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    3.1 椭圆-新教材名师导学导练高中数学选择性必修第一册(人教A版)
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    人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题

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    这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题,文件包含31椭圆原卷版docx、31椭圆解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共52页, 欢迎下载使用。

    思维导图








    新课标要求


    经历从具体情境中抽象出椭圆的过程,掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。





    知识梳理


    1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.


    2.焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0),焦点坐标为(±c,0),焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0),焦点坐标为(0,±c).其中a,b,c的关系为 a2=b2+c2.


    3.椭圆的简单几何性质


    4.点与椭圆的位置关系


    设点P(x0,y0),椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0).


    eq \a\vs4\al(位,置,关,系)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(点P在椭圆上⇔\f(x\\al(2,0),a2)+\f(y\\al(2,0),b2)=1,点P在椭圆内⇔\f(x\\al(2,0),a2)+\f(y\\al(2,0),b2)<1,点P在椭圆外⇔\f(x\\al(2,0),a2)+\f(y\\al(2,0),b2)>1))


    5.直线与椭圆的位置关系及判定








    名师导学


    知识点1 椭圆定义的应用


    【例1-1】(1)已知定点F1,F2,其中F1(-4,0),F2(4,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=8,则动点P的轨迹是( )


    A.椭圆 B.圆


    C.直线 D.线段


    (2)若P是以F1,F2为焦点的椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1上一点,则△PF1F2的周长等于( )


    A.16 B.18


    C.20 D.不确定


    【例1-2】若方程eq \f(x2,16-m)+eq \f(y2,m+9)=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )


    A.-9<m<16 B.-9<m<eq \f(7,2)


    C.eq \f(7,2)<m<16 D.m>eq \f(7,2)


    【变式训练1-1】设F1,F2是椭圆eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1的两个焦点,P是椭圆上一点,且点P到两个焦点的距离之差为2,则△PF1F2是( )


    A.钝角三角形 B.锐角三角形


    C.斜三角形 D.直角三角形


    【变式训练1-2】若方程x2+ky2=3表示焦点在x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是________.





    知识点2 求椭圆的标准方程


    【例2-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程.


    (1)焦点坐标分别为(0,-2),(0,2),且经过点(4,3eq \r(2));


    (2)a=8,c=6;


    (3)经过两点(eq \r(3),-2),(-2eq \r(3),1).





















































    【变式训练2-1】已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则椭圆C的方程为( )


    A.eq \f(x2,2)+y2=1 B.eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1


    C.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 D.eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1





    知识点3 椭圆的简单几何性质


    【例3-1】求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率.























    【变式训练3-1】若直线x-2y+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( )


    A.eq \f(x2,5)+y2=1


    B.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,5)=1


    C.eq \f(x2,5)+y2=1或eq \f(x2,4)+eq \f(y2,5)=1


    D.以上答案都不对





    知识点4 根据椭圆的性质求椭圆的方程


    【例4-1】根据下列条件,求椭圆的标准方程.


    (1)长轴长为10,离心率为eq \f(3,5);


    (2)焦点在x轴上,且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直,焦距为6.




















    【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,离心率为eq \f(\r(3),2),且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12,则椭圆C的标准方程为________________.


    (2)若椭圆eq \f(x2,2)+eq \f(y2,m)=1的离心率为eq \f(1,2),则m=__________.





    知识点5 椭圆离心率的应用


    【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后,在地球轨道上经历3次调相轨道变轨,奔向月球,进入月球轨道,“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆,设地球半径为R,卫星近地点,远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2),eq \f(5R,2)(如图所示),则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为( )





    A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,3)


    C.eq \f(2,5) D.eq \f(1,3)


    【例5-2】若椭圆上存在点P,使得P到两个焦点的距离之比为2∶1,求这个椭圆离心率的取值范围.





























    【变式训练5-1】已知直线l:y=kx与椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)交于A,B两点,其中右焦点F的坐标为(c,0),且AF与BF垂直,则椭圆C的离心率的取值范围为( )


    A.[eq \f(\r(2),2),1 )B.(0,eq \f(\r(2),2))


    C.(eq \f(\r(2),2),1 ) D.(0,eq \f(\r(2),2) ]


    知识点6 直线与椭圆的位置关系


    【例6-1】已知椭圆C:eq \f(x2,4)+y2=1.


    (1)若(eq \r(3),n)在椭圆内,求实数n的取值范围;


    (2)m为何值时,直线y=x+m与椭圆C相交、相切、相离?
































    【变式训练6-1】直线y=x+2与椭圆eq \f(x2,m)+eq \f(y2,3)=1有两个公共点,则m的取值范围是( )


    A.m>1 B.m>1且m≠3


    C.m>3 D.m>0且m≠3





    知识点7 弦长问题


    【例7-1】求直线y=x+1被椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,2)=1所截得的弦长.
































