高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数学案

【新教材】4.4.2 对数函数的图像和性质（人教A版）

1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；

2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；

3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.

    1.数学抽象：对数函数的图像与性质；

    2.逻辑推理：图像平移问题；

    3.数学运算：求函数的定义域与值域；

    4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；

    5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

重点：对数函数的图象和性质；

难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质．

一、 预习导入

阅读课本132-133页，填写。

1．对数函数的图象及性质

[点睛]　底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．

2．反函数

指数函数__________和对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数．

1.若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是 (　　)

A.0.5 B.2 C.e D.π

2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(　　)

A.y=5x B.y=lg x+2    C.y=x2+1    D.y=

3.函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点　　　..

4.(1)函数f(x)=      的反函数是　　　　　. 

(2)函数g(x)=log8x的反函数是　　　　　. 

题型一    对数函数的图象

例1  函数y=log2x,y=log5x,y=lg x的图象如图所示.

(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;

(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出y=lox,y=lox,y=lox的图象;

(3)从(2)的图中你发现了什么?

跟踪训练一

1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.

题型二   比较对数值的大小

例2 比较下列各组数中两个值的大小：

(1)log23.4，log28.5；

(2)log0.31.8，log0.32.7；

(3)loga5.1，loga5.9(a＞0，且a≠1)．

跟踪训练二

1．比较下列各题中两个值的大小：

(1)lg 6，lg 8；　　　　　  (2)log0.56，log0.54；

(3)log2与log2;   (4)log23与log54.

题型三   比较对数值的大小

例3 (1)已知loga＞1，求a的取值范围；

(2)已知log0.7(2x)＜log0.7(x－1)，求x的取值范围．

跟踪训练三

1．已知loga(3a－1)恒为正，求a的取值范围．

题型四   有关对数型函数的值域与最值问题

例4 求下列函数的值域．

(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝log (3＋2x－x2)．

跟踪训练四

1．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及此时x的值．

1．若lg(2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　)

A．(－∞，7]　　　　　　　　   B．(2,7]

C．[7，＋∞)     D．(2，＋∞)

2．已知logm＜logn＜0，则(　　)

A．n＜m＜1     B．m＜n＜1

C．1＜m＜n     D．1＜n＜m

3．函数f(x)＝|logx|的单调递增区间是(　　)

A.     B．(0,1]

C．(0，＋∞)     D．[1，＋∞)

4．已知实数a＝log45，b＝0，c＝log30.4，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b＜c＜a     B．b＜a＜c

C．c＜a＜b     D．c＜b＜a

5．函数f(x)＝lg是(　　)

A．奇函数     B．偶函数

C．既奇又偶函数     D．非奇非偶函数

6．比较大小：

(1)log22______log2；

(2)log3π______logπ3.

7．不等式log (5＋x)<log (1－x)的解集为________．

8．求函数y＝log (1－x2)的单调增区间，并求函数的最小值．

答案

小试牛刀

1-2.AD

3.(3,-6)

4.(1)f(x)=lox　(2)g(x)=8x

自主探究

例1 【答案】见解析

【解析】(1)①对应函数y=lg x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.

(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=lox,y=lox,y=lox的图象如图所示.

(3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=lox,y=log5x与y=lox,y=log2x与y=lox的图象分别关于x轴对称.

跟踪训练一

1、【答案】其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).

【解析】先画出函数y=lg x的图象(如图①).

再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).

图①                      图②                   图③               

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).

由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).

例2 【答案】(1)  log23.4＜log28.5 (2) log0.31.8＞log0.32.7   （3）当a＞1时，loga5.1＜loga5.9；当0＜a＜1时，loga5.1＞loga5.9.

【解析】(1)考察对数函数y＝log2x，因为它的底数2＞1，所以它在(0，＋∞)上是增函数，于是log23.4＜log28.5.

(2)考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数0＜0.3＜1，所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是log0.31.8＞log0.32.7.

(3)当a＞1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，于是loga5.1＜loga5.9；

当0＜a＜1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，于是loga5.1＞loga5.9.

跟踪训练二

1.【答案】（1）lg 6＜lg 8（2）log0.56＜log 0.54（3）log2<log2（4）log23＞log54.

【解析】(1)因为函数y＝lg x在(0，＋∞)上是增函数，且6＜8，所以lg 6＜lg 8.

(2)因为函数y＝log0.5x在(0，＋∞)上是减函数，且6＞4，所以log0.56＜log 0.54.

(3)由于log2＝，log2＝.

又∵对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且＞，

∴0＞log2 ＞log2 ，∴＜.

∴log2<log2.

(4)取中间值1，

∵log23＞log22＝1＝log55＞log54，∴log23＞log54.

例3【答案】(1)； (2) (1，＋∞).  

【解析】(1)由loga＞1得loga＞logaa.

①当a＞1时，有a＜，此时无解．

②当0＜a＜1时，有＜a，从而＜a＜1.

∴a的取值范围是.

(2)∵函数y＝log 0.7x在(0，＋∞)上为减函数，

∴由log0.72x＜log0.7(x－1)

得解得x＞1.

∴x的取值范围是(1，＋∞)．

跟踪训练三

1．【答案】∪(1，＋∞)

【解析】由题意知loga(3a－1)＞0＝loga1.

当a＞1时，y＝logax是增函数，

∴解得a＞，∴a＞1；

当0＜a＜1时，y＝logax是减函数，

∴解得＜a＜.∴＜a＜.

综上所述，a的取值范围是∪(1，＋∞).

例4 【答案】(1) [2，＋∞)； (2)[－2，＋∞)．

【解析】(1)y＝log2(x2＋4)的定义域是R.

因为x2＋4≥4，所以log2(x2＋4)≥log24＝2，

所以y＝log2(x2＋4)的值域为[2，＋∞)．

(2)设u＝3＋2x－x2＝－(x－1)2＋4≤4.

因为u＞0，所以0＜u≤4.

又y＝logu在(0，＋∞)上为减函数，

所以logu≥log4＝－2，

所以y＝log (3＋2x－x2)的值域为[－2，＋∞)．

跟踪训练四

1．【答案】当x＝3时，y取得最大值，为13.

【解析】y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋log3x2＋2＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3.

∵f(x)的定义域为[1,9]，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)中，x必须满足

∴1≤x≤3，∴0≤log3x≤1，∴6≤y≤13.

∴当x＝3时，y取得最大值，为13.

当堂检测 

1-5．BDDDA

6．(1)＞　(2)＞

7．{x|－2<x<1}

8．【答案】函数y＝log (1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝0.

【解析】要使y＝log (1－x2)有意义，则1－x2＞0，

∴x2＜1，则－1＜x＜1，因此函数的定义域为(－1,1)．

令t＝1－x2，x∈(－1,1)．

当x∈(－1,0]时，x增大，t增大，y＝logt减小，

∴x∈(－1,0]时，y＝log (1－x2)是减函数；

同理当x∈[0,1)时，y＝log (1－x2)是增函数．

故函数y＝log (1－x2)的单调增区间为[0,1)，且函数的最小值ymin＝log (1－02)＝0.