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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优质导学案及答案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）优质导学案及答案，共11页。
4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
知识点一 函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
思考 (1)函数的“零点”是一个点吗？
(2)函数y＝x2有零点吗？
答案 (1)不是；(2)有零点，零点为0.
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点
方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
思考 函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？
答案 f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，
∴这个函数还有一个零点为－2.
知识点三 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
1．函数f(x)＝3x－2的零点为eq \f(2,3).( √ )
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × )
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ )
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
一、求函数的零点
例1 (1)函数y＝1＋eq \f(1,x)的零点是( )
A．(－1,0) B．－1 C．1 D．0
答案 B
解析 由1＋eq \f(1,x)＝0，得x＝－1.
(2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 1和10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
反思感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0 C.eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋lg2x＝0，得x＝eq \f(1,2)，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
(2)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
答案 －1和0
解析 因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0，
即函数g(x)的零点为－1和0.
二、探求零点所在区间
例2 (1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
答案 C
解析 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \r(4,e)－2<0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－1>0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0，又函数f(x)在定义域上单调递增，所以零点在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))上．
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
答案 A
解析 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.
反思感悟 判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断．
跟踪训练2 函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
答案 B
解析 由题意知，f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，
∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点；
又f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有零点，
同理可知f(x)在(3,4)内，(e，＋∞)内均无零点．
三、判断函数零点个数
例3 (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 当x≤0时，
由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解 方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象在x∈(0，＋∞)只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
∴f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，
∴零点只有一个．
反思感悟 判断函数存在零点的3种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
跟踪训练3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(1)＝2＋lg 2－2>0，
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
根据零点情况求参数范围
典例 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0
[素养提升] 函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养．
1．函数y＝ln x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 C
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 D
3．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
答案 B
4．函数f(x)＝x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的零点有______个．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 1
5．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．
解 当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数．
因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，
所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实根．
所以Δ＝1＋4a＝0，a＝－eq \f(1,4).
综上可知，a的值为0或－eq \f(1,4).
1．知识清单：
(1)函数的零点定义．
(2)函数零点存在定理．
2．方法归纳：
(1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点．
(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题．
3．常见误区：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标．
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－eq \f(1,x)
B．y＝eq \r(2x2－x－1)
C．y＝lgax2(a>0且a≠1)
D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,x－1，x<0))
答案 D
解析 令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
B中函数的零点为－eq \f(1,2)和1；
只有D中函数无零点．
2．函数f(x)＝ln x＋eq \f(x－1,x)的零点为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．e D.eq \f(1,e)
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 A
解析 依次检验，使f(x)＝0的x的值即为零点．
3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是( )
A.(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝ex－2x－5，
此函数的图象是连续不断的，
由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，
f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，
f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，
f(3)＝20.09－11＝9.09>0，
f(4)＝54.60－13＝41.60>0，
所以f(2)·f(3)<0，
所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．
4．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
答案 A
解析 因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
5．函数f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由数形结合可知函数y＝ln x的图象与函数y＝x2－4x－5的图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点，故C正确．
6．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 (1，＋∞)
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
7．若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间为________．
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
答案 ③
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当01.
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝lg3(x＋1)．
解 (1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令lg3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝lg3(x＋1)的零点为0.
10．若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 两根分别属于两区间
解 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图象(图略)列出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝2>0，,f0＝2m＋1<0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，))
∴－eq \f(5,6)
11．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 因为函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在区间(1,2)上单调递增，
又函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.
所以0
12．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．若f(x)在(1,2)上没有零点，则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾．故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
13．若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n的值为________．
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在区间
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋4，x≤0，,2x－2，x>0，))若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－3，－1)
解析 令f(x)＝0⇒x＝－2或1.
令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.
作出y＝f(x)的图象，如图所示．
y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<－2－m≤4，,－1<1－m≤4，))解得－3≤m<－1.
15．函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 B
解析 函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数⇔方程|lg0.5x|＝eq \f(1,2x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的根的个数⇔函数y＝|lg0.5x|与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.
16．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
2x＋5
5
7
9
11
13
4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标 1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系.2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间.3.能借助函数单调性及图象判断零点个数．
知识点一 函数的零点
对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
方程、函数、图象之间的关系：
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．
思考 (1)函数的“零点”是一个点吗？
(2)函数y＝x2有零点吗？
答案 (1)不是；(2)有零点，零点为0.
知识点二 函数的零点、方程的解、函数图象与x轴的交点
方程f(x)＝0的实数解⇔函数y＝f(x)的零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．
思考 函数f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，这个函数还有其他零点吗？
答案 f(x)＝ax2＋x－2有一个零点是1，即a·12＋1－2＝0，∴a＝1，
∴f(x)＝x2＋x－2，令x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，
∴这个函数还有一个零点为－2.
