第七章 复数 知识梳理

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复数1.复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部.(2)复数的分类：z＝a＋bieq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))有关复数的3点注意(1)若一个复数是实数，仅注重虚部为0是不够的，还要考虑它的实部是否有意义.(2)一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0.(3)两个不全为实数的复数不能比较大小.(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).(4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).(5)复数的模：向量eq \o(OZ,\s\up7(―→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).2.复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \o(OZ,\s\up7(―→)).3.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0).(2)复数加法的运算定律设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).重要结论1.(1±i)2＝±2i，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1－i,1＋i)＝－i.2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*).3.z· eq \x\to(z)＝|z|2＝|eq \x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq \f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.4.复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量eq \o(OZ1,\s\up7(―→))， eq \o(OZ2,\s\up7(―→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \o(OZ1,\s\up7(―→))，eq \o(OZ2,\s\up7(―→))为邻边的平行四边形的对角线eq \o(OZ,\s\up7(―→))所对应的复数.5.复数减法的几何意义：复数z1－z2是eq \o(OZ1,\s\up7(―→))－eq \o(OZ2,\s\up7(―→))＝eq \o(Z2Z1,\s\up7(―→))所对应的复数.