人教A版高中数学必修二单元检测卷 第七章 复数

复数 章节检测

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．[2022·广东梅州高一期末]已知z＝，则z＝(　　)

A．1＋3i    B．1－3i    C．3＋i    D．3－i

2．[2022·江西省八所重点中学联考]复数z满足iz＝3＋4i，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　)

A．第一象限    B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

3．[2022·湖北鄂州高一期中]复数3＋2i与复数4－3i分别对应向量与，则向量对应的复数是(　　)

A．7－i    B．－7＋i    C．1－5i    D．－1＋5i

4．[2022·福建漳州高一期末]已知复数(1＋xi)i＝2－yi，x，y∈R，则x－y＝(　　)

A．3    B．1    C．－1    D．－3

5．[2022·河北保定高一期末]复数的共轭复数是(　　)

A．－1＋5i    B．－1－5i    C．1＋5i    D．1－5i

6．[2022·广东华南师大附中高一期末]复数z＝1－2i(其中i为虚数单位)，则＝(　　)

A．    B．2    C．    D．5

7．[2022·山东济宁高一期末]若是复数z的共轭复数，(1－i)＝1＋i(其中i为虚数单位)，则z＝(　　)

A．1－i    B．1＋i    C．－i    D．i

8．[2022·天津河东区高一期中]若复数z＝＋bi(b∈R，i为虚数单位)满足z·＝－b，其中为z的共轭复数，则的值为(　　)

A．    B．    C．1    D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．[2022·湖南衡阳高一期末]已知m，n∈R，复数z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2为纯虚数，复数z1的共轭复数为1，则(　　)

A．m＝－4          B．＝2

C．1＝－4－3i    D．复数1的虚部为－3i

10．[2022·河北邢台高一期末]已知a，b∈R，复数a2－1＋(a＋1)i为纯虚数，1＋(b＋2)i为实数，则(　　)

A．a＝±1                   B．b＝－2

C．a＋bi的共轭复数为1＋2i    D．＝－＋i

11．[2022·广东韶关高一期末]已知i是虚数单位，若复数z满足z(3－i)＝3＋i，是复数z的共轭复数，则(　　)

A．z的虚部是    B．＝－＋i

C．＝1          D．复数z在复平面上对应的点在第一象限

12．[2022·山东潍坊高一期末]设z1，z2，z3为复数，且z3≠0，则下列命题正确的是(　　)

A．若＝，则z1＝±z2    B．若z1z3＝z2z3，则z1＝z2

C．若|z3|2＝z1z3，则z1＝z3      D．若z2＝1，则＝

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．[2022·山东泰安高一期中]复数z＝－2＋4i对应的向量的坐标为________．

14．[2022·辽宁朝阳高一期末]若复数z＝(m－2)＋(m＋1)i(m∈R)在复平面上对应的点位于第二象限，则m的取值范围是________．

15．[2022·福建厦门高一期末]若复数z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是纯虚数，则实数m＝________．

16．[2022·河北石家庄高一期末]某同学在解题中发现，以下三个式子的值都等于同一个常数(i是虚数单位).

①；②；③.

从三个式子中选择一个，求出这个常数为________；根据三个式子的结构特征及计算结果，将该同学的发现推广为一个复数恒等式________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(10分)[2022·江苏扬州高一期末]已知复数z＝(m2＋5m－6)＋(m－1)i，m∈R.

(1)若z在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围；

(2)若z是纯虚数，求m的值．

18．(12分)[2022·河北保定高一期末]已知复数z＝.

(1)求；

(2)若m∈R，z1＝z＋m，z2＝z2－m，且z1为纯虚数，求z2在复平面内对应的点的坐标．

19．(12分)[2022·广东清远高一期中]已知复数z＝(i是虚数单位)，为z的共轭复数．

(1)求复数z的模；

(2)若z2＋a＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a，b的值．

20．(12分)[2022·福建漳州高一期末]已知复数z的虚部为－1，＝，且z在复平面内对应的点在第四象限．

(1)求复数z；

(2)若ω＝，求ω2 022的值．

21.(12分)[2022·山东潍坊高一期末]已知A(3，m)，B(2，1)，C(－2，1)，D(n，－2)是复平面内的四个点，其中m，n∈R，且向量，对应的复数分别为z1，z2，且z1－z2＝－6＋2i.

(1)求z1，z2；

(2)若复数z＝，t∈R，在复平面内对应的点Z在第四象限，求实数t的取值范围．

22．(12分)已知复数w满足w－4＝(3－2w)i(i为虚数单位)，z＝＋.

(1)求z；

(2)若(1)中的z是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根．

答案：

1．解析：z＝＝＝1－3i，故选B.

答案：B

2．解析：因为iz＝3＋4i，所以z＝＝＝＝4－3i，所以＝4＋3i，所以z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(4，3)，位于第一象限．

答案：A

3．解析：＝－＝3＋2i－(4－3i)＝－1＋5i，故选D.

