高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念导学案

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一、平面向量的概念
在数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等都是数量。
【例1】下列量中是向量的为
A. 体积 B. 距离 C. 拉力 D. 质量
解：
体积、距离、质量都是数量，只有拉力是向量。
故选：C。
二、向量的几何表示
1.有向线段
通常，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以A为起点、B为终点的有向线段记作AB，线段AB的长度也叫做有向线段 AB的长度，记作|AB|。
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了。
2.向量的几何表示
向量可以用有向线段AB来表示，我们把这个向量记作向量AB。有向线段的长度|AB|表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向。
向量也可以用字母a，b，c，…表示（印刷用黑体a，书写用 a）。
3.向量的长度
向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作|AB|。
【例2】如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求：
（1）|AB|；（2） |CD|；（3） |EF|。
解：
（1）AB=32；
（2）CD=26；
（3）EF=22。
4.零向量
长度为0的向量叫做零向量，记做0。
零向量的方向是任意的。
5.单位向量
长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量。
每个方向上都会存在一个单位向量。每个方向上的单位向量虽然模长相同，都是1个单位长度，但是其方向不同，因此不同方向上的单位向量并不相等。

a|a|表示a方向上的单位向量。
6.向量不能比较大小
向量具有方向，不能比较大小。但是向量的长度可以比较大小。
【例3】在如图的方格纸中，小方格的边长为1，画出下列向量。
（1）|OA|=3，点A在点O的正西方向；
（2）|OB|=32，点B在点O的北偏西45°方向；
（3）根据（1）、（2），作出向量AB并求出|AB|的值。
解：
（1）如图所示：
（2）如图所示：
经计算，AB=35。
三、相等向量与共线向量
1.平行向量与共线向量
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
向量a与b平行，记作a//b。
规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量a，都有0//a。
如图a，b，c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出OA=a，OB=b，OC=c。这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。
直线的共线说明两条直线都在同一条直线上，但是向量的共线并不能说明两个向量在同一条直线上，要注意直线共线与向量共线的区别。
2.相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关； 同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定。
【例4】下列命题中，正确的是
A. 若a与b方同向，且 |a|>|b|，则a>b
B. 若|a|=|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反
C. 对于任意|a|=|b|，且a与b的方向相同，则a=b
D. 所有的单位向量都相等
解：
向量不能比较大小，故A错误。由|a|=|b|并不能判断出a与b的方向，故B错误。C选项满足相等向量的要求，故正确。单位向量方向不一定相同，所以D错误。
故选：C。
【例5】 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心。
（1）写出图中的共线向量；
（2）分别写出图中与 OA，OB，OC，相等的向量。
解：
（1）OA，CB，DO，FE是共线向量；
OB，DC，EO，AF是共线向量；
OC，AB，ED，FO是共线向量。
（2）OA=CB=DO；
OB=DC=EO；
OC=AB=ED=FO。
【例6】（多选）如图，在菱形ABCD中。若∠DAB=120°，则以下说法中正确的是
A. BD与OB不平行
B. BD的模恰为DA模的3倍
C. 与AB的模相等的向量有9个（不含AB）
D. 与AB相等的向量只有一个（不含AB）
解：
BD与OB显然平行，故A错误。由菱形的性质以及 ∠DAB=120°容易算出DO=32AD，因此BD=3AD，所以B正确。与AB的模相等的向量有：BA、DC、CD、BC、CB、AD、DA、AC、CA，共有9个，所以C正确。与AB相等的向量只有DC，故D正确。
故选：BCD。
【例7】（多选）如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是
A. |AB|=|EF| B. |AB|=12|FH| C. BD=EH D. CD=-GF
解：
显然，|AB|=|EF|、|AB|=12|FH| ，故A、B正确。而BD与EH不一定共线，所以C不正确。CD与GF长度相同反向相反，故D正确。
故选：ABD。
【题型讲解】
一、平面向量的概念
【例1】下列量中哪些是向量？
悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度。
解：
悬挂物受到的拉力，加速度是向量。
【例2】判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）。
（1）若a与b都是单位向量，则a=b。（ ）
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量。（ ）
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（ ）
（4）若a与b是平行向量，则a=b。（ ）
（5）若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合。（ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量。（ ）
解：
（1）若a与b都是单位向量，则a=b。（ × ）
（2）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量。（ √ ）
（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量。（ × ）
（4）若a与b是平行向量，则a=b。（ × ）
（5）若用有向线段表示的向量AM与AN不相等，则点M与N不重合。（ √ ）
（6）海拔、温度、角度都不是向量。（ √ ）
二、平面向量的长度
【例3】指出图中各向量的长度。（规定小方格的边长为0.5）
