【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第七章 复数》单元测试2（含解析）

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人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》单元测试2

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知a+2ii=b+i(a,b∈R)，其中i为虚数单位，则a-b=( )
A. -3 B. -2 C. -1 D. 1
2.（5分）已知i是虚数单位，则2i1+i=( )
 

A. 1-i B. 1+i C. 1-i2 D. 1+i2
3.（5分）设i是虚数单位，若(1+2i)i=a+bi(a,b∈R)，则a+b=(    )
A. -3 B. 3 C. 1 D. -1
4.（5分）若复数z=(3-4i)(1+2i)(i是虚数单位)，则复数z的虚部为( ) 

 

A. 2 B. -2 C. 2i D. -2i
5.（5分）已知复数z=a+3i，其中a∈R.若z+4z∈R，则a=(    )
A. 1 B. -1 C. 1或-1 D. 0
6.（5分）设i为虚数单位，复数z满足z(1+i)=4i，则|z|=( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 22
7.（5分）已知复数z满足z(2-i)=1+i，则复数z在复平面内对应的点在(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8.（5分）复数3-2i1+i=(    )
A. 12+52i B. 12-52i C. -12+52i D. -12-52i
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知z1，z2为复数，下列命题不正确的是( )
A. 若z1=z2，则z1=z2 B. 若z1=z2，则z1=z2
C. 若z1>z2则z1>z2 D. 若z1>z2，则z1>z2
10.（5分）已知z1,z2∈C，则以下关系式正确的是( )
A. z1z2=z1z2 B. z12=z12
C. z1z2=z1z2 D. 若zz1=zz2,则z1=z2
11.（5分）设复数z=1-3i1+i，则()
A. |z|=5 B. z的虚部为2
C. z-=1-2i D. z在复平面内对应的点位于第三象限
12.（5分）设复数z1，z2满足z1+z2=0，则( )
A. - z1=z2
B. |z1|=|z2|
C. 若z1(2-i)=3+i，则z1z2=-2i
D. 若|z1-(1+3i)|=1，则1⩽|z2|⩽3
13.（5分）若复数z满足(1-i)z=3+i(其中i是虚数单位)，则( )
A. z的实部是2 B. z的虚部是2i  C. z=1-2i D. |z|=5
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若复数z=m2+m+(m+1)i是纯虚数，其中m是实数，则- z=______．
15.（5分）已知复数z满足iz+i=2-i，则z= ______ ．
16.（5分）若复数z=1-2i(i是虚数单位)，z的共轭复数记为F，则z.F=________.
17.（5分）设z为纯虚数，且|z+6|=|1-3i|，则z=__________.
18.（5分）若复数z=a-2i2+i是纯虚数，则实数a=______ .
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知复数z=m2-2m-3+(m-3)i，其中m∈R．
(1)若m=2，求 ；
(2)若z为纯虚数，求实数m的值．
20.（12分）已知复数z满足z+z-=2，z2=-2i. 
(1)求复数z； 
(2)求复数z4的实部和虚部．
21.（12分）已知z为虚数，z+9z-2为实数． 
(1)若z-2为纯虚数，求虚数z； 
(2)求|z-4|的取值范围．
22.（12分）已知z=1+i； 
(1)如果w=z2+3øverlinez-4，求w的值； 
(2)如果z2+az+bz2-z+1=1-i，求实数a，b的值．
23.（12分）设. z为复数z的共轭复数，满足|z-. z|=23． 
(1)若z为纯虚数，求z； 
(2)若z-. z2为实数，求|z|．

答案和解析
1.【答案】A;
【解析】 
此题主要考查复数相等的充要条件，是基础题. 
可得a+2i=bi-1，再利用复数相等，解出a、b，可得结果. 
 
解：由a+2ii=b+ia,b∈R，得a+2i=bi-1， 
可知a=-1，b=2， 
所以a-b=-3 . 
故选A.

2.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查复数的运算，属于基础题. 
 
解：由复数的运算可得2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=2i(1-i)2=i(1-i)=1+i. 
故选B.

3.【答案】D;
【解析】解：由(1+2i)i=-2+i=a+bi，  
得a=-2，b=1． 
∴a+b=-1． 
故选：D． 
利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．

4.【答案】A;
【解析】 
此题主要考查复数的应用，属于基础题. 
 
解：由题意得z=3+6i-4i+8=11+2i，则复数z的虚部为2， 
故选A.