答案：D

4．解析：∵(1＋xi)i＝2－yi，∴－x＋i＝2－yi，

∴，∴x－y＝－1.故选C.

答案：C

5．解析：因为＝－1－5i，所以复数的共轭复数是－1＋5i.故选A.

答案：A

6．解析：∵z＋3i＝1＋i，则＝＝＝.故选A.

答案：A

7．解析：因为(1－i)＝1＋i，所以＝＝＝i，所以，z＝－i，故选C.

答案：C

8．解析：因为z＝＋bi，所以＝－bi，所以z·＝＋b2＝－b，解得b＝－，

所以z＝－i.

＝＝＝.故选D.

答案：D

9．解析：由题可知z2＝m＋3i＋4－2i＝(4＋m)＋i，

对于A：因为z2为纯虚数，所以m＝－4，故A正确；

对于B：＝1，故B错误；

对于C：1＝－4－3i，故C正确；

对于D：复数1的虚部为－3，故D错误．故选AC.

答案：AC

10．解析：由题意得，得a＝1，又b＝－2，所以a＋bi＝1－2i的共轭复数为1＋2i，故A错误，B正确，C正确，＝＝＝－＋i，故D正确．故选BCD.

答案：BCD

11．解析：原式化简得z＝＋i，虚部为，A对；＝－i，B错；＝ ＝1，C对；z在复平面上对应的点为，在第一象限，D对，故选ACD.

答案：ACD

12．解析：对于A，若z1＝1＋i，z2＝1－i，则|z1|＝|z2|，此时z1≠±z2，A错误；

对于B，∵z1z3＝z2z3，∴z3(z1－z2)＝0，又z3≠0，∴z1－z2＝0，即z1＝z2，B正确；

对于C，若z1＝3，则z1z3＝3z3＝|z3|2，若z1，z3为虚数，则z1≠z3，C错误；

对于D，设z1＝a＋bi，z3＝c＋di，则z2＝1＝a－bi，

∴z1z3＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，z2z3＝(a－bi)(c＋di)＝(ac＋bd)＋(ad－bc)i，

∴＝

＝，

＝

＝，

∴＝，D正确．故选BD.

答案：BD

13．解析：因为z＝－2＋4i对应的点的坐标为(－2，4)，所以对应的向量＝(－2，4).

答案：(－2，4)

14．解析：由题意

解得－1<m<2.

则m的取值范围是(－1，2).

答案：(－1，2)

15．解析：由题意，，解得m＝2.

答案：2

16．解析：由复数的运算法则，可得＝＝＝i；

根据三个式子的结构特征及上式的计算结果，可以得到：＝i，

证明如下：

由＝＝＝＝i.

答案：i　 ＝i

17．解析：(1)由题意可得，

解得，∴m<－6，

∴m的取值范围为(－∞，－6)；

(2)由题意可得，

解得m＝－6.

∴m的值为－6.

18．解析：(1)因为z＝＝＝－1＋4i，所以z－1＝－2＋4i，故＝＝2.

(2)因为z1＋m＝m－1＋4i为纯虚数，所以m＝1，所以z2＝(－1＋4i)2－1＝－16－8i，所以z2在复平面内对应的点的坐标为(－16，－8).

19．解析：(1)∵z＝＝＝＝1－i，∴|z|＝＝.

(2)∵z2＋a＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1＋i)＋b＝1＋i，

∴(a＋b)＋(a－2)i＝1＋i，∴∴

20．解析：(1)设z＝a－i(a∈R)，

∵＝，

∴a2＋1＝2，a2＝1，解得a＝±1，

∵z在复平面内对应的点在第四象限，

∴a＝1，

∴z＝1－i.

(2)由(1)知，ω＝＝＝＝i.

∴ω2 022＝i2 022＝(i2)1 011＝(－1)1 011＝－1.

21．解析：(1)∵＝(－5，1－m)，＝(n－2，－3)，

∴z1＝－5＋(1－m)i，z2＝(n－2)－3i，

∴z1－z2＝(－3－n)＋(4－m)i＝－6＋2i，则，解得，

∴z1＝－5－i，z2＝1－3i.

(2)由(1)知：z＝＝＝＝＝＋i，

则z对应的复平面内的点为Z(，)，又Z位于第四象限，

∴，解得2<t<，即实数t的取值范围为(2，).

22．解析：(1) ∵w(1＋2i)＝4＋3i，

∴w＝＝＝2－i，

∴z＝＋＝＋1＝3＋i.

(2)∵z＝3＋i是关于x的方程x2－px＋q＝0的一个根，

∴(3＋i)2－p(3＋i)＋q＝0，(8－3p＋q)＋(6－p)i＝0，

∵p，q为实数，∴，

解得p＝6，q＝10.

解方程x2－6x＋10＝0，得x＝3±i，

∴实数p＝6，q＝10，方程的另一个根为x＝3－i.