数学必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计

这是一份数学必修 第一册5.2 三角函数的概念学案设计，共9页。


授课提示：对应学生用书第81页
[教材提炼]
知识点一 三角函数的定义
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
如图所示，以单位圆的圆心O为原点，以射线OA为x轴的非负半轴，建立直角坐标系，点A的坐标为(1,0)，点P的坐标为(x，y)．射线OA从x轴的非负半轴开始，绕点O按逆时针方向旋转角α，终止位置为OP.
当α＝eq \f(π,6)时，点P的坐标是什么？当α＝eq \f(π,2)或eq \f(2π,3)时，点P的坐标又是什么？它们是唯一确定的吗？
知识梳理 (1)利用单位圆定义任意角的三角函数．
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)．
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数(sine functin)，记作sin α，即y＝sin_α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数(csine functin)，记作cs α，即x＝cs α；
③把点P的纵坐标与横坐标的比值eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α，即eq \f(y,x)＝tan α(x≠0)．称为正切函数(tangent functin)．
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数(trignmetric functin)，通常将它们记为：
正弦函数y＝sin_x，x∈R；
余弦函数y＝cs x，x∈R；
正切函数y＝tan x，x≠eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)．
(2)利用角α终边上一点的坐标定义三角函数．
如图所示，设α是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x，y)，点P与原点的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
其中r＝eq \r(x2＋y2).
知识点二 三角函数值在各象限的符号
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
若一个角的终边任意一点为P(x，y)，则该角的三角函数值在各象限的符号如何？
知识梳理
记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
知识点三 诱导公式
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
eq \f(π,6)与eq \f(13,6)π终边有什么关系？sineq \f(π,6)与sineq \f(13,6)π.cseq \f(π,6)与cseq \f(13,6)π，taneq \f(π,6)与taneq \f(13,6)π之间有什么关系？
知识梳理 终边相同的角的同一三角函数的值相等．
由此得到一组公式(公式一)：
sin(α＋k·2π)＝sin_α，
cs(α＋k·2π)＝cs_α，
tan(α＋k·2π)＝tan_α，
其中k∈Z.
[自主检测]
1．已知角α的终边与单位圆交于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)，\f(3,5)))，则tan α等于( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(4,5)
C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(3,4)
答案：D
2．若α是第二象限角，则点P(sin α，cs α)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：D
3．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cs α等于( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(3,5)
C．－eq \f(3,5) D．－eq \f(4,5)
答案：D
4．sineq \f(13,6)π的值为________．
答案：eq \f(1,2)
授课提示：对应学生用书第82页
探究一 利用三角函数定义求三角函数值
[例1] [教材P178例1拓展探究]
(1)已知角α的终边经过点P(4a，－3a)(a≠0)，则2sin α＋cs α＝________.
[解析] 由题意知x＝4a，y＝－3a，
故r＝eq \r(4a2＋－3a2)＝5|a|.
①当a＞0时，r＝5a，sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3a,5a)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4a,5a)＝eq \f(4,5)，则2sin α＋cs α＝－eq \f(2,5).
②当a＜0时，r＝－5a，
2sin α＋cs α＝2×eq \f(－3a,－5a)＋eq \f(4a,－5a)＝eq \f(2,5).
综上，2sin α＋cs α＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)，a＞0，,\f(2,5)，a＜0.))
[答案] ±eq \f(2,5)
(2)求eq \f(4,3)π的正弦、余弦和正切值．
[解析] 在直角坐标系中作∠AOB＝eq \f(4,3)π，如图．
∠AOB的终边OB与单位圆的交点B.
坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2)))，
∴sineq \f(4,3)π＝－eq \f(\r(3),2)，cseq \f(4,3)π＝－eq \f(1,2)，taneq \f(4,3)π＝eq \r(3).
(3)已知点M是圆x2＋y2＝1上一点，以射线OM为终边的角α的正弦值为－eq \f(\r(2),2)，求cs α和tan α的值．
[解析] 设点M的坐标为(x1，y1)．
由题意可知，sin α＝－eq \f(\r(2),2)，即y1＝－eq \f(\r(2),2).
∵点M在圆x2＋y2＝1上，
∴xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)＝1，即xeq \\al(2,1)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)))2＝1，
解得x1＝eq \f(\r(2),2)或x1＝－eq \f(\r(2),2).
∴cs α＝eq \f(\r(2),2)，tan α＝－1，或cs α＝－eq \f(\r(2),2)，tan α＝1.
(4)已知角α的终边在直线y＝2x上，求sin α，cs α，tan α的值．
[解析] 法一：(单位圆)设直线y＝2x与单位圆x2＋y2＝1的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝1，,y＝2x，))得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＝\f(\r(5),5)，,y1＝\f(2\r(5),5)，))eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝－\f(\r(5),5)，,y2＝－\f(2\r(5),5).))
①当角α的终边在第一象限时，cs α＝x1＝eq \f(\r(5),5)，
sin α＝y1＝eq \f(2\r(5),5)，tan α＝eq \f(y1,x1)＝2.
②当角α的终边在第三象限时，
cs α＝x2＝－eq \f(\r(5),5)，sin α＝y2＝－eq \f(2\r(5),5)，
tan α＝eq \f(y2,x2)＝2.
法二：(定义法)在直线y＝2x上任取一点P(t,2t)(t≠0)，则r＝eq \r(t2＋2t2)＝eq \r(5)|t|.
