高中数学5.7 三角函数的应用同步达标检测题

这是一份高中数学5.7 三角函数的应用同步达标检测题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知函数，若函数在区间上有且只有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，某港口某天从到的水深（单位：m）与时间（单位：h）之间的关系可用函数近似刻画，据此可估计当天的水深为（ ）

A．B．4m
C．D．
3．如图为函数，的图象，则函数的图象与直线在区间上交点的个数为（ ）

A．9个B．8个C．7个D．5个
4．为了研究钟表秒针针尖的运动变化规律，建立如图所示的平面直角坐标系，设秒针针尖位置为点．若初始位置为点，秒针从（规定此时）开始沿顺时针方向转动，点P的纵坐标y与时间t的函数关系式可能为（ ）

A．B．
C．D．
5．如图，单位圆上角的始边为轴正半轴，终边射线交单位圆于点，过点作轴的垂线，垂足为，将点到射线的距离表示为的函数，则在上的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
6．对于集合和常数，定义：为集合相对的“正切方差”.若集合，则（ ）
A．B．1C．D．2
7．如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
8．赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为，且，则大正方形的面积为（ ）

A．4B．5C．16D．25
二、多选题
9．已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．关于函数，下列选项正确的是（ ）
A．的最小正周期是B．在区间单调递减
C．在有4个零点D．的最大值为2
11．如图（1）是一段依据正弦曲线设计安装的过山车轨道.建立平面直角坐标系如图（2），（单位：m）表示在时间（单位：s）时.过山车（看作质点）离地平面的高度.轨道最高点距离地平面50m.最低点距离地平面10m.入口处距离地平面20m.当时，过山车到达最高点，时，过山车到达最低点.设，下列结论正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为12
B．
C．时，过山车距离地平面40m
D．一个周期内过山车距离地平面低于20m的时间是4s
12．某过山车轨道是依据正弦曲线设计安装的，在时刻（单位：）时过山车（看作质点）离地平面的高度（单位：）为，）．已知当时，过山车到达第一个最高点，最高点距面，当时，过山车到达第一个最低点，最低点距地面．则（ ）
A．
B．
C．过山车启动时距地面20米
D．一个周期内过山车距离地平面高于40的时间是4
三、填空题
13．如图，已知直线是之间的一定点，并且点到的距离分别是2，3，是直线上的动点，作，且使与直线交于点．则的面积的最小值是 ．

14．某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，所对的圆心角为.记∠PCA＝（道路宽度均忽略不计）.求新路总长度的最小值 ．

15．已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．若函数的伴随向量为，，，若实数，，使得对任意实数恒成立，则的值为 ．
16．近年来，淮安市依托地方资源优势，用风能等清洁能源替代传统能源，因地制宜实施新能源项目，在带来了较好经济效益的同时，助力了本地农户增收致富．目前利用风能发电的主要手段是风车发电．如图，风车由一座塔和三个叶片组成，每两个叶片之间的夹角均为，现有一座风车，塔高90米，叶片长40米．叶片按照逆时针方向匀速转动，并且每6秒旋转一圈，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点（此时P离地面50米）．设点P转动t（秒）后离地面的距离为S（米），则S关于t的函数关系式为 ，叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为 秒．

四、解答题
17．一半径为3m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，且当水轮上点P从水中浮现时（图中点）开始计算时间.

(1)将点P距离水面的高度z（单位：m）表示为时间t（单位：s）的函数；
(2)点P第一次到达最高点大约要多长时间？（参考数据：，，第二问精确到）
18．如图，某公园摩天轮的半径为，圆心距地面的高度为，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点的起始位置在最低点处．

(1)已知在时刻（单位：）时点P距离地面的高度（其中，，），求函数解析式及时点P距离地面的高度；
(2)当点P距离地面及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？
19．函数的部分图象如图所示．

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象先向右平移个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于的方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围，并求的值．
20．如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动．设顶点的纵坐标与横坐标的函数关系式是，画出点P的运动轨迹，并讨论是否为周期函数．如果是，指出周期；如果不是，请说明理由．
说明：“正方形PABC沿x轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动．沿x轴正方向滚动是先以顶点A为中心顺时针旋转，当顶点B落在x轴上时，再以顶点B为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形PABC可以沿x轴负方向滚动．

