高中4.5 函数的应用（二）课后复习题

这是一份高中4.5 函数的应用（二）课后复习题，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．函数y＝x2﹣bx+1有一个零点，则b的值为（ ）
A．2B．﹣2C．±2D．3
2．函数f（x）＝2x﹣3x的零点所在的一个区间是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（1，2）D．（﹣1，0）
3．在用“二分法”求函数f（x）零点近似值时，第一次所取的区间是[﹣3，5]，则第三次所取的区间可能是（ ）
A．[1，5]B．[﹣2，1]C．[1，3]D．[2，5]
4．设函数f（x）＝ex+x﹣2，g（x）＝lnx+x2﹣3，若实数a，b满足f（a）＝0，g（b）＝0，则（ ）
A．0＜g（a）＜f（b）B．f（b）＜g（a）＜0
C．f（b）＜0＜g（a）D．g（a）＜0＜f（b）
5．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x﹣2）＝f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，．若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣lga（x+2）＝0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2）B．（2，+∞）C．（1，+∞）D．
二、多选题
（多选）6．下列说法中正确的是（ ）
A．f（x）＝x+1，x∈[﹣2，0]的零点为（﹣1，0）
B．f（x）＝x+1，x∈[﹣2，0]的零点为﹣1
C．y＝f（x）的零点，即y＝（x）的图象与x轴的交点
D．y＝f（x）的零点．即y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标
（多选）7．对于方程x3+x2﹣2x﹣1＝0，有下列判断，其中正确的是（ ）
A．在（﹣2，﹣1）内有实数根
B．在（﹣1，0）内有实数根
C．在（1，2）内有实数根
D．在（﹣∞，+∞）内没有实数根
三、填空题
8．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低．则现在价格为4050元的计算机经过15年后价格应降为 ．
9．函数f（x）＝2﹣（x∈[﹣1，1]）的零点个数为 ，
10．对于实数a和b，定义运算“*”：a*b＝，设函数f（x）＝（x+2）*（3﹣x），x∈R，若方程f（x）＝c恰有两个不同的解，则实数c的取值范围是 ．
11．若y＝f（x）是定义在R上周期为2的周期函数，且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则函数g（x）＝f（x）﹣lg3（x+1）的零点个数为 ．
12．某种物质在时刻tmin的浓度Mmg/L与t的函数关系为M（t）＝art+24（a，r为常数）．在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，那么在t＝4min时，该物质的浓度为 mg/L；若该物质的浓度小于24.001mg/L，则整数t的最小值为 ．（参考数据：lg2≈0.3010）
13．若方程lg（kx）＝2lg（x+1）只有一个实数解，则实数k的取值范围为 ．
四、解答题
14．研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：摄氏度）随时间x（单位：分钟）的变化规律是：y＝m•2x+21﹣x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m＝2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；
（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
15．数据显示，某IT公司2018年上半年五个月的收入情况如表所示：
根据上述数据，在建立该公司2018年月收入y（万元）与月份x的函数模型时，给出两个函数模型y＝与y＝供选择．
（1）你认为哪个函数模型较好，并简单说明理由；
（2）试用你认为较好的函数模型，分析大约从第几个月份开始，该公司的月收入会超过100万元？（参考数据lg2＝0.3010，lg3＝0.4771）
