高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀第一课时学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数优秀第一课时学案，文件包含442《对数函数的图像和性质第一课时》导学案教师版docx、442《对数函数的图像和性质第一课时》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

1.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象
2.探索并了解对数函数的单调性与特殊点（重点）
3.知道对数函数y＝lgax与指数函数y＝ax互为反函数(a＞0,且a≠1)（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习对数函数的图像和性质
三．课堂导学
观察下图:
问题 (1)从图①上看,函数y＝lg2x与y＝lg12x的图象什么关系?函数y＝lgax与y＝lg1ax(a＞0,且a≠1)呢?
(2)从图②上看,对数函数的图象的分布与底数有什么关系?
知识点一 对数函数的图象及性质
提醒 (1)函数图象只出现在y轴右侧;(2)对任意底数a,当x＝1时,y＝0,故过定点(1,0);(3)当0＜a＜1时,底数越小,图象越靠近x轴;(4)当a＞1时,底数越大,图象越靠近x轴.
知识点二 反函数
指数函数y＝ax(a＞0,且a≠1)与对数函数y＝lgax(a＞0,且a≠1)互为反函数,它们的 定义域 与 值域 正好互换.
提醒 反函数性质的再理解:①互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称;②反函数的定义域是原函数的值域,反函数的值域是原函数的定义域.
1.函数y＝lg(x＋1)的图象大致是( )
解析:C 将y＝lg x的图象向左平移1个单位得y＝lg(x＋1)的图象.
2.函数f(x)＝lga(x-1)＋1(a＞0,且a≠1)的图象恒过点( )
A.(1,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(2,2)
解析:C 令x-1＝1,即x＝2,得f(2)＝lga1＋1＝1,因此f(x)的图象恒过点(2,1).故选C.
3.函数f(x)＝23x的反函数是 .
答案:f(x)＝lg23x
4.若函数y＝lg(2a-3)x在(0,＋∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 .
解析:由题意,得2a-3＞1,解得a＞2.所以a的取值范围是(2,＋∞).
答案:(2,＋∞)
四．典例分析、举一反三
题型一 对数函数的图象
【例1】 (1)如图,若C1,C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象,则( )
A.0＜a＜b＜1 B.0＜b＜a＜1 C.a＞b＞1 D.b＞a＞1
(2)已知f(x)＝lga｜x｜,满足f(-5)＝1,试画出函数f(x)的图象.
(1)解析 作直线y＝1,则直线与C1,C2的交点的横坐标分别为a,b,易知0＜b＜a＜1.
答案 B
(2)解 ∵f(-5)＝1,∴lga5＝1,即a＝5,故f(x)＝lg5｜x｜＝lg5x,x>0,lg5(-x),x<0.
∴函数y＝lg5｜x｜的图象如图所示:
(变设问)在本例(2)中,若条件不变,试画出函数h(x)＝｜lgax｜的图象.
解:因为a＝5,所以h(x)＝｜lg5x｜.h(x)的图象如图中实线部分所示.
练1-1. 1.函数f(x)＝lga｜x｜＋1(a＞1)的图象大致为( )
解析:C ∵函数f(x)＝lga｜x｜＋1(a＞1)是偶函数,∴f(x)的图象关于y轴对称,当x＞0时,f(x)＝lgax＋1单调递增;当x＜0时,f(x)＝lga(-x)＋1单调递减,又∵函数f(x)的图象过(1,1),(-1,1)两点,∴结合选项可知选项C中的图象符合题意.
2.若函数y＝lga(x＋b)＋c(a＞0,且a≠1)的图象恒过定点(3,2),则实数b＝ ,c＝ .
解析:由于函数图象恒过定点(3,2),故lga(3+b)=0,c=2,∴3+b=1,c=2,∴b＝-2,c=2.
答案:-2 2
题型二 比较对数值的大小
【例2】比较下列各题中两个值的大小:
(1)lg31.9,lg32; (2)lg1245与lg1267; (3)lg23,lg0.32; (4)lgaπ,lga3.14(a＞0,且a≠1).
解 (1)因为y＝lg3x在(0,＋∞)上是增函数,且1.9＜2,所以lg31.9＜lg32.
