二、填空题
12．已知两个单位向量的夹角为，若向量，则_____________.
13．已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_____________.
14．已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则_____________.
15．已知，且，则与的夹角的取值范围是__________.
16．已知，，则与的夹角为 .
17．已知向量与的夹角为，且，则________.
18．已知，与的夹角为.若与的夹角锐角，则实数的取值范围为________.
19．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是_____.