人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.1 椭圆随堂练习题

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思维导图








新课标要求


经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。





知识梳理


1．平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．


2．焦点在x轴上的椭圆的标准方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(±c,0)，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，焦点坐标为(0，±c)．其中a，b，c的关系为 a2＝b2＋c2.


3.椭圆的简单几何性质


4．点与椭圆的位置关系


设点P(x0，y0)，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．


eq \a\vs4\al(位,置,关,系)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(点P在椭圆上⇔\f(x\\al(2,0),a2)＋\f(y\\al(2,0),b2)＝1,点P在椭圆内⇔\f(x\\al(2,0),a2)＋\f(y\\al(2,0),b2)＜1,点P在椭圆外⇔\f(x\\al(2,0),a2)＋\f(y\\al(2,0),b2)＞1))


5．直线与椭圆的位置关系及判定








名师导学


知识点1 椭圆定义的应用


【例1-1】(1)已知定点F1，F2，其中F1(－4,0)，F2(4,0)，动点P满足|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是( )


A．椭圆 B．圆


C．直线 D．线段


(2)若P是以F1，F2为焦点的椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1上一点，则△PF1F2的周长等于( )


A．16 B．18


C．20 D．不确定


【例1-2】若方程eq \f(x2,16－m)＋eq \f(y2,m＋9)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )


A．－9＜m＜16 B．－9＜m＜eq \f(7,2)


C.eq \f(7,2)＜m＜16 D．m＞eq \f(7,2)


【变式训练1-1】设F1，F2是椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为2，则△PF1F2是( )


A．钝角三角形 B．锐角三角形


C．斜三角形 D．直角三角形


【变式训练1-2】若方程x2＋ky2＝3表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．





知识点2 求椭圆的标准方程


【例2-1】求满足下列条件的椭圆的标准方程．


(1)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，且经过点(4，3eq \r(2))；


(2)a＝8，c＝6；


(3)经过两点(eq \r(3)，－2)，(－2eq \r(3)，1)．





















































【变式训练2-1】已知F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A，B两点，且|AB|＝3，则椭圆C的方程为( )


A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1


C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1





知识点3 椭圆的简单几何性质


【例3-1】求椭圆4x2＋9y2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．























【变式训练3-1】若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )


A.eq \f(x2,5)＋y2＝1


B.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1


C.eq \f(x2,5)＋y2＝1或eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,5)＝1


D．以上答案都不对





知识点4 根据椭圆的性质求椭圆的方程


【例4-1】根据下列条件，求椭圆的标准方程．


(1)长轴长为10，离心率为eq \f(3,5)；


(2)焦点在x轴上，且一个焦点与短轴的两个端点的连线互相垂直，焦距为6.




















【变式训练4-1】(1)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且椭圆C上一点到两个焦点的距离之和为12，则椭圆C的标准方程为________________．


(2)若椭圆eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,m)＝1的离心率为eq \f(1,2)，则m＝__________.





知识点5 椭圆离心率的应用


【例5-1】我国自主研制的第一个月球探测器——“嫦娥一号”卫星在西昌卫星发射中心成功发射后，在地球轨道上经历3次调相轨道变轨，奔向月球，进入月球轨道，“嫦娥一号”轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为R，卫星近地点，远地点离地面的距离分别是eq \f(R,2)，eq \f(5R,2)(如图所示)，则“嫦娥一号”卫星轨道的离心率为( )





A.eq \f(1,5) B．eq \f(2,3)


C.eq \f(2,5) D．eq \f(1,3)


【例5-2】若椭圆上存在点P，使得P到两个焦点的距离之比为2∶1，求这个椭圆离心率的取值范围．





























【变式训练5-1】已知直线l：y＝kx与椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c,0)，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为( )


A.[eq \f(\r(2),2)，1 ）B．（0，eq \f(\r(2),2)）


C.（eq \f(\r(2),2)，1 ） D．（0，eq \f(\r(2),2) ]


知识点6 直线与椭圆的位置关系


【例6-1】已知椭圆C：eq \f(x2,4)＋y2＝1.


