高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.2 三角函数的概念优质第一课时学案及答案

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一．学习目标
1.理解三角函数的概念,会求给定角的三角函数值,并会判断给定角的三角函数值的符号（重点）
2.掌握诱导公式一,并能运用公式解决相关问题（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习三角函数的概念
三．课堂导学
初中我们就学习了锐角三角函数,如图,α为锐角,sin α＝BCAC,cs α＝ABAC,tan α＝BCAB,三角函数值为两个边长的比值.
问题 如图所示,以单位圆的圆心O为原点,建立直角坐标系,设点P(xP,yP),你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角α的正弦函数的定义吗?
知识点 任意角的三角函数的定义
提醒 三角函数定义的再理解:①三角函数是一个函数,符合函数的定义,是由角的集合(弧度数)到一个比值的集合的函数;②三角函数值实质是一个比值,因此分母不能为零,所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合;③已知终边上任意一点可求三角函数值的大小,若已知角α终边上一点P(x,y)不是单位圆上一点,则先求r＝x2＋y2,再求sin α＝yr,cs α＝xr,tan α＝yx(x≠0).
1.已知角α的终边经过点-32,-12,则sin α＝ ,cs α＝ ,tan α＝ .
解析:因为-322＋-122＝1,所以点-32,-12在单位圆上,由三角函数的定义知sin α＝-12,cs α＝-32,tan α＝33.
答案:-12 -32 33
2.若角α的终边经过点(1,-3),则sin α＝ .
解析:∵角α的终边经过点(1,-3),∴x＝1,y＝-3,r＝2,∴sin α＝yr＝-32.
答案:-32
3.已知角α的终边经过点(m,2),且cs α＝-32,则实数m＝ .
解析:由题意得mm2＋22＝-32,且m＜0,所以m＝-23或m＝23(舍去).
答案:-23
四．典例分析、举一反三
题型一单位圆法求三角函数值
【例1】 利用定义求2π3的正弦、余弦和正切值.
解 如图所示,2π3的终边与单位圆的交点为P,过点P作PB⊥x轴于点B,在△OPB中,｜OP｜＝1,∠POB＝π3.
则｜PB｜＝32,｜OB｜＝12,
则P-12,32.
所以sin 2π3＝32,cs2π3＝-12,tan2π3＝32-12＝-3.
练1-1. （1）设角α的终边与单位圆相交于点P35,-45,则sin α-cs α＝( )
A.-75 B.-15 C.15 D.75
解析:A 角α的终边与单位圆相交于点P35,-45,则sin α＝-45,cs α＝35,所以sin α-cs α＝-45-35＝-75.故选A.
（2）在平面直角坐标系中,角α的终边与单位圆交于点A,点A的纵坐标为35,求tan α.
解:由题意,设点A的坐标为x,35,所以x2＋352＝1,解得x＝45或-45.
当x＝45时,角α在第一象限,tan α＝3545＝34;
当x＝-45时,角α在第二象限,tan α＝35-45＝-34.
题型二 坐标法求三角函数值
【例2】已知角α的终边过点P(-3a,4a)(a≠0),求2sin α＋cs α的值.
解 r＝(-3a)2＋(4a)2＝5｜a｜,
①若a＞0,则r＝5a,角α在第二象限.
sin α＝yr＝4a5a＝45,
cs α＝xr＝-3a5a＝-35,
所以2sin α＋cs α＝85-35＝1.
②若a＜0,则r＝-5a,角α在第四象限,
sin α＝4a-5a＝-45,cs α＝-3a-5a＝35.
所以2sin α＋cs α＝-85＋35＝-1.
练2-1. 1.已知角α的终边经过点P(2,-3),则sin α＝ ,tan α＝ .
解析:因为x＝2,y＝-3,所以点P到原点的距离r＝22＋(-3)2＝13.于是sin α＝yr＝-313＝-31313,tan α＝yx＝-32.
答案:-31313 -32
2.已知角α的终边上一点P(m,3),且cs α＝104,求m的值.
解:由题意得x＝m,y＝3,∴r＝｜OP｜＝m2+3,
∴cs α＝xr＝mm2+3＝104,显然m＞0,
解得m＝5.
题型三三角函数定义的应用
【例3】 在平面直角坐标系中,角α的终边在直线y＝-2x上,求sin α,cs α,tan α的值.
解 当α的终边位于第二象限时,在α的终边上取一点P(-1,2),
则r＝(-1)2＋22＝5,
所以sin α＝25＝255,cs α＝-15＝-55,tan α＝2-1＝-2.
当α的终边位于第四象限时,在α的终边上取一点P'(1,-2),
则r＝12＋(-2)2＝5,
所以sin α＝-25＝-255,cs α＝15＝55,tan α＝-21＝-2.
练3-1. 已知角α的终边为射线y＝-34x(x≥0),求角α的正弦、余弦和正切值.
解:取射线y＝-34x(x≥0)上一点45,-35,则r＝1.
∴sin α＝yr＝-35,cs α＝xr＝45,tan α＝yx＝-34.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.若tan α＝-32,且角α的终边经过点P(x,2),则P点的横坐标x＝( )
A.23 B.±23
C.433 D.-433
解析:D 由正切函数的定义可知tan α＝2x,又∵tan α＝-32,∴-32＝2x,即x＝-433.
2.如果角α的终边过点(2sin 30°,-2cs 30°),那么sin α＝( )
A.12 B.-12 C.32 D.-32
解析:D 依题意可知点(2sin 30°,-2cs 30°),即(1,-3),则r＝12＋(-3)2＝2,因此sin α＝yr＝-32.
3.若sin α＝35,cs α＝-45,则在角α终边上的点为( )
A.(-4,3) B.(3,-4)
C.(4,-3) D.(-3,4)
解析:A 由三角函数的定义知x＝-4,y＝3,r＝5时,选项A满足题意.
4.已知角α的终边在射线3x-y＝0(x≤0)上,求sin α的值.
解:∵角α的终边在射线3x-y＝0(x≤0)上,
∴角α的终边在第三象限.
在角α的终边上取一点P(-1,-3),
∴点P到原点的距离r＝10,sin α＝yr＝-310＝-31010.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字条件
如图,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点P(x,y)
定义
正弦
点P的 纵坐标y 叫做α的正弦函数,记作sin α,即y＝ sin α
余弦
点P的 横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cs α,即x＝ cs α
正切
点P的纵坐标与横坐标的比值 yx 叫做α的正切,记作tan α,即yx＝ tan α(x≠0)
定义
三角
函数
正弦函数y＝sin x,x∈R;
余弦函数y＝cs x,x∈R;
正切函数y＝tan x,x∈x｜x≠π2＋kπ(k∈Z)