5.【答案】C;
【解析】解：∵复数z=a+3i，其中a∈R． 
∴z+4z=a+3i+4a+3i=a+3i+4(a-3i)(a+3i)(a-3i)=a+3i+4aa2+3-43a2+3i， 
∵z+4z∈R， 
∴3-43a2+3=0， 
解得：a=±1． 
故选：C． 
利用复数的运算法则、复数为实数的充要条件即可得出． 
该题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6.【答案】D;
【解析】解：根据题意，z(1+i)=4i，则有z=4i1+i=4i(1-i)(1+i)(1-i)=2i×(1-i)=2+2i， 
故|z|=4+4=22， 
故选：D. 
根据题意，变形求出复数z，进而计算可得答案． 
此题主要考查复数的运算，涉及复数的模，属于基础题．

7.【答案】A;
【解析】解：由z(2-i)=1+i，得z=1+i2-i=(1+i)(2+i)(2-i)(2+i)=15+35i， 
∴复数z在复平面内对应的点的坐标为(15,35)，在第一象限． 
故选：A． 
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

8.【答案】B;
【解析】解：3-2i1+i=(3-2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1-5i2=12-52i． 
故选：B． 
直接利用复数的除法运算进行化简． 
此题主要考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．

9.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查复数的定义、复数的模，属于基础题． 
根据复数的定义，复数的模等知识逐一分析各选项，错误的选项举出反例即可.解：对于A，若z1=z2，则z1=z2显然成立，故A正确； 
对于B，若z1=1+i，z2=1-i，满足z1=z2，但z1≠z2，故B错误； 
对于C，若z1=1，z2=-1，满足z1>z2，但z1=z2，故C错误； 
对于D，若z1=2+i，z2=1-i，满足|z1|>|z2|，但复数无法比较大小，故D错误. 
故选BCD.

10.【答案】AC;
【解析】 
此题主要考查复数的基本运算，共轭复数，复数的模，属于基础题. 
结合相关概念，对各个选项分析，举出反例即可. 
 
A：设z1=a+bi，z2=c+di，则z1z2=ac-bd+(ad+bc)i， 
|z1z2|=(ac-bd)2+(ad+bc)2=ac2+bd2+ad2+bc2=(a2+b2)c2+d2=|z1||z2|，故A正确； 
B：举反例即可，如z1=1+i,z1=2,z12=2,但是z12=2i,故B错误； 
C：设z1=a+bi，z2=c+di，z1=a+bi，z2=c+di，结合A可计算得到z1z2=z1z2=(ac-bd)2+(ad+bc)2，故C正确； 
D：举反例，z=0，但是并不能推出z1=z2，故D错误. 
故选：AC.

11.【答案】AD;
【解析】解：z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)2=-1-2i， 
对于A，|z|=(-1)2+(-2)2=5，故A正确， 
对于B，z的虚部为-2，故B错误， 
对于C，z-=-1+2i，故C错误， 
对于D，z在复平面内对应的点(-1,-2)位于第三象限． 
故选：AD. 
根据已知条件，结合复数的四则运算，求出z，即可依次求解． 
此题主要考查复数的四则运算，复数模公式，虚部和共轭复数的定义，复数的几何意义，属于基础题．

12.【答案】BCD;
【解析】解：设复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)， 
∵z1+z2=0， 
∴a+c+(b+d)i=0， 
∴a=-c，b=-d， 
∴- z1=a-bi=-c+di≠z2，|z1|=a2+b2=c2+d2=|z2|，因此A不正确，B正确． 
z1(2-i)=3+i，z1=3+i 2-i=(3+i)(2+i) (2-i)(2+i)=6-1+5i 5=1+i， 
∴z2=-1-i， 
则z1z2=(1+i)(-1-i)=-2i.因此C正确． 
∵|z1-(1+3i)|=1，∴z1对应的点Z1的轨迹是以C(1,3)为圆心，1为半径的圆， 
|OC|=12+(3)2=2， 
∴2-1⩽|z2|⩽2+1，即1⩽|z2|⩽3.因此D正确． 
故选：BCD. 
设复数z1=a+bi，z2=c+di，(a,b,c,d∈R)，根据z1+z2=0，可得a+c+(b+d)i=0，a=-c，b=-d，利用复数的运算法则、模的计算公式、几何意义即可判断出正误． 
此题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

13.【答案】CD;
【解析】 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案． 
 
解：∵z=3+i1-i=2+4i2=1+2i，   
    ∴- z=1-2i，|z|=5. 
故A，B错误，C，D均正确． 
故选CD. 


14.【答案】-i;
【解析】解：因为复数z=m2+m+(m+1)i是纯虚数，其中m是实数， 
所以：m2+m=0且m+1≠0； 
故m=0； 
故z=i； 
所以：- z=-i； 
故答案为：-i． 
由复数z=m2+m+(m+1)i是纯虚数，列出方程组，求解可得m的值，然后代入z=m2+m+(m+1)i求出z，进而求得答案． 
该题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．

15.【答案】-15-35i;
【解析】 
此题主要考查了复数的四则运算，注意i2=-1，属于基础题． 
将等式变形，利用复数的运算法则即可解答． 
 
解：由题意i=(2-i)(z+i)， 
整理得i=2z+2i-zi+1， 
所以z=1+i-2+i=(1+i)(-2-i)5=-15-35i； 
故答案为：-15-35i． 


16.【答案】5;
【解析】

此题主要考查复数的基本概念、复数代数形式的乘法运算，属基础题．先求出F，然后由复数代数形式的乘法运算可得答案．
解：∵z=1-2i的共轭复数F=1+2i， 
∴z⋅F=(1-2i)(1+2i)=5， 
故答案为5.