参考答案：
1．B
【分析】根据正弦函数的图象和性质，以及零点的定义即可求解.
【详解】因为，，所以，
由在区间上有且只有两个零点可得：
因为，当时，，
所以时，有且只有两个零点，只能是，，
所以， ，
解得：，所以的取值范围为，
故选：B.
2．A
【分析】根据函数图象求出函数解析式，再代入计算可得.
【详解】由题图可得，，则，
当时，取得最小值，即，解得，
∵函数的图象过点，
∴，又，则，所以，∴，
∴．
当时，，即估计当天的水深为．
故选：A.
3．C
【分析】根据图象得到最小周期，从而得到，代入特殊点坐标，得到，得到函数解析式，解方程，求出解的个数.
【详解】由题图得，所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以
令，故或或或或或或，
解得有7个值，
故的图象与直线在此区间上有7个交点．
故选：C
4．D
【分析】首先确定函数的周期，再利用待定系数法可求得函数的解析式
【详解】因为函数的周期为，所以，
由于秒针顺时针旋转，所以可设函数解析式为，
因为初始位置为点，所以当时，，
所以，所以可能取，
所以，
故选：D
5．B
【分析】根据三角函数的定义、三角形的面积结合正弦函数的图象即可判定.
【详解】由三角函数定义及的面积可得：，
由正弦函数的图象可知B项正确.
而对于A、C项，显然可排除；对于D项，显然当时，M与O重合，此时，可排除.
故选：B.
6．C
【分析】​​​​​​​利用“正切方差” 的定义，结合特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】由题意，得
.
故选:C.
7．B
【分析】根据题意求出关于（单位：）的函数，然后结合正弦函数的单调性求解函数在上的增区间.
【详解】因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点，
所以，，
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数，
由，得，
因为，
所以，，，.
所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是，，，.
故选：B
8．D
【分析】根据正切函数二倍角公式求得，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两直角边长，即可得大正方形的边长，可求得面积.
【详解】因为，所以
由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边长为,
所以，解得，所以大正方形的边长为，
故大正方形的面积为.
故选：D.
9．ACD
【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解.
【详解】对于A，当时，，则，
易得在上单调递减，且，
当时，，则，易得在上单调递增，
且，即，
当时，，
则由，的图像，可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，，
，，
从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示，
因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，
所以，故A正确；
对于B，结合选项A中分析可得，所以，
则，故B错误；
对于C，D,由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，又当时，，令，得，
所以，，所以，得，
所以，故C正确；
又由图像可知同增同减，所以，故D正确.
故选：ACD
【点睛】函数零点的求解与判断有以下方法，（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；
（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；
（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
10．BD
【分析】选项A：举反例说明；
选项B： ，，将函数化简成然后判断分析；
选项C：将函数表示成然后分段判断；
选项D：结合三角函数的性质求解判断；
【详解】选项A：令 ，
，选项错误；
选项B：，，所以在区间单调递减，选项正确；
选项C：
当，令得解得：
当，令得解得：或
所以函数在有3个零点，选项错误；
选项D：因为所以
又所以的最大值为2,选项正确；
故选：BD.
11．ACD
【分析】根据题意抽象出函数的最值，列式求，根据周期求，最后根据求，再根据函数的解析式判断CD.
【详解】由题意可知，周期满足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因为，所以，所以.
对于A，，A正确；对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，由，得，即，，，解得，，
所以一个周期内过山车距离底面低于20m的时间是，D正确.
故选：ACD.
12．BCD
【分析】根据题意得出函数的最值，即可求出A和B，根据周期求出，根据及即可求出，再根据函数解析式逐项判断即可得出答案．
【详解】由题意知，周期满足，解得，
所以，
又因为，解得，
所以，
由，得，，，
因为，
所以，
所以，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，
则，即，，
所以一个周期内过山车距离地平面高于40的时间是4，故D正确，
故选：BCD．
13．6
【分析】设，则，将表示为关于的三角函数，即可将三角形面积表示为关于的三角函数，结合性质可得解.
【详解】设，则，
故，
所以，
所以，当，即时，面积的最小值为.
故答案为：6.
14．
【分析】求新路总长度的问题转化为三角函数的最值问题，利用基本不等式求解即可.
【详解】如图：

