第七章 阶段测试

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第七章 复数 单元测试(时间：120分钟，满分：150分)一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1.复平面内表示复数z＝i(－2＋i)的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2.已知复数z＝eq \f(a,2－i)＋eq \f(2－i,5)的实部与虚部的和为2，则实数a的值为(　　)A.0 B.1 C.2 D.33.计算= （ ）A．　　　　　B． C． D．4.设z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝(　　)A．0　　　　B．eq \f(1,2) C．1 D．eq \r(2)5.下列各式的运算结果为纯虚数的是(　　)A．i(1＋i)2 B．i2(1－i) C．(1＋i)2 D．i(1＋i)6.已知O为坐标原点，Oeq \o(Z,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，Oeq \o(Z,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若Oeq \o(Z,\s\up8(→))1与Oeq \o(Z,\s\up8(→))2共线，则a的值（ ）A．　　　　B．－eq \f(3,8) C． D．7.若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝eq \f(a,1－2i)＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则(　　)A．a－5b＝0 B．3a－5b＝0 C．a＋5b＝0 D．3a＋5b＝08.当z＝－eq \f(1－i,\r(2))时，z100＋z50＋1的值等于（ ）A．　　　　　　B． C． －i D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9若复数z＝1＋i，且复数m满足|m－z|＝1，则（ ）A.复数z的三角形式为z＝； B.复数z对应点(1,1)在第一象限，|z|＝eq \r(2)，C.|m|的不存在最小值； D.|m|的最大值为eq \r(2)＋110.在复平面内，复数z＝eq \f(i,1－i)＋i2 014，则（ ）．A.复数z表示的点所在的象限是第二象限　B. 复数z的模为 1； C. 复数z的共轭复数为 z＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)i， D. 复数z的三角形式为z＝11.已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)（ ）．A.复数z=3－ai； B.当a=3时，z4为纯虚数C.a∈(－3,0)时，复数z2对应的点在第一象限．D.当a=1时，设对应的向量为，将绕原点按顺时针方向旋转所得向量对应的复数的虚部为.三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．13.复数z＝1＋i，eq \x\to(z)为z的共轭复数，则z·eq \x\to(z)－z－1＝________.14.（改编）已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝eq \f(5,13)＋eq \f(12,13)i，则cos(α＋β)的值为________，__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分13分)已知复数z＝(1－i)2＋1＋3i，若z2＋az＋b＝1－i(a，b∈R)，求b＋ai的共轭复数．16.(本小题满分15分)把复数与对应的向量，分别按逆时针方向旋转和后，与向量重合且模相等，已知，求复数的代数式和它的辐角主值.17.(本小题满分15分)已知O为坐标原点，Oeq \o(Z,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，Oeq \o(Z,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若Oeq \o(Z,\s\up8(→))1与Oeq \o(Z,\s\up8(→))2共线，求a的值．18.(本小题满分17分)设z∈C，满足z＋eq \f(1,z)∈R，z－eq \f(1,4)是纯虚数，求z.19.(本小题满分17分)若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋eq \f(5,z)是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.参考答案1.答案C　解析 ∵z＝i(－2＋i)＝－1－2i，∴复数z＝－1－2i所对应的复平面内的点为Z(－1，－2)，位于第三象限．故选C.2.答案 D 解析：易知z＝eq \f(a,2－i)＋eq \f(2－i,5)＝eq \f(a2＋i,5)＋eq \f(2－i,5)＝eq \f(2a＋2,5)＋eq \f(a－1i,5)，由题意得eq \f(2a＋2,5)＋eq \f(a－1,5)＝2，解得a＝3.故选D.3.答案A 解析 4.答案C　解析 因为z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C.5.答案C　解析 A项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝i×2i＝－2，不是纯虚数．B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数．C项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数．D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.6.答案B 解析　因为Oeq \o(Z,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，Oeq \o(Z,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i，所以Oeq \o(Z,\s\up8(→))1＝(－3,4)，Oeq \o(Z,\s\up8(→))2＝(2a,1)．因为Oeq \o(Z,\s\up8(→))1与Oeq \o(Z,\s\up8(→))2共线，所以存在实数k使Oeq \o(Z,\s\up8(→))2＝keq \o(OZ,\s\up8(→))1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8)，))即a的值为－eq \f(3,8).7.答案 D 解析z＝eq \f(a,1－2i)＋bi＝eq \f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋bi＝eq \f(a,5)＋i.由题意，得eq \f(a,5)＝－eq \f(2a,5)－b，即3a＋5b＝0.8.答案B 解析 z2＝＝－i，∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.9.答案 ABD 解析 由题知，z＝1＋i，对应点(1,1)在第一象限，|z|＝eq \r(2)，得复数z的三角形式为z＝；又|m－z|＝|m－(1＋i)|＝1，则复数m在复平面内所对应的点M的轨迹为以(1,1)为圆心，1为半径的圆，所以，|m|最小值＝eq \r(2)－1，|m|最大值＝eq \r(2)＋1，选ABD.答案ABC 解析 z＝eq \f(i,1－i)＋i2 014＝eq \f(i－1,2)＋i2＝－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)i，对应点的坐标为，故在第二象限，复数z的模为 1；复数z的共轭复数为 z＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)i，不是复数z的三角形式，选ABC。答案ABCD 解析 　A.由(z－2)i＝a＋i，得z－2＝eq \f(a＋i,i)＝1－ai，∴z＝3－ai.B.当a=3时，z4=C.由A得z2＝9－a2－6ai，∵复数z2对应的点在第一象限，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(9－a2>0，,－6a>0，))解得－3