17.【答案】±2i;
【解析】此题主要考查了纯虚数的概念，负数的模，属于基础题. 
设z=ai(a∈R,a≠0)，根据|z+6|=|1-3i|，可求出a的值，进一步可得答案. 
解：因为z为纯虚数， 
所以可设z=ai(a∈R,a≠0)， 
则|z+6|=|1-3i|，即|ai+6|=|1-3i|，即a2+6=10， 
解得a=±2. 
所以z=±2i.

18.【答案】1;
【解析】解：复数z=a-2i2+i=(a-2i)(2-i)(2+i)(2-i)=2a-2-(a+4)i5=2a-25-a+45i是纯虚数， 
2a-25=0，-a+45≠0， 
解得a=1. 
故答案为：1. 
利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出． 
此题主要考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

19.【答案】解：(1)∵m＝2，∴z＝－3－i．
， ， ；
(2)令m2－2m－3＝0，解得m＝－1或3，
若m＝3，则z的虚部为零，与已知不符，所以m＝－1．;
【解析】
该题考查了复数为纯虚数的充要条件、模的计算公式及共轭复数的概念，属于基础题．
(1)当m=2时，z=-3-i，利用模的计算公式及共轭复数的概念即可得出； 
(2)当z为纯虚数时，令实部 m2-2m-3=0，且虚部m-3≠0，求出m的值．

20.【答案】解：（1）设复数z=a+bi（a，b∈R）， 
∵z+z-=2，∴a+bi+a-bi=2，∴2a=2，∴a=1， 
∵z2=（1+bi）2=1-b2+2bi=-2i， 
∴2b=-2，∴b=-1， 
∴z=1-i， 
（2）∵z2=-2i，∴z4=4i2=-4， 
∴复数z4的实部为-4，虚部为0．;
【解析】 
(1)设复数z=a+bi，a，b∈R，代入已知式子求出a，b即可． 
(2)利用复数实部虚部的定义求解即可． 
此题主要考查复数代数形式的四则运算，实部虚部的定义，属基础题．

21.【答案】解：（1）设z=x+yi（x，y∈R，y≠0），则z-2=x-2+yi， 
由z-2为纯虚数得x=2，∴z=2+yi，…（2分） 
则 z+9z-2=2+yi+9yi=2+(y-9y)i∈R，…（4分） 
得y-9y=0，y=±3，…（6分） 所以z=2+3i或z=2-3i．…（7分） 
（2）∵z+9z-2=x+yi+9x+yi-2=x+9(x-2)(x-2)2+y2+[y-9y(x-2)2+y2]i∈R， 
∴y-9y(x-2)2+y2=0，∵y≠0，∴（x-2）2+y2=9，…（10分） 
由（x-2）2＜9得x∈（-1，5），…（12分） 
∴|z-4|=|x+yi-4|=(x-4)2+y2=(x-4)2+9-(x-2)2=21-4x∈(1，5)．…（15分）;
【解析】 
(1)设z=x+yi(x,y∈R,y≠0)，根据z-2为纯虚数求得x的值，再由z+9z-2为实数求出y的值，即得虚数z． 
(2)由z+9z-2为实数且y≠0可得(x-2)2+y2=9，由此求得x的范围，根据复数的模的定义把要求的式子可化为 
21-4x，从而得到21-4x的范围． 
该题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数求模，属于基础题．

22.【答案】解：（1）∵z=1+i， 
∴w=z2+3øverlinez-4 
=（1+i）2+3（1-i）-4 
=1+2i+i2+3-3i-4 
=-1-i 
（2）∵z=1+i， 
∴z2+az+bz2-z+1=(1+i)2+a(1+i)+b(1+i)2-(1+i)+1 
=a+b+(2+a)ii=(a+b)i-(2+a)i.i 
=（2+a）-（a+b）i=1-i 
∴2+a=1-(a+b)=-1，解得a=-1b=2;
【解析】 
(1)由复数的混合运算法则代入化简可得w的值；(2)代入化简可得∴z2+az+bz2-z+1=(2+a)-(a+b)i，由复数相等的定义可得a、b的方程组，解方程组可得． 
该题考查复数代数形式的混合运算，涉及复数相等的定义以及二元一次方程组的解法，属基础题．

23.【答案】解：(1)设z=bi，b∈R，则. z=-bi， 
因为|z-. z|=23，则|2bi|=23，即|b|=3， 
所以b=±3，所以z=±3i． 
(2)设z=a+bi，(a,b∈R)，则. z=a-bi， 
因为|z-. z|=23，则|2bi|=23，即|b|=3． 
z-. z2=a+bi-(a-bi)2=a-a2+b2+(b+2ab)i． 
因为z-. z2为实数，所以b+2ab=0． 
因为|b|=3，所以a=-1 2， 
所以|z|=(-1 2)2+(±3)2=13 2;
【解析】 
(1)设z=bi，b∈R，则. z=-bi，利用|z-. z|=23，求出b，然后求解复数z． 
(2)设z=a+bi，(a,b∈R)，则. z=a-bi，利用|z-. z|=23，求出|b|=3，化简z-. z2，通过z-. z2为实数，求出a，然后求解|z|． 
该题考查复数代数形式的混合运算，复数的模的求法，共轭复数的应用，考查计算能力．