连接.
∵∠PCA＝，可得∠MCP＝，∠NCQ，
在直角三角形MCP中，则，所以MP＝，，
NQ＝，
设新路长为，其中(，)，则，
∴，
，当时取等号.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意化简得到，结合对任意实数恒成立，得到，分类讨论，取得，且，即可求解.
【详解】由题意可得，
所以，
所以，
又因为上式对任意实数恒成立，所以，
若，由，可得，不满足；
由，可得或，
当时，，由与矛盾；
故，则，
由与，可得，
综上可得，原式．
故答案为：．
16． 4
【分析】（1）由题意，根据物理意义，结合三角函数定义得，待定系数即可；
（2）解不等式即得.
【详解】（1）由题意，塔高即风车中心距地面的高度，风车半径，
风车转动一圈为秒，则角速度，
如图，以风车中心为坐标原点，以与地面平行的直线为轴，建立直角坐标系，
设时，风车开始旋转时某叶片的一个端点P在风车的最低点，设，
以为始边，为终边的角不妨取，
那么经过（秒）后，运动到点，
于是，以为始边，为终边的角为，
由三角函数定义知，
则，
所以.
（2）令，
所以,
所以.
当时，，
所以叶片旋转一圈内点P离地面的高度不低于70米的时长为4秒.
故答案为：；.

17．(1)
(2)5.5s
【分析】设角（）是以为始边，为终边的角，可知以Ox为始边，OP为终边的角为，结合进而时求得的值，则函数的表达式可得；
（2）令最大值为5，即可求得时间；
【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，
设角（）是以为始边，为终边的角，
由在内所转过的角为，
可知以为始边，为终边的角为，
故P点纵坐标为，则，
当时，，可得，
因为且，所以，
故所求函数关系式为；

（2）令，得，
取，解得，
故点P第一次到达最高点大约需要5.5s.
18．(1)，
(2)3
【分析】（1）由已知可得，函数的振幅等于圆形的半径即，周期，即，，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相，这样便可求得的解析式，进而求得时距离地面的高度；
（2）从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，求得两次的时间差再乘以3即得能看着全貌的时间．
【详解】（1）由题意可知：，
所以，又，得到，即，
又摩天轮上的点的起始位置在最低点处，即，所以，
即，又，所以，
故，
当时，，所以时点P距离地面的高度为85.
（2）因为从最低处开始到达高度为刚好能看着全貌，经过最高点再下降至时又能看着全貌，每个游客可游玩三个周期，
由（1）知，得到，即，得到，
所以在每个周期内，， 又，
所以，游客在游玩过程中共有可以看到公园的全貌.
19．(1)
(2)，
【分析】（1）根据三角函数的图象与性质计算即可；
（2）先根据三角函数的图像变换得，结合正弦函数的单调性、对称性可判定的取值范围与的值.
【详解】（1）由图可知，，
∵，
∴，∴，
又，
∴，，∴，
由可得，
∴；
（2）将向右平移个单位得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，，∴；
由对称性可知，
∴，∴，
∴．
20．轨迹见解析，是周期为4的函数.
【分析】分析的运动过程并判断是否存在周期，再画出其轨迹，即可确定是否为周期函数.
【详解】假设落在轴上时开始计时，下一次落在轴上，过程中四个顶点依次落在了轴上，
而相邻两个顶点距离为正方形边长，即为1，因此该函数周期为4.
考查正方形向右滚动时，点运动情况：
首先以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，
然后以为圆心，正方形对角线长为半径运动个圆，
最后以为圆心，正方形边长为半径运动个圆，最终运动轨迹如下曲线：

由图知：是周期为4的函数.