    【变式训练7-1】已知直线l:y=kx+1与椭圆eq \f(x2,2)+y2=1交于M,N两点,且|MN|=eq \f(4\r(2),3),则k=________.


    知识点8 直线与椭圆的综合应用


    【例8-1】设椭圆C:eq \f(x2,2)+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).


    (1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;


    (2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.





















































    【变式训练8-1】如果点M(x,y)在运动过程中总满足关系式 eq \r(x-2\r(2)2+y2)+eq \r(x+2\r(2)2+y2)=4eq \r(3).


    (1)说明M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程;


    (2)设直线l:y=-x+m(m∈R)与点M的轨迹交于不同两点A,B,且|AB|=3eq \r(2),若点P(x0,2)满足(eq \(PA,\s\up6(→))+eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))=0,求x0.


























    名师导练


    3.1.1椭圆及其标准方程


    A组-[应知应会]


    1.对于m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆”的( )


    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


    2.方程 eq \r(x+12+y2)+ eq \r(x-12+y2)=2表示( )


    A.椭圆 B.圆


    C.直线 D.线段


    3.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),则k的值为( )


    A.1 B.-eq \f(3,5)


    C.eq \f(3,5) D.25


    4.已知△ABC的周长为18,|AB|=8,A(-4,0),B(4,0),|CA|<|CB|,则点C的轨迹方程为( )


    A.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1(y≠0)


    B.eq \f(y2,25)+eq \f(x2,9)=1(y≠0)


    C.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1(y≠0,x<0)


    D.eq \f(y2,25)+eq \f(x2,9)=1(y≠0,x<0)


    5.设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(1,0),条件甲:点C满足eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))>0;条件乙:点C的坐标是方程eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1(y≠0)的解.则甲是乙的( )


    A.充分不必要条件


    B.必要不充分条件


    C.充要条件


    D.既不是充分条件也不是必要条件


    6.已知椭圆eq \f(x2,4)+y2=1,F1,F2为其两焦点,P为椭圆上任意一点.则|PF1|·|PF2|的最大值为( )


    A.16 B.4


    C.8 D.2


    7.设P是椭圆eq \f(x2,4)+eq \f(y2,9)=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于________.


    8.椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,2)=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则|PF2|=________,∠F1PF2=________.


    9.若椭圆eq \f(x2,49)+eq \f(y2,24)=1上一点P与其两焦点F1,F2连线的夹角为直角,则|PF1|·|PF2|=________.


    10.(1)已知椭圆的焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,求该椭圆的标准方程;


    (2)已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)+eq \f(y2,m2)=1(m>0),且焦距为6,求实数m的值.























    11.已知P为椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(4y2,75)=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.























    12.已知点A,B的坐标分别是A(0,-1),B(0,1),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-t,t∈(0,1].求M的轨迹方程,并说明曲线的类型.











    B组-[素养提升]


    已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与椭圆C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则椭圆C的方程为( )


    A.eq \f(x2,2)+y2=1 B.eq \f(x2,3)+eq \f(y2,2)=1


    C.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 D.eq \f(x2,5)+eq \f(y2,4)=1


    3.1.2椭圆的简单几何性质


    A组-[应知应会]


    1.短轴长等于8,离心率等于eq \f(3,5)的椭圆的标准方程为( )


    A.eq \f(x2,100)+eq \f(y2,64)=1


    B.eq \f(x2,100)+eq \f(y2,64)=1或eq \f(x2,64)+eq \f(y2,100)=1


    C.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,16)=1


    D.eq \f(x2,25)+eq \f(y2,16)=1或eq \f(x2,16)+eq \f(y2,25)=1


    2.(2019·开封模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq \f(1,2),且它的长轴长等于圆C:x2+y2-2x-15=0的半径,则椭圆的标准方程是( )


    A.eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1 B.eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1


    C.eq \f(x2,4)+y2=1 D.eq \f(x2,16)+eq \f(y2,4)=1


    3.以椭圆eq \f(x2,25)+eq \f(y2,9)=1的短轴顶点为焦点,离心率e=eq \f(1,2)的椭圆的标准方程为( )


    A.eq \f(y2,36)+eq \f(x2,27)=1 B.eq \f(x2,36)+eq \f(y2,27)=1


    C.eq \f(x2,100)+eq \f(y2,75)=1 D.eq \f(y2,100)+eq \f(x2,75)=1


    4.已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则椭圆C的离心率为( )


    A.eq \f(\r(6),3) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D.eq \f(1,3)


    5.我们把离心率为黄金比eq \f(\r(5)-1,2)的椭圆称为“优美椭圆”.设F1,F2是“优美椭圆”C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点,则椭圆C上满足∠F1PF2=90°的点P的个数为( )


    A.0 B.1


    C.2 D.4


    6.已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为eq \f(x2,a2)+y2=1(a>0),过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A,B两点,且|AB|=1,则该椭圆的离心率为( )


    A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(1,2)


    C.eq \f(\r(15),4) D.eq \f(\r(3),3)


    7.已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))=c2,则此椭圆离心率的取值范围是________.


