【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第七章 复数》单元测试3（含解析）

这是一份【单元测试】高中数学人教A版(2019)必修第二册--《第七章 复数》单元测试3（含解析），共9页。


人教A版（2019）必修第二册《第七章 复数》单元测试3

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）复Z=i1+i其中为虚数单位)的虚部是(    )
A. -12 B. 12i C. 12 D. -12i
2.（5分）若z=（1+i）i（i为虚数单位），则z的虚部是（ ）
A. 1 B. -1 C. i D. -i
3.（5分）若复数z满足(1+i)(z+i)=4+2i，则|z|=( )
A. 3   B. 13 C. 4   D. 13
4.（5分）已知复数z满足|z+1|=2|z-2|，则复数z的轨迹是( )
A. 直线 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 圆
5.（5分）如果复数z=i(-1+i)，则( )
A. |z|=2 B. z的实部为1
C. z的共轭复数为1+i D. z的虚部为-1
6.（5分）若复数z是纯虚数，且(1+2i)z=a+i(a∈R,i是虚数单位)，则a=(    )

A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
7.（5分）据记载，欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时，得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0，这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底e，圆周率π，虚数单位i，自然数的单位1和零元0)联系到了一起，有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式，若复数z=e2π3i，则复数z在复平面内对应的点在第几象限(    )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
8.（5分）已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是(    )
A. (-3,1) B. (-1,3)
C. (1,+∞) D. (-∞,-3)
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A. i+i2+i3+i4=0
B. 复数z=3-i的模为10
C. 若z=(1+2i)2，则复平面内- z对应的点位于第二象限
D. 已知复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
10.（5分）[多选]复数z满足z2=i，则下列四个判断中，正确的是( )
A. z=22+22i或z=-22-22i B. z是虚数
C. z+z=±2 D. z的模等于1
11.（5分）设复数z满足2-z2+z=i(i是虚数单位)，则( )
A. z=2i B. z=-2i  
C. 3+z=13 D. 在复平面内3+z对应的点在第四象限
12.（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若复数z=a-i2+i，则( )
A. 若复数z为实数，则a=-2    B. 若复数z<0，则复数z=-1
C. 若复数z>0，则复数z=1      D. 若复数z为纯虚数，则a=12
13.（5分）若复数z满足：z-+2i=3+i，则()
A. z的实部为3 B. z的虚部为1
C. zz-=10 D. z在复平面上的点位于第一象限
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知i是虚数单位，复数z满足z⋅(2+i)=i，则z= (1) ，|z|= (2) ．
15.（5分）若复数z=3-4i1+2i，i为虚数单位，则|z|=______ .
16.（5分）设复数 z = 2 + i， 其中i为虚数单位， 则 z.z=_________.
17.（5分）已知复数z1，z2满足|z1|=1，|z2|=5，则|z1-z2|的最小值是 ______ .
18.（5分）如果（1+i）n∈R（i是虚数单位），则正整数n的最小值是____．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知复数z=m2+m-6+(m2-4)i(i为虚数单位)为纯虚数． 
(1)求m的值； 
(2)若z1=z+5，求|- z1-z|.
20.（12分）已知复数α=2-i，β=m-i，其中i是虚数单位，m∈R． 
(1)若|α+β|<2|α|，求实数m的取值范围； 
(2)若β是关于x的方程x2-nx+10=0(n∈R)的一个根，求实数m与n的值．
21.（12分）已知复数z1满足(2+i)z1=-1+3i. 
(1)求z1； 
(2)若复数z2的虚部为1，且z1+7z2是实数，求|z2|.
22.（12分）求（1-2i）5的实部．
23.（12分）已知复数z=(m2+3m-18)+(m2-3m)i，m∈R，其中i为虚数单位． 
(1)若复数z是实数，求实数m的值； 
(2)若复数z是纯虚数，求实数m的值．

答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：复Z=i1+i=i(1i)(1+i)1i)=12+12i，则部为12，  
故选：  
先化简复，由虚部的可得答案．  
此题主要考查的基本概念属基础题．

2.【答案】A;
【解析】解：∵z=（1+i）i═i+i2=-1+i， 
∴z的虚部为1． 
故选A．

3.【答案】B;
【解析】 
此题主要考查复数的四则运算，考查复数模的计算，属于基础题． 
利用复数的四则运算得z=3-2i，故|z|=13. 
 
解：由题意，(1+i)(z+i)=4+2i， 
则z+i=4+2i1+i=3-i， 
所以z=3-2i， 
计算可知|z|=13， 
故选B.