①若t＞0时，则r＝eq \r(5)t，从而sin α＝eq \f(2t,\r(5)t)＝eq \f(2,5)eq \r(5)，
cs α＝eq \f(t,\r(5)t)＝eq \f(\r(5),5)，tan α＝eq \f(y,x)＝2.
②若t＜0，则r＝－eq \r(5)t，
从而sin α＝eq \f(2t,－\r(5)t)＝－eq \f(2,5)eq \r(5)，cs α＝eq \f(t,－\r(5)t)＝－eq \f(\r(5),5)，
tan α＝eq \f(y,x)＝2.
1.已知角α的终边在直线上的问题时，常用的解题方法有以下两种：
解法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．
解法二：第一步，取点，在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)，
第二步，计算r：r＝|OP|＝eq \r(x2＋y2)，
第三步，求值：由sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)求值．
2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
探究二 三角函数值的符号问题
[例2] 判断下列各式的符号．
(1)sin 2 005°cs 2 006°tan 2 007°；
(2)tan 191°－cs 191°；
(3)sin 2cs 3tan 4.
[解析] (1)∵2 005°＝1 800°＋205°＝5×360°＋205°，
2 006°＝5×360°＋206°，2 007°＝5×360°＋207°，
∴它们都是第三象限角，
∴sin 2 005°<0，cs 2 006°<0，tan 2 007°>0，
∴sin 2 005°cs 2 006°tan 2 007°>0.
(2)∵191°角是第三象限角，
∴tan 191°>0，cs 191°<0，
∴tan 191°－cs 191°>0.
(3)∵eq \f(π,2)<2<π，eq \f(π,2)<3<π，π<4∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角．
∴sin 2>0，cs 3<0，tan 4>0.
∴sin 2cs 3tan 4<0.
判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
已知cs θ·tan θ<0，那么角θ是( )
A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角
解析：∵cs θ·tan θ<0，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ<0，,tan θ>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ>0，,tan θ<0.))
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ<0，,tan θ>0，))得角θ为第三象限角．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ>0，,tan θ<0，))得角θ为第四象限角．
∴角θ为第三或第四象限角．
答案：C
探究三 利用公式一求值
[例3] 求下列各式的值：
(1)cs eq \f(25π,3)＋tan(－eq \f(15π,4))；
(2)sin 810°＋tan 765°－cs 360°.
[解析] (1)原式＝cs(8π＋eq \f(π,3))＋tan(－4π＋eq \f(π,4))
＝cs eq \f(π,3)＋tan eq \f(π,4)
＝eq \f(1,2)＋1＝eq \f(3,2).
(2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cs 360°
＝sin 90°＋tan 45°－1
＝1＋1－1＝1.
利用诱导公式求解任意角的三角函数的步骤
sin(－1 740°)cs 1 470°＋cs(－660°)sin 750°＋tan 405°.
解析：原式＝sin(60°－5×360°)cs(30°＋4×360°)＋cs(60°－2×360°)sin(30°＋2×360°)＋tan(45°＋360°)＝sin 60°cs 30°＋cs 60°sin 30°＋tan 45°
＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＋1＝2.
授课提示：对应学生用书第83页
一、单位圆的妙用——比较函数值的大小
在单位圆中，由三角函数的定义可知sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x).如果α在第一象限，作PM⊥x轴于M点．则|PM|＝y，|OM|＝x.过A点作QO的切线，交OP的延长线于T点由于eq \f(AT,MP)＝eq \f(OA,OM)，即eq \f(AT,OA)＝eq \f(MP,OM)＝eq \f(y,x)＝tan α，OA＝1，∴tan α＝AT.即此时，可用线段MP、OM、AT的长度来表示sin α、cs α、tan α的值．
[典例] 如果eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，那么下列不等式成立的是( )
A．cs α＜sin α＜tan α
B．tan α＜sin α＜cs α
C．sin α＜cs α＜tan α
D．cs α＜tan α＜sin α
[解析] 在坐标系中作∠AOC＝eq \f(π,4)，OC与单位圆的交点为C.
作∠AOP＝α，OP与单位圆的交点为P.如图．
作PM⊥x轴于M点，由OP和OC相比较可知．
MP＞OM.
过A点作切线AT，
则AT＞MP.
又sin α＝MP，cs α＝OM，tan α＝AT.
∴tan α＞sin α＞cs α.故选A.
[答案] A
二、利用三角函数的定义运算出错
[典例] 已知角α的终边上一点P(4t，－3t)(t≠0)，求α的各三角函数值．
[解析] 因为点P的坐标是(4t，－3t)且t≠0，
所以r＝|PO|＝eq \r(4t2＋－3t2)＝5|t|.
当t＞0时，α是第四象限角，r＝|PO|＝5t，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,5t)＝－eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,5t)＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4)；
当t＜0时，α是第二象限角，r＝|PO|＝－5t，
sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(－3t,－5t)＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4t,－5t)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(－3t,4t)＝－eq \f(3,4).
纠错心得 对涉及的参数未讨论符号，去根号时没有加绝对值而致错．因为t≠0，所以分t＞0和t＜0两种情况讨论．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.借助于单位圆理解任意角的三角函数的定义．
直观想象
数学抽象
数学运算
2.掌握三角函数在各象限的符号．
3.掌握诱导公式(一)及其应用.