人教A版高中数学（选择性必修一）同步讲义第35讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（2份打包，原卷版+教师版）

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第10讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线 SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 知识点二：焦点三角形的面积直线 SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 注意： SKIPIF 1 < 0 为联立消去 SKIPIF 1 < 0 后关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 注意： SKIPIF 1 < 0 为直线与椭圆联立后消去 SKIPIF 1 < 0 后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式  SKIPIF 1 < 0 变式： SKIPIF 1 < 0 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1） SKIPIF 1 < 0 （注意分 SKIPIF 1 < 0 三种情况讨论）（2） SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立（3） SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.（4） SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立(5) SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·广东广州·高二统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)经过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：由椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）解：设点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .联立 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，  所以， SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023春·河南南阳·高二校联考阶段练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）依题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆C的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）因为直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 并整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .    【典例3】（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相外切，与圆 SKIPIF 1 < 0 相内切.(1)求动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的轨迹方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的两直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交动圆 SKIPIF 1 < 0 圆心的轨迹于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）设动圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为长轴长的椭圆，可设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 ；（2）  设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为0时不符合题意）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  ，同理设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不为0，可得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知圆 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与半径 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的另一条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与半径 SKIPIF 1 < 0 的交点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 都与已知不符；当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 倍可得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，也就是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．  【变式2】（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距和离心率；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别共线，求证： SKIPIF 1 < 0 三点共线；(3)若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【答案】(1)焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 (2)证明见解析(3) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以焦距 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ．（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，方法一：由 SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得， SKIPIF 1 < 0 三点共线，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 三点共线．方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 三点共线．  （3）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，②当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，可设 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，代入整理得， SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．  【变式3】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的上顶点为K，左右顶点分别为A，B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，①∵ SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，②联立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆C的方程 SKIPIF 1 < 0 ．（2）易知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线L： SKIPIF 1 < 0 ，直线L与x轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线MN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线MN与椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去y得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线AM的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；直线AN的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵四边形APBQ的面积为4，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，进而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·贵州·高二贵州师大附中校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的上顶点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)1【详解】（1）由题意，在椭圆 SKIPIF 1 < 0 中，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，由题知： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）由题意及（1）得，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由对称性知直线 SKIPIF 1 < 0 斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，  将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值1.【典例2】（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的两顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的动直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，且去掉椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，  设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， 点 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 因此， SKIPIF 1 < 0 ．【典例3】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并说明 SKIPIF 1 < 0 是什么曲线；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两动点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .①求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一定点；②设 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 为中心在坐标原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，不含左､右顶点.(2)①证明见解析；②最大值为 SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）由题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 为中心在坐标原点，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，不含左､右顶点.（2）如图，  ①证明：设 SKIPIF 1 < 0 .因为若直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为0，则点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，必有 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率必不为0.设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 因为点 SKIPIF 1 < 0 是曲线 SKIPIF 1 < 0 上一点，所以由题意可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 恒过 SKIPIF 1 < 0 轴上一定点 SKIPIF 1 < 0 .②由①可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为8，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．    （2）由（1）知圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线l的距离 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．  【变式2】（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求△ SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)详见解析；(3) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 （2）当切线斜率存在时，其方程可设为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 此时方程的根为 SKIPIF 1 < 0 ，则切点横坐标 SKIPIF 1 < 0 ，切点纵坐标 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ；当切线斜率不存在时，其切点为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 .综上，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C上一点时， 过点P的椭圆C的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 （3）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， 则椭圆C在点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 在两条切线上，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 整理得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，又点M到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，则△ SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 恒成立，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 即点M坐标为 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，则△ SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .  【变式3】（2023·北京大兴·校考三模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0     SKIPIF 1 < 0      SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上   SKIPIF 1 < 0       SKIPIF 1 < 0 .所以，椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）由已知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在.设直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， 得 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．① SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．     SKIPIF 1 < 0      SKIPIF 1 < 0 又中点在直线 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0      即 SKIPIF 1 < 0 ，将之代入①得 SKIPIF 1 < 0  ，所以 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023春·上海宝山·高二上海交大附中校考期中）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，及直线 SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左右两支分别交于A、B两点，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ①，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程①有一解， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 仅有一个交点（与渐近线平行时）.当 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 也只有一个交点（与双曲线相切时），综上得 SKIPIF 1 < 0 的取值是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设交点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，首先由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，并且 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左右两支分别交于A､B两点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .因为直线l与y轴交于点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意知焦点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 因为一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，【典例3】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的双曲线上，过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线切线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线左支交于 SKIPIF 1 < 0  两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：因为双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以，双曲线的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线切线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，故切线的斜率存在，所以，设 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 所以， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①因为 SKIPIF 1 < 0 ，代入①式得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 所以，在点 SKIPIF 1 < 0 的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 所以， SKIPIF 1 < 0 （2）解：由题，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 联立得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 因为直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 整理得： SKIPIF 1 < 0 ②将 SKIPIF 1 < 0 代入②整理得： SKIPIF 1 < 0 ③结合 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 时，③式恒成立，所以，由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 SKIPIF 1 < 0 （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为1， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设动点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意知M只能在直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 所夹的范围内活动. SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  ，动点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 右侧，有 SKIPIF 1 < 0 ，同理有 SKIPIF 1 < 0 ，∵四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为8，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0  ，所以所求轨迹C方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）.