4.【答案】D;
【解析】 
设z=x+yi，则|z+1|=2|z-2|⇔x+12+y2=4x-22+y2，化简即可得到其轨迹表示的图形． 
此题主要考查了复数的代数形式的运算，复数的模，圆的方程． 
 
解：依题意，设z=x+yi，则|z+1|=2|z-2|⇔x+12+y2=4[x-22+y2]， 
即x2+y2-6x+5=0，表示圆， 
故选：D. 
 


5.【答案】D;
【解析】解：复数z=i(-1+i)=-i-1， 
∴复数z的虚部为-1. 
故选：D. 
利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 
此题主要考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．

6.【答案】A;
【解析】 
解：设z=bi(b≠0)， 
由(1+2i)z=(1+2i)bi=a+i， 
得-2b+bi=a+i， 
∴-2b=ab=1，则a=-2． 
故选：A． 
 
由已知设z=bi(b≠0)，代入(1+2i)z=(1+2i)bi=a+i，再由复数相等的条件列式求解． 
该题考查复数的基本概念，考查复数相等的条件，是基础题．

7.【答案】B;
【解析】解：由欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)知， 
复数z=e2π3i=cos2π3+isin2π3=-12+32i， 
所以复数z在复平面内对应的点为(-12,32)，在第二象限． 
故选：B． 
由欧拉公式把复数z=e2π3i化为三角形式，再化为代数形式，即可判断复数z在复平面内对应的点在第几象限． 
此题主要考查了欧拉公式与复数的概念应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．

8.【答案】D;
【解析】解：∵z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第三象限，∴m+3<0，m-1<0，  
解得m<-3． 
则实数m的取值范围是(-∞,-3)． 
故选：D． 
由z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第三象限，可得m+3<0，m-1<0，解出即可得出．  
该题考查了复数的几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

9.【答案】AD;
【解析】解：对于A：i+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，故A正确； 
对于B：复数z=3-i的模为10，故B错误； 
对于C：若z=(1+2i)2=1+4i-4=-3+4i， 
所以- z=-3-4i，则复平面内- z对应的点位于第三象限，故C错误； 
对于D：复数z满足|z-1|=|z+1|，表示z到A(1,0)和B(-1,0)两点的距离相等， 
即z的轨迹为线段AB的垂直平分线，故D正确． 
故选：AD. 
直接利用复数的定义，复数的运算和几何意义判断A、B、C、D的结论． 
此题主要考查的知识要点：复数的定义，复数的运算和几何意义，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

10.【答案】ABCD;
【解析】此题主要考查复数相等的基本概念； 
先设复数z=a+bi(a,b∈R)，则z2=(a2-b2)+2abi.因为复数z满足z2=i，从而可以解得答案，选项都符合。 
解：设复数z=a+bi(a,b∈R)， 
则z2=(a2-b2)+2abi. 
因为复数z满足z2=i， 
所以a2-b2=02ab=1， 
解得a=22b=22或a=-22b=-22， 
即z=22+22i或z=-22-22i， 
结合题中的四个选项可知ABCD均正确， 
故选ABCD.

11.【答案】BCD;
【解析】 
此题主要考查复数的模，复数的代数形式混合运算，复数的几何意义，是基础题. 
利用已知条件化简复数z，然后判断四个命题的真假即可. 
 
解：∵2-z2+z=i，∴z=2-2i1+i=-2i， 
∴|3+z|=|3-2i|=13， 
3+z=3-2i，即该复数对应的点在第四象限. 
故选BCD.

12.【答案】ABD;
【解析】 
此题主要考查复数的四则运算以及复数的概念. 
利用复数的四则运算可将z化简为2a-15-a+25i，再利用复数的概念逐一判断即可. 
 
解：因为z=a-i2+i=(a-i)(2-i)(2+i)(2-i)=(2a-1)-(a+2)i5=2a-15-a+25i， 
对于选项A：若复数z为实数，所以-a+25=0，解得a=-2，故A正确； 
对于选项B：若复数z<0，此时z为实数，由上述分析a=-2，z=-1，故B正确； 
对于选项C：若复数z>0，此时z为实数，由上述分析a=-2，z=-1，故C错误； 
对于选项D：若复数z为纯虚数，则2a-15=0且-a+25≠0，则a=12，故D正确. 
故选ABD.