    8.已知F1,F2是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆短轴的端点,且∠F1PF2=90°,则该椭圆的离心率为________.





    9.设F1,F2为椭圆C:eq \f(x2,36)+eq \f(y2,20)=1的两个焦点,M为椭圆C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.


    10.已知椭圆的中心在原点,对称轴是坐标轴,离心率e=eq \f(\r(3),2),且过点P(2,3),求此椭圆的标准方程.
























































    11.已知椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的上顶点坐标为(0,eq \r(3)),离心率为eq \f(1,2).


    (1)求椭圆C的标准方程;


    (2)设P为椭圆上一点,A为椭圆左顶点,F为椭圆右焦点,求eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围.























    12.在平面直角坐标系xOy中,椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0).已知点(1,e)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e,\f(\r(3),2)))都在椭圆上,其中e为椭圆的离心率.求椭圆的标准方程.
































    B组-[素养提升]


    已知椭圆eq \f(x2,9)+eq \f(y2,5)=1的左焦点为F,点P在椭圆上且在x轴的上方,若线段PF的中点在以原点O为圆心,|OF|为半径的圆上,则直线PF的斜率是________.


    3.1.3直线与椭圆的位置关系


    A组-[应知应会]


    1.过椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,3)=1(a>eq \r(3))的焦点,作垂直于x轴的直线,交椭圆于A,B两点,若|AB|=eq \f(3,2),则a的值为( )


    A.4 B.2


    C.3 D.9


    2.过坐标原点,作斜率为eq \r(2)的直线,交椭圆eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1于A,B两点,则|AB|的长为( )


    A.2 B.4


    C.eq \f(4\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)


    3.已知圆M:x2+y2+2mx-3=0(m<0)的半径为2,椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,3)=1的左焦点为F(-c,0),若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切,则a的值为( )


    A.eq \f(3,4) B.1


    C.2 D.4


    4.设直线l过椭圆C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为长轴长的一半,则C的离心率为( )


    A.eq \f(1,4) B.eq \f(\r(3),2)


    C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(2),4)


    5.已知F1(-3,0),F2(3,0)是椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的两个焦点,P在椭圆上,∠F1PF2=α,且当α=eq \f(2π,3)时,△F1PF2的面积最大,则椭圆的标准方程为( )


    A.eq \f(x2,12)+eq \f(y2,3)=1 B.eq \f(x2,14)+eq \f(y2,5)=1


    C.eq \f(x2,15)+eq \f(y2,6)=1 D.eq \f(x2,16)+eq \f(y2,7)=1


    6.在焦距为2c的椭圆M:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上,F1,F2是椭圆的两个焦点,则“b

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件


    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件


    7.已知椭圆的方程为eq \f(x2,16)+eq \f(y2,m2)=1(m>0),如果直线y=eq \f(\r(2),2)x与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为________.


    8.(2019·唐山模拟)设F1,F2是椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4eq \r(3)的等边三角形,则椭圆C的方程为________________.


    9.(2019·怀化模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点分别为F1,F2,若椭圆上存在点P,使得∠F1PF2=120°,则椭圆的离心率的取值范围是________.


    10.(2019·抚顺模拟)M(eq \r(2),1)在椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)上,且点M到椭圆两焦点的距离之和为2eq \r(5).


    (1)求椭圆C的方程;


    (2)已知动直线y=k(x+1)与椭圆C相交于A,B两点,若P-eq \f(7,3),0,求证:eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))为定值.
































    11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,且焦点在x轴上,又椭圆截直线y=x+2所得线段长为eq \f(16\r(2),5),求椭圆的标准方程.









































    12.设F1,F2分别是椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的左,右焦点,M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.


    (1)若直线MN的斜率为eq \f(3,4),求C的离心率;


    (2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.















































    B组-[素养提升]


    (2019·日照模拟)已知椭圆E:eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1的一个顶点为H(2,0),对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MP⊥MH,则实数t的取值范围是________.


    标准方程
    eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)
    eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)
    图形
    范围
    -a≤x≤a


    -b≤y≤b
    -a≤y≤a


    -b≤x≤b
    对称性
    对称轴:坐标轴;对称中心:(0,0)
    焦点
    F1(-c,0),F2(c,0)
    F1(0,c),F2(0,-c)
    焦距
    |F1F2|=2c
    顶点
    A1(-a,0),A2(a,0);


    B1(0,-b),B2(0,b)
    A1(0,-a),A2(0,a);


    B1(-b,0),B2(b,0)
    轴长
    长轴长2a,短轴长2b
    离心率
    e=eq \f(c,a)∈(0,1)
    位置关系
    公共点个数
    组成的方程组的解
    判定方法(利用判别式Δ)
    相交
    2个
    2个解
    Δ>0
    相切
    1个
    1个解
    Δ=0
    相离
    0个
    无解
    Δ<0
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