(2)因为y＝lg12x在(0,＋∞)上是减函数,且45＜67,所以lg1245＞lg1267.
(3)因为lg23＞lg21＝0,lg0.32＜lg0.31＝0,所以lg23＞lg0.32.
(4)π＞3.14,当a＞1时,函数y＝lgax在(0,＋∞)上是增函数,有lgaπ＞lga3.14;
当0＜a＜1时,函数y＝lgax在(0,＋∞)上是减函数,有lgaπ＜lga3.14.
综上可得,当a＞1时,lgaπ＞lga3.14;当0＜a＜1时,lgaπ＜lga3.14.
练2-1. 下列式子中成立的是( )
＜lg0.46 ＞1.013.5 ＜3.40.3 D.lg76＜lg67
解析:D 因为f(x)＝lg0.4x为减函数,故lg0.44＞lg0.46,故A错;因为f(x)＝1.01x为增函数,所以1.013.4＜1.013.5,故B错;由指数函数图象特点知,3.50.3＞3.40.3,故C错.设函数f(x)＝lg7x,g(x)＝lg6x,则这两个函数在定义域内都是增函数,所以lg76＜lg77＝1＝lg66＜lg67,所以D正确.
题型三 利用单调性解对数不等式
【例3】解下列不等式:
(1)lg17x＞lg17(4-x);(2)lgx12＞1.
解 (1)由题意可得x>0,4-x>0,x<4-x,解得0＜x＜2.所以原不等式的解集为(0,2).
(2)当x＞1时,lgx12＞1＝lgxx,解得x＜12,此时不等式无解.
当0＜x＜1时,lgx12＞1＝lgxx,解得x＞12,所以12＜x＜1.
综上所述,原不等式的解集为12,1.
练3-1. 解下列不等式:
(1)lg2(2x＋3)≥lg2(5x-6);(2)lga(2x-5)＞lga(x-1).
解:(1)原不等式等价于2x+3>0,5x-6>0,2x+3≥5x-6,解得65＜x≤3.所以不等式的解集为x65＜x≤3.
(2)当a＞1时,原不等式等价于2x-5>0,x-1>0,2x-5>x-1,解得x＞4.
当0＜a＜1时,原不等式等价于2x-5>0,x-1>0,2x-5综上所述,当a＞1时,原不等式的解集为{x｜x＞4}.当0＜a＜1时,原不等式的解集为x｜52＜x<4.
五、课堂小结
六、当堂检测
1.设a＝lg54,b＝lg1513,c＝0.5-0.2,则a,b,c的大小关系是( )
A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜b＜a D.c＜a＜b
解析:B c＝0.5-0.2＝（12）-15＝215＞20＝1,b＝lg1513＝lg53＜lg54＝a＜1,所以b＜a＜c.故选B.
2.下列选项正确的是( )
A.lg2(a2＋a＋1)≥lg234 B.lg2(a2＋a＋1)＞lg234
C.lg2(a2＋a＋1)≤lg234 D.lg2(a2＋a＋1)＜lg234
解析:A ∵y＝lg2x在(0,＋∞)上是增函数,而a2＋a＋1＝a＋122＋34≥34,∴lg2(a2＋a＋1)≥lg234.
3.函数y＝ln｜x｜x的图象大致是( )
解析:A 函数y＝ln｜x｜x的定义域是{x｜x≠0},且易得函数为奇函数,所以函数图象关于原点对称,可排除B、C;当x＝1时,y＝ln 1＝0,故函数图象与x轴相交,且其中一个交点为(1,0),只有A中图象符合.
4.若lga23＜1,求a的取值范围.
解:当a＞1时,满足条件;
当0＜a＜1时,由0综上,实数a的取值范围是（0,23）∪(1,＋∞).
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字a＞1
0＜a＜1
图象
定义域
(0,＋∞)
值域
R
单调性
增函数
减函数
共点性
图象过点 (1,0) ,即lga1＝0
函数值
特点
x∈(0,1)时,y∈(-∞,0);
x∈[1,＋∞)时,y∈[0,＋∞)
x∈(0,1)时,y∈(0,＋∞);
x∈[1,＋∞)时,y∈ (-∞,0]
对称性
函数y＝lgax与y＝lg1ax的图象关于x轴对称