13.【答案】ABD;
【解析】解：对AB，因为z-+2i=3+i，所以z-=3-i，z=3+i，所以z的实部为3，虚部为1，所以A，B正确； 
对C，zz-=(3+i)(3-i)=10，所以C不正确； 
对D，z在复平面上的点位于第一象限，所以D正确． 
故选：ABD. 
根据复数的运算，结合复数的定义与几何意义等逐个判断即可． 
此题主要考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．

14.【答案】15+25i;55;
【解析】 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求z，利用复数模的计算公式求模． 
解：由z⋅(2+i)=i，得z=i2+i=i(2-i)(2+i)(2-i)=15+25i， 
则|z|=(15)2+(25)2=55． 
故答案为15+25i，55．

15.【答案】5;
【解析】解：∵z=3-4i1+2i， 
∴|z|=|3-4i1+2i|=|3-4i||1+2i|=32+(-4)212+22=55=5. 
故答案为：5. 
直接由商的模等于模的商求解． 
此题主要考查复数模的求法，考查数学转化思想，是基础题．

16.【答案】5;
【解析】 
此题主要考查了共轭复数及复数的运算，属于基础题. 
先写出共轭复数，再利用运算法则求解即可. 
 
解：∵z=2+i， 
∴z=2-i， 
∴z⋅z=2+i2-i=5， 
故答案为5.

17.【答案】4;
【解析】解：由|z1|=1，|z2|=5， 
可得z1，z2所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆， 
 
|z1-z2|的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为5-1=4. 
故答案为：4. 
由题意画出图形，数形结合得答案． 
此题主要考查复数模的几何意义，考查数形结合思想，是基础题．

18.【答案】4;
【解析】解：当n=1时（1+i）n =1+i 不合 
当n=2时，（1+i）n =（1+i）2=2i不合 
当n=3时，（1+i）n =（1+i）3=2i（1+i）=-2+2i不合 
当n=4时，（1+i）n =（1+i）4=（2i）2=-4，符合． 
故答案为：4

19.【答案】解：（1）由z=m2+m-6+（m2-4）i为纯虚数，得m2+m-6=0m2-4≠0，解得m=-3． 
∴z=5i； 
（2）∵z1=z+5=5+5i，∴- z1=5-5i， 
则|- z1-z|=|5-5i-5i|=|5-10i|=25+100=55．;
【解析】 
(1)由实部为0且虚部不为0列式求解m值； 
(2)分别求出- z1与- z1-z，再由复数模的计算公式求解． 
该题考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．

20.【答案】解：(1)∵α=2-i，β=m-i， 
∴由|α+β|<2|α|，得|2+m-2i|<2|2-i|， 
即(2+m)2+4<25， 
∴(2+m)2<16，解得-6 则实数m的取值范围是(-6,2)； 
(2)∵β是关于x的方程x2-nx+10=0的一个根， 
则øverlineβ=m+i是关于x的方程x2-nx+10=0的另一个根， 
则m+i+m-i=n，m2+1=10， 
解得：m=3，n=6或m=-3，n=-6．;
【解析】该题考查复数模的求法，考查实系数一元二次方程虚根成对原理的运用，是中档题． 
(1)由已知结合|α+β|<2|α|列关于m的不等式求实数m的取值范围； 
(2)利用实系数一元二次方程虚根成对原理及根与系数的关系列式求解．

21.【答案】解：（1）z1=-1+3i2+i=(-1+3i)(2-i)(2+i)(2-i)=15+75i． 
（2）设z2=a+i，a∈R， 
则z1+7z2=15+75i+7a+i=15+7aa2+1+(75-7a2+1)i， 
因为z1+7z2是实数，所以75-7a2+1=0，解得a2=4， 
所以|z2|=a2+12=5．;
【解析】 
(1)根据复数的运算性质求出z1即可； 
(2)设z2=a+i，根据复数的运算性质求出a的值，从而求出|z2|. 
此题主要考查了复数的运算，复数求模问题，考查和复数有关的概念，是基础题．

22.【答案】解：∵（1-2i）5的实部是由包含i的零次方及包含i的偶次方的各项所组成， 
由二项式定理知 
所求之实部为C50+C52（-2i）2+C54（-2i）4=41．;
【解析】因为所给的代数式次数比较高，所以题目不会让我们直接展开运算，要用二项式定理来整理，又有i的特点知它的偶次方为实数，得到结果．

23.【答案】解：（1）∵复数z=（m2+3m-18）+（m2-3m）i是实数， 
∴m2-3m=0，解得m=0或m=3， 
故实数m的值为0或3． 
（2）∵复数z是纯虚数， 
∴m2+3m-18=0m2-3m≠0，解得m=-6， 
故实数m的值为-6．;
【解析】 
(1)根据已知条件，结合实数的概念，即可求解． 
(2)根据已知条件，结合纯虚数的概念，即可求解． 
此题主要考查实数与纯虚数的概念，属于基础题．