解：
|AB|=2，|CD|=2.5，|EF|=3，|GH|=22。
三、按要求作出平面向量
【例4】在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1） |OA|=3，点A在点O正南方向；
（2） |OB|=22，点B在点O北偏西45°方向；
（3） |OC|=2，点C在点O南偏西30°方向。
解：
如图所示：
四、共线向量、相等向量的判断
【例5】如图，点O是▱ABCD的对角线的交点，且OA=a，OB=b，AB=c，分别写出 ▱ABCD和折线MPQRST中与a，b，c相等的向量。
解：
▱ABCD中，与a相等的向量是CO，与b相等的向量是DO，与c相等的向量是DC。
折线MPQRST中，与a相等的向量是QP、SR，与b相等的向量是PM，与c相等的向量是RQ、ST。
【例6】如图, 在矩形ABCD中，AB=2BC=2，M，N 分别为边AB，CD的中点，在以A， B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？
解：
由题可知，
AD=BC，DA=OB，AD=MN，DA=NM，MN=BO，NM=CB，DN=NC，ND=CN，AM=MB，MA=BM，DN=AM，ND=MA，DN=MB，ND=BM，NC=AM，CN=MA，NC=MB，CN=BM，DM=NB，MB=BN，AN=MC，NA=OM，AB=DC，BA=CD，所以相等的向量共有24对。
课后作业
一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 给出下列六个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|=|b|，则a=b；
③在四边形ABCD中，若AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形；
④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC；
⑤若m=n，n=k，则m=k；
⑥若a//b，b//c，则a//c。
其中不正确的命题的个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
解：
①两个向量相等是指大小相等，方向相同，则它们的起点和终点不一定相同，故错误；
②若| |a|=|b|，方向不同，则a=b不一定成立；
③在四边形ABCD中，若 AB=DC，则AB//DC且AB=DC，所以四边形ABCD是平行四边形，正确；
④平行四边形ABCD中，一定有AB=DC，正确；
⑤若 m=n，n=k，则m=k，正确；
⑥若a//b，b//c，则a//c。取b=0时，d与c不一定共线，错误。
其中不正确的命题的个数为3。
故选：B。
2. 下列说法正确的是
A. 向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
B. 两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C. 长度相等的向量叫做相等向量
D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
解：
对于A，若向量AB与向量CD是共线向量，则AB//CD，或点A，B，C，D在同一条直线上，故A错误；对于B，共线向量是指方向相同或相反的向量，两个有共同终点的向量，其方向可能既不相同又不相反，故B错误；对于C，长度相等的向量不一定相等向量，故C错误；对于D，相等向量是大小相等，方向相同的向量，故两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，正确。
故选：D。
3. 如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：
由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个。
故选：C。
4. 如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是
A. AB=BC B. AB=CD C. AC=2AB D. |AC|=|BD|
解：
由图可知：
A：错误；
B：AB=-CD，故错误；
C：AC，AB不共线，故错误；
D：|AC|=|BD|，故正确。
故选：D。
5. 在下列说法中正确的有
①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量；
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量；
④平面上的数轴都是向量。
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
解：
既有大小，又有方向的量统称为向量，结合向量的定义可知仅有②④错误，结合向量的概念以及共线向量的定义可知①③正确，
故选：B。
6. 以下说法正确的是
A. 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B. 零向量没有方向
C. 共线向量又叫平行向量
D. 若a和b都是单位向量，则 a=b
解：
只要两个向量的方向相同，模长相等，这两个向量就是相等向量，故A错误，零向量有方向，B错误；共线向量是方向相同或相反的向量，也叫平行向量，C正确；若a和b都是单位向量，两向量的方向不定，D错误。
故选：C。
7. 下列结论中，正确的是
A. 2020cm长的有向线段不可能表示单位向量
B. 若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得OA，OB是单位向量
C. 方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D. 一人从A点向东走500米到达B点，则向量AB不能表示这个人从A点到B点的位移
解：
当一个单位长度取作2020cm时，2020cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；根据单位向量的定义，在直线上有且仅有两个点使得 |OA|，|OB|为单位长度，所以B正确；方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；根据位移的定义，向量AB表示点A到点B点的位移，所以D不正确。
故选：B。
8. 以下说法错误的是
A. 零向量与单位向量的模不相等
B. 零向量与任一向量平行
C. 向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上
D. 平行向量就是共线向量
解：
对于A，零向量的模长为0，单位向量的模为1，故A正确；
对于B，零向量与任一向量平行，故B正确；
对于C，向量AB与向量CD是共线向量，只能说明AB和CD是平行的，不能说明A，B，C，D四点在一条直线上，故C错误；
对于D，平行向量就是共线向量，故D正确。
故选：C。
二、多选题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 下列命题正确的是
A. 零向量与任意向量平行 B. |a|-|b|是向量a=b的必要不充分条件