（2）如图，设直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为k，直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在曲线C上，过点T直线与曲线C有两个交点，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，同时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .   SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去）.  SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消y得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 . 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，消y得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点Q到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0   ， SKIPIF 1 < 0 .方法二： SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在圆 SKIPIF 1 < 0 上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由双曲线方程知：焦点 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在圆 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），∵连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，①又 SKIPIF 1 < 0 ，②联立①②，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 舍去，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023春·福建莆田·高二莆田一中校考期中）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离与它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为2，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（均位于 SKIPIF 1 < 0 轴右侧）， SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 ，依题意有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 .（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得 SKIPIF 1 < 0 ， 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由已知可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，该式有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023·浙江金华·模拟预测）P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1)3(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由已知条件得： SKIPIF 1 < 0 ，设PA，PB的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则QA，QB的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 即有 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 即有 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．（2）由于 SKIPIF 1 < 0 ，显然P，Q，B，A四点共圆，PO为直径，PQ中点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，又 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0       ①，又 SKIPIF 1 < 0     ②， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，，而 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 ，根据单调性，求得 SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 .以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）如下图所示，由题意可知点Q在线段AP的垂直平分线，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又点P是圆G上一动点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；同理，若如下图所示则满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以，Q的轨迹满足 SKIPIF 1 < 0 ，根据双曲线定义可知，Q点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为左右焦点，实轴长为 SKIPIF 1 < 0 的双曲线，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；所以Q的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 .（2）如下图所示，设直线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形GBAC面积 SKIPIF 1 < 0 又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立；即 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形GBAC面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023·高二课时练习）如图，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点（从左至右的顺序依次为 SKIPIF 1 < 0 ），其中 SKIPIF 1 < 0 .(1)若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 联立直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由韦达定理可知， SKIPIF 1 < 0 联立直线 SKIPIF 1 < 0 与其中一条渐近线方程 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则可知 SKIPIF 1 < 0 的中点与 SKIPIF 1 < 0 中点重合.由于 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 联立，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 由（1）知， SKIPIF 1 < 0 .或 SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .【变式3】（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上有一点P满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求b；(2)过 SKIPIF 1 < 0 作直线l交 SKIPIF 1 < 0 于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意, SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中,由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .（2）双曲线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线BC的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由题意 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当BD与EH的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】（2023·内蒙古呼和浩特·统考二模）已知抛物线T： SKIPIF 1 < 0 和椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恰好被 SKIPIF 1 < 0 平分，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）在椭圆中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．（2）设直线l： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则直线MN的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，相减得到 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，由点G在椭圆内，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以p值是1，所以 SKIPIF 1 < 0 面积 SKIPIF 1 < 0 ．【典例2】（2023春·湖北孝感·高二统考期中）如图所示，已知直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：由 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）解：设 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，易得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·陕西安康·统考三模）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)32【详解】（1）解：由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴拋物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）解：如图所示：  设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 轴，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时不满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴不满足题意；设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 .将 SKIPIF 1 < 0 代入抛物线方程得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ①.直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，同理直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②.由①②解得 SKIPIF 1 < 0 ，将其代入①可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .同理可得，当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的面积为32.【变式2】（2023秋·青海西宁·高二校考期末）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点.拋物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 及抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ，与拋物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 （异于原点），若 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.【答案】(1)椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，易得点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称点为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）联立方程 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 .题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线 SKIPIF 1 < 0 分别交抛物线于A，B两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；若抛物线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；综上，抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；（2）由（1）可得抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 由题可知斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 得方程为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0     则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 因为直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，此时直线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意，故 SKIPIF 1 < 0 ，即直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，由图可知直线 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上方，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023秋·高二单元测试）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题知准线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .（2）抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，把点 SKIPIF 1 < 0 代入到抛物线方程， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，依题知过点 SKIPIF 1 < 0 的直线斜率必存在，设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，则圆心到该直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，          由直线与圆相切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，                      联立 SKIPIF 1 < 0 ，消y得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，      故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，             SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 （定值），要使 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 最大，则 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的高最大即可，又因为圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则圆上一点到直线的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 边上的高的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 .            【变式1】（2023春·江苏南通·高二期末）抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 (1)求抛物线C的方程；(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求 SKIPIF 1 < 0 面积S的最小值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由已知，直线AB的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故抛物线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 （2）如下图，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，切线l的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由M，F，P三点共线，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，化简可得 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为直线l与抛物线相切，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 所以直线PN的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，点M到直线PN的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入可得， SKIPIF 1 < 0 联立 SKIPIF 1 < 0 ，消 SKIPIF 1 < 0 可得，消x可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，此时， SKIPIF 1 < 0 面积S的最小值为 SKIPIF 1 < 0   【变式2】（2023春·四川广安·高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 上点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 做抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两切线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是切点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题可点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 到圆 SKIPIF 1 < 0 上的点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由（1）知，抛物线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．设切点 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 ．联立两方程可得点 SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 ，联立抛物线方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，从而可知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0     ①，又点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入①，得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ．所以当 SKIPIF 1 < 0 时，∴ SKIPIF 1 < 0 .