人教A版（2019）必修第一册《4.5 函数的应用（二）》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】由题意可得二次方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实根，运用判别式为0，解方程可得所求值．
【解答】解：函数y＝x2﹣bx+1有一个零点，即方程x2﹣bx+1＝0有两个相等的实根，
所以Δ＝b2﹣4＝0，解得b＝±2，
故选：C．
2．【分析】通过函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝2x﹣3x是连续函数，
∵f（0）＝1﹣0＞0，
f（1）＝2﹣3＜0，
∴f（0）f（1）＜0，
由零点判定定理可知函数的零点在（0，1）．
故选：B．
3．【分析】由第一次所取的区间是[﹣3，5]，取该区间的中点，可求出第二次所取的区间，利用同样的方法即可求得第三次所取的区间．
【解答】解：∵第一次所取的区间是[﹣3，5]，
∴第二次所取的区间可能为[﹣3，1]，[1，5]；
第三次所取的区间可能为[﹣3，﹣1]，[﹣1，1]，[1，3]，[3，5]，
故选：C．
4．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）＝0，g（b）＝0判断a，b的取值范围，即可得到正确答案．
【解答】解：∵y＝ex和y＝x﹣2是关于x的单调递增函数，
∴函数f（x）＝ex+x﹣2在R上单调递增，
分别作出y＝ex，y＝2﹣x的图象如右图所示，
∴f（0）＝1+0﹣2＜0，f（1）＝e﹣1＞0，
又∵f（a）＝0，
∴0＜a＜1，
同理，g（x）＝lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，g（）＝+（）2﹣3＝＞0，
又∵g（b）＝0，
∴1，
∴g（a）＝lna+a2﹣3＜g（1）＝ln1+1﹣3＝﹣2＜0，
f（b）＝eb+b﹣2＞f（1）＝e+1﹣2＝e﹣1＞0，
∴g（a）＜0＜f（b）．
故选：D．
5．【分析】利用f（x）的周期性做出f（x）在（﹣2，6]上的函数图象，根据交点个数列出不等式组，求出a的范围．
【解答】解：∵f（x﹣2）＝f（x+2），∴f（x）＝f（x+4），
∴f（x）周期为4，
做出y＝f（x）在（﹣2，6]上的函数图象如图所示：
∵关于x的方程f（x）﹣lga（x+2）＝0（a＞1）恰有3个不同的实数根，
∴y＝f（x）与y＝lga（x+2）（a＞1）的函数图象在（﹣2，6]上有3个交点，
∴，解得：＜a＜2．
故选：D．
二、多选题
6．【分析】可判断f（x）＝x+1，x∈[﹣2，0]的零点为﹣1，y＝f（x）的零点是y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，从而可得．
【解答】解：令f（x）＝x+1＝0得x＝﹣1，
故f（x）＝x+1，x∈[﹣2，0]的零点为﹣1，
故A错B对；
y＝f（x）的零点是y＝f（x）的图象与x轴的交点的横坐标，
故C错D对，
故选：BD．
7．【分析】由已知 结合函数零点判定定理即可求解．
【解答】解：设f（x）＝x3+x2﹣2x﹣1，
因为f（﹣2）＝﹣1＜0，f（﹣1）＝1＞0，f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝﹣1＜0，f（2）＝7＞0，
由函数的零点判定定理可得，函数在（﹣2，﹣1），（﹣1，0），（1，2）都有零点．
故选：ABC．
三、填空题
8．【分析】易知15年后计算机降价3次，故求出4050×（1﹣）3即可得到15年后计算机价格．
【解答】解：根据题意，15年后计算机价格应降为4050×（1﹣）3＝4050×＝1200（元）．
故答案为：1200．
9．【分析】直接令f（x）＝0，求出x的值，进而得出零点个数．
【解答】解：令f（x）＝0，即，
∴4﹣x2＝4，
∴x＝0∈[﹣1，1]，
∴x＝0是函数f（x）＝2﹣（x∈[﹣1，1]）的零点．
故答案为：1个．
10．【分析】根据新定义运算确定分段函数f（x） 的解析式，然后利用数形结合思想将“方程f（x）＝c恰有两个不同的解”转化为“函数f（x） 与函数y＝c的图象有两个交点“，据此根据图象求解出c的范围．
【解答】解：令x+2﹣（3﹣x）≤1，求得x≤1，
则 ，
画出函数f（x）的图象，
如图，方程f（x）＝c恰有两个不同的解，
即是函数f（x）的图象与直线 y＝c 有2个交点，数形结合可得，c＜2，
故答案为：（﹣∞，2）．
11．【分析】由题意可知，函数f（x）的图象，而要求的是函数g（x）＝f（x）﹣lg3（x+1）的零点个数，则问题即是求函数f（x）与y＝lg3（x+1）的图象的交点个数．
