人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀第二课时学案

第四章 指数函数与对数函数

4.5.2用二分法求方程的近似解

【课程标准】

1. 理解运用二分法逼近方程近似解的数学思想
2. 了解二分法只能用于求变号零点
3. 借助计算工具用二分法求方程的近似解

【知识要点归纳】

1. 二分法

对于区间[a,b]上图像连续不断且________的函数y=f(x),通过不断的把它零点所在区间________,使所得的区间两个端点________,进而得到零点近似值的方法叫做二分法

2. 用二分法求函数零点近似值的步骤

给定精度

Setp1:确定零点的初始区间（利用零点存在性定理）

Setp2:求区间（a，b）的中点c

Setp3:计算f(c)，并进一步确定零点所在区间

      （1）若f(c)=0，则c就是函数零点

      （2）若f(a) f(c)<0,(此时（a,c）),则令b=c;

      （3）若f(b) f(c)<0,(此时（b,c）),则令a=c;

4.判断是否达到精确到

【经典例题】

例1．用“二分法”求方程在区间，内的实根，取区间中点为，那么下一个有根区间是　　．

例2．用二分法研究函数在区间内的零点时，计算得，，（1），那么下一次应计算　　时的函数值．

例3．已知函数的零点在区间内，则整数　 　．

例4．用二分法求方程的正实根的近似解（精确度时，如果我们选取初始区间是，，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是　　次．

例5．若函数的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：

则方程的一个近似解（精确度为　　

【当堂检测】

一．选择题（共7小题）

1．用二分法求函数在区间，上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为　　

A．6 B．7 C．8 D．9

2．利用二分法求方程的近似解，可以取得一个区间　　

A． B． C． D．

3．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：

则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为　　

A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9

4．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

5．如图，函数的图象与轴交于，，，，，，，四点，则不能用二分法求出的的零点是　　

A． B． C． D．

6．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是　　

A． B． 

C． D．

7．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是　　

A．函数只要有零点，就能用二分法求 

B．零点是整数的函数不能用二分法求 

C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解 

D．以上说法都错误

二．多选题（共1小题）

8．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是　　

A． B． 

C． D．

当堂检测答案

一．选择题（共7小题）

1．用二分法求函数在区间，上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为　　

A．6 B．7 C．8 D．9

【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【解答】解：根据题意，原来区间，的长度等于1，每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，

则经过次操作后，区间的长度为，

若，即；

故选：．

【点评】本题考查二分法的使用，注意二分法区间长度的变化，属于基础题．

2．利用二分法求方程的近似解，可以取得一个区间　　

A． B． C． D．

【分析】设出方程对应的函数，利用零点存在定理判断出函数零点存在区间，即是方程的近似解存在区间．

【解答】解：设函数，

因为（3），（4），

所以（3）（4），由零点存在定理可知函数在区间上至少存在一个零点，

故方程的近似解可取区间．

故选：．

【点评】考查了利用二分法求方程近似解的问题．

3．用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：

则当精确度为0.1时，方程的近似解可取为　　

A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9

【分析】由二分法及函数零点的判定定理可知．

【解答】解：由表格可得，

函数的零点在之间；

结合选项可知，

方程方程的近似解可取为（精确度为可以是1.8；

故选：．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及二分法的应用，属于基础题．

4．函数的零点所在的区间是　　

A． B． C． D．

【分析】函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．

【解答】解：（2），

（1），

零点定理知，

的零点在区间上．

故选：．

【点评】本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是求出区间的两个端点的函数值，进行比较，本题是一个基础题．

5．如图，函数的图象与轴交于，，，，，，，四点，则不能用二分法求出的的零点是　　

A． B． C． D．

【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，根据函数图象可得答案．

【解答】解：由图象可知，在附近，函数均大于0，故不能用二分法求出．

故选：．

【点评】本题考查二分法的定义，体现了数形结合的数学思想，属基础题．

6．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】一般地，对于函数，如果存在实数，当时（c），那么把叫做函数的零点．根据零点满足图象连续不断且符号相异，能用二分法，即可得到结论．

【解答】解：选项，不符合在零点两边函数值符号相异，不适宜用二分法求解；

选项中，零点左侧没有函数值，无法确定初始区间；

选项中的零点满足图象连续不断且符号相异，能用二分法．

故选：．

【点评】本题考查二分法的运用，掌握零点满足图象连续不断且符号相异，能用二分法是关键．

7．对于用二分法求函数的零点的说法，下列正确的是　　

A．函数只要有零点，就能用二分法求 

B．零点是整数的函数不能用二分法求 

C．多个零点的函数，不能用二分法求零点的近似解 

D．以上说法都错误

【分析】利用二分法求函数零点的条件是：函数在零点的左右两侧的函数值符号相反，即穿过轴，分析选项可得答案．

【解答】解：只有函数的零点为变号零点时，才能用二分法求，故错；

只要满足二分法的使用条件就能用二分法求，无论零点是小数还是整数，故错；

多个零点的函数也可以在不同的区间内用二分法求零点的近似解，故错．

故选：．

【点评】本题主要考查函数零点的概念和函数零点与方程根的关系，考查二分法的定义，体现了数形结合的数学思想．

二．多选题（共1小题）

8．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是　　

A． B． 

C． D．

【分析】根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数的零点，结合所给的图象可得结论．

【解答】解：根据函数只有满足在零点两侧的函数值异号时，才可用二分法求函数的零点，

故，，符合

中的函数有零点，但函数在零点附近两侧的符号相同，故不能用二分法求零点，故排除．

故选：．

【点评】本题主要考查函数的零点的定义，用二分法求函数的零点的方法，属于基础题．