第7章复数章末综合提升学案含解析

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复数 类型1　复数的概念(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数的实部与虚部的概念，难度偏小．(2)求一个复数的实部或虚部需将复数化为z＝a＋bi(a，b∈R)的形式．【例1】　(1)复数eq \f(1,－2＋i)＋eq \f(1,1－2i)的虚部是(　　)A．eq \f(1,5)i　　　B．eq \f(1,5)　　　C．－eq \f(1,5)i　　　D．－eq \f(1,5)(2)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　)A．1 B．2 C．1或2 D．－1 (1)B　(2)B　[(1)eq \f(1,－2＋i)＋eq \f(1,1－2i)＝eq \f(－2－i,－2＋i－2－i)＋eq \f(1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(－2－i,5)＋eq \f(1＋2i,5)＝－eq \f(1,5)＋eq \f(1,5)i，故虚部为eq \f(1,5)．(2)由纯虚数的定义，可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0，,a－1≠0，))解得a＝2．]eq \o([跟进训练])1．(1)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，eq \x\to(z)是z的共轭复数，则z2＋eq \x\to(z)2的虚部为(　　)A．0　　　B．－1　　　C．1　　　D．－2(2)已知z1＝m2－3m＋m2i，z2＝4＋(5m＋6)i，其中m为实数，i为虚数单位，若z1－z2＝0，则m的值为(　　)A．4 B．－1C．6 D．－1或6(1)A　(2)B　[(1)因为z＝1＋i，所以eq \x\to(z)＝1－i，所以z2＋eq \x\to(z)2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i＋(－2i)＝0．故选A．(2)由题意可得z1＝z2，即m2－3m＋m2i＝4＋(5m＋6)i，根据两个复数相等的充要条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2－3m＝4，,m2＝5m＋6，))解得m＝－1，故选B．] 类型2　共轭复数(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数中的共轭复数的概念，考查分析和解决问题的能力，运算求解的能力．(2)解决此类问题应利用共轭复数的概念，求出共轭复数，再根据题目条件求解．【例2】　(1)(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内eq \x\to(z)对应的点位于(　　)A．第一象限　　　　　　 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋eq \r(3)i，z·eq \o(z,\s\up6(－))＝4，则a＝(　　)A．1或－1 B．eq \r(7)或－eq \r(7)C．－eq \r(3) D．eq \r(3)(1)C　(2)A　[(1)由题意，得eq \x\to(z)＝－3－2i，其在复平面内对应的点为(－3，－2)，位于第三象限，故选C．(2)由题可得eq \o(z,\s\up6(－))＝a－eq \r(3)i，则z·eq \o(z,\s\up6(－))＝(a＋eq \r(3)i)(a－eq \r(3)i)＝a2＋3＝4，所以a＝±1．故选A．]eq \o([跟进训练])2．(多选题)设z1，z2是复数，则下列命题中的真命题是(　　)A．若|z1－z2|＝0，则eq \o(z,\s\up6(－))1＝eq \o(z,\s\up6(－))2B．若z1＝eq \o(z,\s\up6(－))2，则eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \o(z,\s\up6(－))2D．若|z1|＝|z2|，则zeq \o\al(2,1)＝zeq \o\al(2,2)ABC　[对于A，|z1－z2|＝0⇒z1＝z2⇒eq \o(z,\s\up6(－))1＝eq \o(z,\s\up6(－))2，是真命题；对于B，若z1＝eq \o(z,\s\up6(－))2，则z1和z2互为共轭复数，所以eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2，是真命题；对于C，设z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)，若|z1|＝|z2|，则eq \r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1))＝eq \r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))，z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝aeq \o\al(2,1)＋beq \o\al(2,1)，z2·eq \o(z,\s\up6(－))2＝aeq \o\al(2,2)＋beq \o\al(2,2)，所以z1·eq \o(z,\s\up6(－))1＝z2·eq \o(z,\s\up6(－))2，是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋eq \r(3)i，则|z1|＝|z2|，但zeq \o\al(2,1)＝4，zeq \o\al(2,2)＝－2＋2eq \r(3)i，故D是假命题．] 类型3　复数的模(1)本考点多为基础题，一般出现在选择题的前两题位置，分值为5分．主要考查复数的模的计算，考查分析与解决问题的能力，运算求解能力．(2)求解此类问题时，应先将题目中的式子进行变形，求出复数z的代数形式z＝a＋bi，然后求模．【例3】　(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)A．0　　　　B．1　　　　C．eq \r(2)　　　　D．2C　[因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，所以|z|＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，故选C．]eq \o([跟进训练])3．