C. 向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上
D. 若a//b，b//c，则a//c。
解：
A选项：零向量的方向是任意的，所以零向量与任意向量都平行，A选项正确；
B选项：向量是即有方向又有大小的量，若|a|=|b|，a与b反向，a=b不一定成立，若 a=b，则|a|=|b|，故|a|=|b|是向量a=b的必要不充分条件，B选项正确；
C选项：向量AB与向量CD是共线向量，则AB与CD方向相同或相反，点A，B，C，D可能在同一条直线上，也可能组成平行四边形，故C选项错误；
D选项：当b=0时，若a//b，b//c，但a与c不一定平行，D选项错误。
故选：AB。
10. 下列说法正确的是
A. 平行向量不一定是共线向量
B. 向量AB的长度与向量 BA的长度相等
C. AB|AB|是与非零向量AB共线的单位向量
D. 若四边形ABCD满足AB=DC，则四边形ABCD是平行四边形
解：
平行向量即共线向量，故A错误；
AB与BA为相反向量，所以模长相等，故B正确；
AB|AB|是与非零向量AB共线的单位向量，C正确；
AB=DC，所以AB//DC且|AB|=|DC|，
则四边形ABCD是平行四边形，D正确。
故选：BCD。
11. 下列命题是真命题的是
A. 若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
B. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
C. 若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB//CD
D. 若空间向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，则AB>CD
解：
A.若|a|=|b|，则a，b的长度相等，它们的方向不一定相同或相反，所以该选项错误；
B.根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则与第三个向量必然共面，则这三个向量一定共面，所以该选项正确；
C.若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB=-CD，所以AB//CD，所以该选项正确；
D.若空间向量AB，CD满足|AB|>|CD|，且AB与CD同向，AB与CD也不能比较大小，所以该选项错误。
故选：BC。
三、填空题。
12. 下列五个命题：
①向量P1P2与OA共线，则P1，P1，O，A必在同一条直线上；
②如果向量a与b平行，则a与b方向相同或相反；
③四边形P1P2OA是平行四边形的充要条件是P1P2=OA；
④若|a|=|b|，则a、b的长度相等且方向相同或相反；
⑤由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。
其中正确的命题有 个。
解：
对于①，向量P1P2与OA其线，则直线P1P2与直线OA可能平行，故①错；
对于②，若a为零向量，零向量与任意向量平行，故②错；
对于③，P1P2=OA，则四点P1，P2，O，A可能共线，故③错；
对于④，|a|=|b|，只能说明a、b的长度相等但确定不了方向，故④错；
对于⑤，零向量与任何向量平行，故⑤错。
所以正确的命题有0个，
故答案为：0。
13. 如图所示，在▱ABCD中，O是两对角线AC，BD的交点，设点集S={A,B,C,D, O}，向量集合T={MN|M,N∈S，且M,N不重合}，则集合T中元素的个数为 。
解：
由题可知， 集合T中的元素实质上是S中任意两点连成的向量，共有20个，即AB，AC，AD，AO，CA，CB，CD，CO，DA，DB，DC，DO，OA，OB，OC，OD，
由平行四边形的性质可知，共有8对向量相等，即AB=DC，BA=CD，AD=BC，DA=CB，AO=OC，OA=CO，DO=OB，OD=BO。集合中元素具有互异性，故集合T中的元素共有12个。
故答案为：12。
14. 如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法：
①AE，AB，AD，CD，CB，DE都是单位向量；
②AB//DE，DE/DC；
③与AB相等的向量有3个；
④与AB共线的向量有3个；
⑤与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE，CD，BA。
其中正确的是 （填序号）。
解：
①由两菱形的边长都为1，故①正确；②正确；③与AB方相等的向量是ED，DC，故③错误；④与AB共线的向量是EA，BD，DB，故④正确；⑤正确。
故答案为：①②④⑤。
四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （1）如图，在2×4的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与|AB|相等的向量共有多少个？（除AB外）
（2）如果扩展到3×4的矩形呢？（除AB外）
解：
（1）每个1×2的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与|AB|相等，但|AB|本身除外，故共有39个；
（2）每个1×3的矩形中有4个符合要求的向量，这样的矩形共有10个，则共有40个向量的模与|AB|相等，但|AB|本身除外，故共有39个。
16. 在平行四边形ABCD中，E、F分别是CD、AB的中点，如图所示。
（1）写出与向量FC平行的向量；
（2）求证：BE=FD。
解：
（1）与向量FC平行的向量有：CF，AE，EA；
（2）证明：在平行四边形ABCD中，AB//CD，AB=CD，
因为E，F分别是CD，AB的中点，
所以ED//BF且ED=BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
故BE=FD。
17. 如图, 半圆的直径AB=6，C是半圆上的一点，D、E分别是AB、BC上的点，且AD=1，BE=4，DE=3。
（1）求证：AC//DE；
（2）求|AC|。
解：
（1）证明：由题意知，在ABED中，BD=5，DE=3，BE=4，
所以DE2+BE2=BD2，△DEB是直角三角形，∠DEB=90°，
因为点C为半圆上一点，所以∠ACB=90°，
所以AC//DE，故AC//DE；
（2）因为AC//DE，所以△ABC∼△DBE，ACDE=ABBD，
即：AC3=65，解得：AC=185，即：|AC|=185。
18. 如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B。点C为小正方形的顶点，且|AC|=5。
（1）画出所有的向量AC；
（2）求|BC|的最大值与最小值。
解：
（1）画出所有的向量AC，如图所示：
（2）由（1）所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时，|BC|取得最小值：12+22=5；
②当点C位于点C5或C6时，|BC|取得最大值，42+52=41；
所以|BC|的最大值为41，最小值为5。
19. 指出图中各向量的长度。（规定小方格的边长为0.5）
解：
|AB|=2，|CD|=2.5，|EF|=3，|GH|=22+22=22。