(1)若(eq \r(3)，n)在椭圆内，求实数n的取值范围；


(2)m为何值时，直线y＝x＋m与椭圆C相交、相切、相离？
































【变式训练6-1】直线y＝x＋2与椭圆eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )


A．m＞1 B．m＞1且m≠3


C．m＞3 D．m＞0且m≠3





知识点7 弦长问题


【例7-1】求直线y＝x＋1被椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1所截得的弦长．
































【变式训练7-1】已知直线l：y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,2)＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝eq \f(4\r(2),3)，则k＝________.


知识点8 直线与椭圆的综合应用


【例8-1】设椭圆C：eq \f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2,0)．


(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；


(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA＝∠OMB.





















































【变式训练8-1】如果点M(x，y)在运动过程中总满足关系式 eq \r(x－2\r(2)2＋y2)＋eq \r(x＋2\r(2)2＋y2)＝4eq \r(3).


(1)说明M的轨迹是什么曲线并求出它的轨迹方程；


(2)设直线l：y＝－x＋m(m∈R)与点M的轨迹交于不同两点A，B，且|AB|＝3eq \r(2)，若点P(x0,2)满足(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，求x0.


























名师导练


3.1.1椭圆及其标准方程


A组-[应知应会]


1．对于m，n，“mn>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆”的( )


A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


2．方程 eq \r(x＋12＋y2)＋ eq \r(x－12＋y2)＝2表示( )


A．椭圆 B．圆


C．直线 D．线段


3．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)，则k的值为( )


A．1 B．－eq \f(3,5)


C.eq \f(3,5) D．25


4．已知△ABC的周长为18，|AB|＝8，A(－4,0)，B(4,0)，|CA|<|CB|，则点C的轨迹方程为( )


A.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)


B.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0)


C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0，x<0)


D.eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0，x<0)


5．设A，B两点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，条件甲：点C满足eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＞0；条件乙：点C的坐标是方程eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0)的解．则甲是乙的( )


A．充分不必要条件


B．必要不充分条件


C．充要条件


D．既不是充分条件也不是必要条件


6．已知椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1，F1，F2为其两焦点，P为椭圆上任意一点．则|PF1|·|PF2|的最大值为( )


A．16 B．4


C．8 D．2


7．设P是椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,9)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于________．


8．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,2)＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝________，∠F1PF2＝________.


9．若椭圆eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,24)＝1上一点P与其两焦点F1，F2连线的夹角为直角，则|PF1|·|PF2|＝________.


10．(1)已知椭圆的焦点为F1(－1,0)和F2(1,0)，P是椭圆上的一点，且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，求该椭圆的标准方程；


(2)已知椭圆的标准方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，且焦距为6，求实数m的值．























11．已知P为椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(4y2,75)＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．























12．已知点A，B的坐标分别是A(0，－1)，B(0,1)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是－t，t∈(0,1]．求M的轨迹方程，并说明曲线的类型．











B组-[素养提升]


已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则椭圆C的方程为( )


A.eq \f(x2,2)＋y2＝1 B．eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1


C.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1


3.1.2椭圆的简单几何性质


A组-[应知应会]


1．短轴长等于8，离心率等于eq \f(3,5)的椭圆的标准方程为( )


A.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1


B.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1或eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,100)＝1


C.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1


D.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1或eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,25)＝1


2．(2019·开封模拟)已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为eq \f(1,2)，且它的长轴长等于圆C：x2＋y2－2x－15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )


A.eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1


C.eq \f(x2,4)＋y2＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1


3．以椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的短轴顶点为焦点，离心率e＝eq \f(1,2)的椭圆的标准方程为( )


A.eq \f(y2,36)＋eq \f(x2,27)＝1 B．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1


C.eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,75)＝1 D．eq \f(y2,100)＋eq \f(x2,75)＝1


4．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则椭圆C的离心率为( )


A.eq \f(\r(6),3) B．eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),3) D．eq \f(1,3)


5．我们把离心率为黄金比eq \f(\r(5)－1,2)的椭圆称为“优美椭圆”．设F1，F2是“优美椭圆”C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，则椭圆C上满足∠F1PF2＝90°的点P的个数为( )


A．0 B．1


C．2 D．4


6．已知焦点在x轴上的椭圆标准方程为eq \f(x2,a2)＋y2＝1(a>0)，过焦点F作x轴的垂线交椭圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )


A.eq \f(\r(3),2) B．eq \f(1,2)


C.eq \f(\r(15),4) D．eq \f(\r(3),3)


7．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且eq \(PF1,\s\up6(→))·eq \(PF2,\s\up6(→))＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．


8．已知F1，F2是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆短轴的端点，且∠F1PF2＝90°，则该椭圆的离心率为________．





9．设F1，F2为椭圆C：eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,20)＝1的两个焦点，M为椭圆C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．


10．已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝eq \f(\r(3),2)，且过点P(2,3)，求此椭圆的标准方程．
























































11．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的上顶点坐标为(0，eq \r(3))，离心率为eq \f(1,2).


(1)求椭圆C的标准方程；


(2)设P为椭圆上一点，A为椭圆左顶点，F为椭圆右焦点，求eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PF,\s\up6(→))的取值范围．























12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，\f(\r(3),2)))都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．求椭圆的标准方程．
































B组-[素养提升]


已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．


3.1.3直线与椭圆的位置关系


A组-[应知应会]


1．过椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1(a＞eq \r(3))的焦点，作垂直于x轴的直线，交椭圆于A，B两点，若|AB|＝eq \f(3,2)，则a的值为( )


A．4 B．2


C．3 D．9


2．过坐标原点，作斜率为eq \r(2)的直线，交椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1于A，B两点，则|AB|的长为( )


A．2 B．4


C.eq \f(4\r(3),3) D．eq \f(2\r(3),3)


3．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m＜0)的半径为2，椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,3)＝1的左焦点为F(－c,0)，若经过F点且垂直于x轴的直线l与圆M相切，则a的值为( )


A.eq \f(3,4) B．1


C．2 D．4


4．设直线l过椭圆C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为长轴长的一半，则C的离心率为( )


A.eq \f(1,4) B．eq \f(\r(3),2)


C.eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(2),4)


5．已知F1(－3,0)，F2(3,0)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两个焦点，P在椭圆上，∠F1PF2＝α，且当α＝eq \f(2π,3)时，△F1PF2的面积最大，则椭圆的标准方程为( )


A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1 B．eq \f(x2,14)＋eq \f(y2,5)＝1


C.eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,6)＝1 D．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,7)＝1


6．在焦距为2c的椭圆M：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，F1，F2是椭圆的两个焦点，则“b

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件


C．充要条件 D．既不充分也不必要条件


7．已知椭圆的方程为eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,m2)＝1(m＞0)，如果直线y＝eq \f(\r(2),2)x与椭圆的一个交点M在x轴的射影恰为椭圆的右焦点F，则椭圆的离心率为________．


8．(2019·唐山模拟)设F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，经过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若△F2AB是面积为4eq \r(3)的等边三角形，则椭圆C的方程为________________．


9．(2019·怀化模拟)已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的两焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点P，使得∠F1PF2＝120°，则椭圆的离心率的取值范围是________．


10．(2019·抚顺模拟)M(eq \r(2)，1)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，且点M到椭圆两焦点的距离之和为2eq \r(5).


(1)求椭圆C的方程；


(2)已知动直线y＝k(x＋1)与椭圆C相交于A，B两点，若P－eq \f(7,3)，0，求证：eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))为定值．
































11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上，又椭圆截直线y＝x＋2所得线段长为eq \f(16\r(2),5)，求椭圆的标准方程．









































12．设F1，F2分别是椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左，右焦点，M是椭圆C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与椭圆C的另一个交点为N.


(1)若直线MN的斜率为eq \f(3,4)，求C的离心率；


(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.















































B组-[素养提升]


(2019·日照模拟)已知椭圆E：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的一个顶点为H(2,0)，对于x轴上的点P(t,0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，则实数t的取值范围是________．


标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
图形
范围
－a≤x≤a


－b≤y≤b
－a≤y≤a


－b≤x≤b
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：(0,0)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，c)，F2(0，－c)
焦距
|F1F2|＝2c
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)；


B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)；


B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长2a，短轴长2b
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
位置关系
公共点个数
组成的方程组的解
判定方法(利用判别式Δ)
相交
2个
2个解
Δ＞0
相切
1个
1个解
Δ＝0
相离
0个
无解
Δ＜0