知识点三 函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
1．函数f(x)＝3x－2的零点为eq \f(2,3).( √ )
2．若f(a)·f(b)>0，则f(x)在[a，b]内无零点．( × )
3．若f(x)在[a，b]上为单调函数，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．( √ )
4．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)<0.( × )
一、求函数的零点
例1 (1)函数y＝1＋eq \f(1,x)的零点是( )
A．(－1,0) B．－1 C．1 D．0
答案 B
解析 由1＋eq \f(1,x)＝0，得x＝－1.
(2)函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为________．
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 1和10
解析 由(lg x)2－lg x＝0，得lg x(lg x－1)＝0，
∴lg x＝0或lg x＝1，∴x＝1或x＝10.
反思感悟 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，x≤1，,1＋lg2x，x>1，))则函数f(x)的零点为( )
A.eq \f(1,2)，0 B．－2,0 C.eq \f(1,2) D．0
答案 D
解析 当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x>1时，令1＋lg2x＝0，得x＝eq \f(1,2)，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
(2)若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，则函数g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
答案 －1和0
解析 因为f(x)＝ax－b的零点是3，所以f(3)＝0，即3a－b＝0，即b＝3a.
所以g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)，所以方程g(x)＝0的两个根为－1和0，
即函数g(x)的零点为－1和0.
二、探求零点所在区间
例2 (1)在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,4)))
答案 C
解析 因为f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))＝eq \r(4,e)－2<0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－1>0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))·f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))<0，又函数f(x)在定义域上单调递增，所以零点在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))上．
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是( )
A．(－3，－1)，(2,4) B．(－3，－1)，(－1,1)
C．(－1,1)，(1,2) D．(－∞，－3)，(4，＋∞)
答案 A
解析 因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在区间(－3，－1)内必有实数根，又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在区间(2,4)内必有实数根，故选A.
反思感悟 判断单调函数零点所在区间的方法：将区间端点值代入函数解析式求出函数值，进行符号判断即可得出结论，此类问题的难点往往是函数值符号的判断，对此可运用函数的有关性质进行判断．
跟踪训练2 函数f(x)＝ln x－eq \f(2,x)的零点所在的大致区间是( )
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(e，＋∞)
答案 B
解析 由题意知，f(x)在定义域(0，＋∞)上单调递增，
∵f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2－1<0，
∴在(1,2)内f(x)无零点；
又f(3)＝ln 3－eq \f(2,3)>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴f(x)在(2,3)内有零点，
同理可知f(x)在(3,4)内，(e，＋∞)内均无零点．
三、判断函数零点个数
例3 (1)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋ln x，x>0))的零点个数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 当x≤0时，
由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x1＝－3，x2＝1(舍去)；
当x>0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2.
∴函数的零点个数为2.
(2)判断函数f(x)＝ln x＋x2－3的零点的个数．
解 方法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．
在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)．
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象在x∈(0，＋∞)只有一个交点，从而ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点．
方法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0，
f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0，
∴f(1)·f(2)<0，
又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的，
∴f(x)在(1,2)上必有零点，
又f(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，
∴零点只有一个．
反思感悟 判断函数存在零点的3种方法
(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判断零点的个数．
(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．
跟踪训练3 求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2零点的个数．
解 方法一 ∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，
f(1)＝2＋lg 2－2>0，
又f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为单调增函数，
∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．
故函数f(x)有且只有一个零点．
方法二 在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．
由图象知g(x)＝lg(x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，
即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．
根据零点情况求参数范围
典例 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，0
[素养提升] 函数的零点即函数图象与x轴交点的横坐标，也可转化成两函数交点的横坐标，这样就建立了数与形的联系，利用函数图象描述问题，充分体现直观想象的数学核心素养．
1．函数y＝ln x的零点是( )
A．(0,0) B．0 C．1 D．不存在
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 C
2．下列各图象表示的函数中没有零点的是( )
考点 函数零点的概念
题点 判断函数有无零点
答案 D
3．函数f(x)＝2x－eq \f(1,x)的零点所在的区间是( )
A．(1，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,3)))
答案 B
4．函数f(x)＝x3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的零点有______个．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 1
5．若函数y＝ax2－x－1只有一个零点，求实数a的值．
解 当a＝0时，函数为y＝－x－1，显然该函数的图象与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点．
当a≠0时，函数y＝ax2－x－1为二次函数．
因为函数y＝ax2－x－1只有一个零点，
所以方程ax2－x－1＝0有两个相等的实根．
所以Δ＝1＋4a＝0，a＝－eq \f(1,4).
综上可知，a的值为0或－eq \f(1,4).