【解答】解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，
则当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝2﹣x﹣1，
又由函数的周期为2，故可得函数图象，如图示：
在同一坐标系中，做出函数y＝lg3（x+1）的图象．
由图知，函数y＝f（x）与函数y＝lg3（x+1）的图象有三个交点
故函数g（x）＝f（x）﹣lg3（x+1）的零点个数为3．
故答案为 3．
12．【分析】把已知数据代入函数关系为M（t）＝art+24，得到方程组，解出a，r的值，即可得到函数关系为M（t）＝100×+24，再令t＝4即可求出在t＝4min时，该物质的浓度，若该物质的浓度小于24.001mg/L，则，即（）t＜10﹣5，两边同时取以10为底的对数得：，解出t的范围，即可得到整数t的最小值．
【解答】解：∵在t＝0min和t＝1min测得该物质的浓度分别为124mg/L和64mg/L，
∴，解得：，
∴函数关系为M（t）＝100×+24，
∴在t＝4min时，该物质的浓度为：100× mg/L；
若该物质的浓度小于24.001mg/L，则，即（）t＜10﹣5，
两边同时取以10为底的对数得：，
∴t（lg2﹣lg5）＜﹣5，
∴t[lg2﹣（1﹣lg2）]＜﹣5，
∴t（2lg2﹣1）＜﹣5，
∴，
∴整数t的最小值为13，
故答案为：26.56，13．
13．【分析】由于k出现在真数位置，故我们可以对k分大于0，等于0，小于0三种情况进行讨论，然后利用对数函数的运算性质，将问题转化为整式方程根的个数问题，结合韦达定理及图解法，即可得到结论．
【解答】解：若k＝0，则lg（kx）无意义，此时方程lg（kx）＝2lg（x+1）无实根；
若k＞0，则方程lg（kx）＝2lg（x+1）只有一个实数解，即
kx＝（x+1）2只有一个正根，
则 ，
解得：k＝4
若k＜0，由于方程lg（kx）＝2lg（x+1）只有一个实数解，
分别作出函数y＝lg（kx）和y＝2lg（x+1）的图象，它们始终有一个交点，
∴方程lg（kx）＝2lg（x+1）只有一个实数解，
∴k＜0符合题意．
综上满足条件的实数k的范围k＜0或k＝4．
故答案为：k＜0或k＝4．
四、解答题
14．【分析】（1）将m＝2，x＝5代入y＝m2x+21﹣x（x≥0，并且m＞0）．解指数方程即可求出x的值；
（2）问题等价于m2x+21﹣x≥2（t≥0）恒成立，求出m2x+21﹣x的最小值，只需最小值恒大于等于2建立关系，解之即可求出m的范围．
【解答】解：（1）由题意，当m＝2，则2•2x+21﹣x＝5﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）
解得x＝1或x＝﹣1；由x≥0，∴x＝1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
故经过1时间，温度为5摄氏度；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）由题意得m2x+21﹣x≥2对一切x≥0恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）
则 由2x＞0，得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
令t＝2﹣x则0＜t≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
当时，取得最大值为；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
∴故的取值范围为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
15．【分析】（1）利用给出函数的表格法确定自变量与函数值之间的关系，将这些点描到坐标系中，发现这些点更与哪一个函数吻合是解决本题的关键，
（2）选择出好的模型之后利用方程思想求出相应的自变量，注意指数式与对数式的互相转化．
【解答】解：（1）根据表格提供的数据，画出散点图．
函数y＝与y＝的图象如右图：
观察发现，这些点基本上是落在函数y＝图象上或附近．因此用y＝这一函数模型．
（2）当＝100时，2x＝300，因为28＝256＜300，29＝512＞300，且1≤x≤12，x∈N
所以x＝9
答：大约在9月份该公司的月收入会超过100万元．
月份
2
3
4
5
6
月收入（万元）
1.4
2.56
5.31
11
21.3