高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数本章综合与测试学案

【例1】　(1)复数＋的虚部是(　　)

A.i　　　　　　　　　　B.

C．－i   D．－

(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)

A．1   B．2

C．1或2   D．－1

(1)B　(2)B　[(1)＋＝＋＝＋＝－＋i，故虚部为.

(2)由纯虚数的定义，可得解得a＝2.]

处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是a＋bi(a，b∈R)的形式时，要通过变形化为a＋bi的形式，以便确定其实部和虚部．

(2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根．

1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)

A．0　　　B．－1　　　C．1　　　D．－2

(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)

A．4   B．－1

C．6   D．－1或6

(1)A　(2)B　[(1)因为z＝1＋i，所以＝1－i，所以z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0.故选A.

(2)由题意可得z1＝z2，

即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，

根据两个复数相等的充要条件可得

解得m＝－1，故选B.]

【例2】　(1) 已知是z的共轭复数，若z·i＋2＝2z，则z＝(　　)

A．1＋i   B．1－i

C．－1＋i   D．－1－i

(2)已知复数z1＝2－3i，z2＝，则＝(　　)

A．－4＋3i   B．3＋4i

C．3－4i   D．4－3i

(1)A　(2)D　[(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入z·i＋2＝2z中得，(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，

∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，

由复数相等的条件得，

∴∴z＝1＋i，故选A.

(2)＝

＝

＝－＝4－3i.]

1．本例题(1)中已知条件不变，则＝        .

i　[由例(1)解析知z＝1＋i，所以＝1－i.

＝＝i.]

2．本例题(2)中已知条件不变，则z1z2＝          .　

－i　[z1z2＝

＝＝

＝＝－i.]

1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．

2．复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a＋bi(a，b∈R)的结构形式.

3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化．

【例3】　已知z是复数，z＋2i，均为实数，且(z＋ai)2的对应点在第一象限，求实数a的取值范围．

[解]　设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则z＋2i＝x＋(y＋2)i为实数，∴y＝－2.

又＝＝(x－2i)(2＋i)

＝(2x＋2)＋(x－4)i为实数，

∴x＝4.∴z＝4－2i，又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限，

∴解得2<a<6.

∴实数a的取值范围是(2,6)．

一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．

2．(1)在复平面内，复数(i是虚数单位)所对应的点位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

(2)已知复数z1＝2＋3i，z2＝a＋bi，z3＝1－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A，B，C.若＝2＋，则a＝        ，b＝        .

(1)B　(2)－3　－10　[(1)＝＝＝－＋i，∴复数对应的点位于第二象限．

(2)∵＝2＋，

∴1－4i＝2(2＋3i)＋(a＋bi)，

即∴]