1．知识清单：
(1)函数的零点定义．
(2)函数零点存在定理．
2．方法归纳：
(1)转化法：函数的零点转化为方程的根还可转化为函数图象与x轴的交点．
(2)数形结合思想：借助图象交点确定零点及方程根的问题．
3．常见误区：零点不是点，而是数，是图象与x轴交点的横坐标．
1．下列函数不存在零点的是( )
A．y＝x－eq \f(1,x)
B．y＝eq \r(2x2－x－1)
C．y＝lgax2(a>0且a≠1)
D．y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≥0，,x－1，x<0))
答案 D
解析 令y＝0，得选项A和C中的函数的零点均为1和－1；
B中函数的零点为－eq \f(1,2)和1；
只有D中函数无零点．
2．函数f(x)＝ln x＋eq \f(x－1,x)的零点为( )
A．1 B.eq \f(1,2) C．e D.eq \f(1,e)
考点 函数零点的概念
题点 求函数的零点
答案 A
解析 依次检验，使f(x)＝0的x的值即为零点．
3．根据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是( )
A.(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 C
解析 设f(x)＝ex－2x－5，
此函数的图象是连续不断的，
由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，
f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，
f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，
f(3)＝20.09－11＝9.09>0，
f(4)＝54.60－13＝41.60>0，
所以f(2)·f(3)<0，
所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．
4．已知f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．不能确定
答案 A
解析 因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
5．函数f(x)＝ln x－x2＋4x＋5的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 由数形结合可知函数y＝ln x的图象与函数y＝x2－4x－5的图象有2个交点，所以函数f(x)有2个零点，故C正确．
6．若函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
考点 函数零点存在性定理
题点 函数零点有关的参数取值范围
答案 (1，＋∞)
解析 f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0,1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1.
7．若x0是方程ex＋x＝2的解，则x0属于区间为________．
①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．
答案 ③
解析 构造函数f(x)＝ex＋x－2，由f(0)＝－1，f(1)＝e－1>0，显然函数f(x)是单调增函数，有且只有一个零点，则函数f(x)的零点在区间(0,1)上，所以ex＋x＝2的解在区间(0,1)上．
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是__________．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 由函数零点个数求参数的取值范围
答案 (1，＋∞)
解析 函数f(x)的零点的个数就是函数y＝ax(a>0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象的交点的个数，如图，当a>1时，两函数图象有两个交点；当0
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－x2＋2x－1；
(2)f(x)＝x4－x2；
(3)f(x)＝4x＋5；
(4)f(x)＝lg3(x＋1)．
解 (1)令－x2＋2x－1＝0，解得x1＝x2＝1，
所以函数f(x)＝－x2＋2x－1的零点为1.
(2)令f(x)＝x2(x－1)(x＋1)＝0，
解得x＝0或x＝1或x＝－1，
故函数f(x)＝x4－x2的零点为0，－1和1.
(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5，
因为4x>0，－5<0，所以方程4x＋5＝0无实数解．
所以函数f(x)＝4x＋5不存在零点．
(4)令lg3(x＋1)＝0，解得x＝0，
所以函数f(x)＝lg3(x＋1)的零点为0.
10．若函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1在区间(－1,0)和(1,2)内各有一个零点，求实数m的取值范围．
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 两根分别属于两区间
解 函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的零点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，
即函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点一个在(－1,0)内，一个在(1,2)内，
根据图象(图略)列出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝2>0，,f0＝2m＋1<0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，))
∴－eq \f(5,6)
11．函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3) B．(1,2)
C．(0,3) D．(0,2)
答案 C
解析 因为函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在区间(1,2)上单调递增，
又函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.
所以0
12．函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(1)>0，f(2)<0，则f(x)在(1,2)上零点的个数为( )
A．至多有一个 B．有一个或两个
C．有且仅有一个 D．一个也没有
答案 C
解析 若a＝0，则f(x)＝bx＋c是一次函数，由f(1)·f(2)<0得零点只有一个；若a≠0，则f(x)＝ax2＋bx＋c为二次函数，若f(x)在(1,2)上有两个零点，则必有f(1)·f(2)>0，与已知矛盾．若f(x)在(1,2)上没有零点，则必有f(1)·f(2)≥0，与已知矛盾．故f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点．
13．若函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n的值为________．
考点 函数零点存在性定理
题点 判断函数零点所在区间
答案 2
解析 ∵函数f(x)＝3x－7＋ln x在定义域上是增函数，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x在区间(n，n＋1)上只有一个零点．
∵f(1)＝3－7＋ln 1＝－4<0，f(2)＝6－7＋ln 2<0，f(3)＝9－7＋ln 3>0，
∴函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(2,3)内，∴n＝2.
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋4，x≤0，,2x－2，x>0，))若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．
答案 [－3，－1)
解析 令f(x)＝0⇒x＝－2或1.
令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.
作出y＝f(x)的图象，如图所示．
y＝f(f(x)＋m)有四个零点，
∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<－2－m≤4，,－1<1－m≤4，))解得－3≤m<－1.
15．函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 函数的零点与方程根的关系
题点 判断函数零点的个数
答案 B
解析 函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数⇔方程|lg0.5x|＝eq \f(1,2x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的根的个数⇔函数y＝|lg0.5x|与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两个交点，故选B.
16．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，
因为y＝f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0.))
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为－1；
所以当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1.
所以据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1,1)．x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
f(x)
6
m
－4
－6
－6
－4
n
6
x
0
1
2
3
4
ex
1
2.72
7.39
20.09
54.60
2x＋5
5
7
9
11
13
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