(2019·全国卷Ⅰ)设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝(　　)A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1C　[∵z＝eq \f(3－i,1＋2i)＝eq \f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(1－7i,5)，∴|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))eq \s\up12(2))＝eq \r(2)．故选C．] 类型4　复数的四则运算(1)本考点多为基础题，考查频率较高，常与前面两个考点综合考查，一般出现在选择题的前两题的位置，分值为5分．主要考查复数的加减乘除运算，常以除法运算为主．考查分析与解决问题的能力，运算求解能力．(2)解决此类问题的关键是复数乘法、乘法运算法则的熟练应用．【例4】　计算：(1)(1－i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))(1＋i)；(2)(1＋i)2 020；(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)．[解]　(1)原式＝(1－i)(1＋i)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝(1－i2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝－1＋eq \r(3)i．(2)原式＝[(1＋i)2]1 010＝(1＋2i＋i2)1 010＝(2i)1 010＝21 010·i1 010＝21 010·(i2)505＝－21 010．(3)原式＝eq \f(－2＋3i,1＋2i)＝eq \f(－2＋3i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(－2＋6＋3＋4i,12＋22)＝eq \f(4,5)＋eq \f(7,5)i．eq \o([跟进训练])4．(1)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(6)＋eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝________．(2)计算：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(3)·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2 019)＝________．(3)设i是虚数单位，则复数(1－i)2－eq \f(4＋2i,1－2i)－4i2 019＝________．(1)－1＋i　(2)－1　(3)0　[(1)由eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(\r(2)＋\r(3)i,\r(3)－\r(2)i)＝i，可得原式＝i6＋i＝－1＋i．(2)因为eq \f(1＋i,1－i)＝i，所以原式＝i·i2·i3·…·i2 019＝i1＋2＋3＋…＋2 019＝i1 010×2 019＝(i2)505×2 019＝－1．(3)原式＝－2i－eq \f(4＋2i1＋2i,1－2i1＋2i)＋4i＝－2i－eq \f(10i,5)＋4i＝－2i－2i＋4i＝0．]1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)eq \f(2－i,1＋2i)＝(　　)A．1　　　　 B．－1　　　　 C．i　　　　 D．－iD　[eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(2－2－5i,5)＝－i，选D．]2．(2020·全国卷Ⅲ)复数eq \f(1,1－3i)的虚部是(　　)A．－eq \f(3,10) B．－eq \f(1,10) C．eq \f(1,10) D．eq \f(3,10)D　[eq \f(1,1－3i)＝eq \f(1＋3i,1＋3i1－3i)＝eq \f(1＋3i,10)＝eq \f(1,10)＋eq \f(3,10)i，所以虚部为eq \f(3,10)．]3．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝(　　)A．0 B．eq \f(1,2) C．1 D．eq \r(2)C　[法一：因为z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝－i＋2i＝i，所以|z|＝1，故选C．法二：因为z＝eq \f(1－i,1＋i)＋2i＝eq \f(1－i＋2i1＋i,1＋i)＝eq \f(－1＋i,1＋i)，所以|z|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋i,1＋i)))＝eq \f(|－1＋i|,|1＋i|)＝eq \f(\r(2),\r(2))＝1，故选C．]4．(2020·全国卷Ⅱ)(1－i)4＝(　　)A．－4　　　 B．4　　　 C．－4i　　　 D．4iA　[(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4，故选A．]5．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1C　[法一：∵z在复平面内对应的点为(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1．故选C．法二：∵|z－i|＝1表示复数z在复平面内对应的点(x，y)到点(0,1)的距离为1，∴x2＋(y－1)2＝1．故选C．]6．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________．2eq \r(3)　[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＝xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＝4．因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝eq \r(3)＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(eq \r(3))2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝eq \r(x1－x22＋y1－y22)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)－2x1x2－2y1y2)＝eq \r(8＋4)＝2eq \r(3)．]