数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品学案

这是一份数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品学案，共10页。

学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．








知识点一 二分法


对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．


由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．


思考 已知函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，采用什么方法能进一步有效缩小零点所在的区间？


答案 可采用“取中点”的方法逐步缩小零点所在的区间．


知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤


1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.


2．求区间(a，b)的中点c.


3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：


(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；


(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；


(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.


4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．


以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．





1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )


2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )


3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )


4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )














一、二分法概念的理解


例1 以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )





考点 二分法的概念


题点 判断是否能用二分法求解零点


答案 C


解析 使用二分法必先找到零点所在区间[a，b]，且f(a)·f(b)<0，但C中找不到这样的区间．


反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件


(1)函数图象在零点附近连续不断．


(2)在该零点左右函数值异号．


只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．


跟踪训练1 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )





A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3


答案 D


解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.


二、用二分法求方程的近似解


例2 (1)在用二分法求函数f(x)零点近似值时，第一次取的区间是(－2,4)，则第三次所取的区间可能是( )


A．(1,4) B．(－2,1)


C．(－2,2.5) D．(－0.5,1)


答案 D


解析 因为第一次所取的区间是(－2,4)，所以第二次所取的区间可能是(－2,1)，(1,4)，第三次所取的区间可能为(－2，－0.5)，(－0.5,1)，(1,2.5)，(2.5,4)，故选D.


(2)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(精确度0.1)


解 令f(x)＝2x3＋3x－3，


经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，


所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，


即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．


取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，


又f(1)>0，


所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．


如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：





由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，


所以0.75可作为方程的一个正实数近似解．


反思感悟 利用二分法求方程的近似解的步骤


(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.


(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.


(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．


跟踪训练2 (1)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间[1,3]内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．


答案 (1,2)


解析 设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7＝－2<0，f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，f(x)零点所在的区间为(1,2)，所以方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2)．


(2)用二分法求函数f(x)＝x3－3的正零点．(精确度0.02)


考点 用二分法求函数零点的近似值


题点 用二分法求方程的近似解


解 由于f(0)＝－3<0，


f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0，


故可取区间(1,2)作为计算的初始区间．


用二分法逐次计算，列表如下：





因为|1.453 125－1.437 5|＝0.015 625<0.02，


所以函数f(x)＝x3－3的零点的近似值可取为1.437 5.





1．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )


A．y＝x＋7 B．y＝5x－1


C．y＝lg3x D．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－x


答案 D


解析 A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．


2．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )





考点 二分法的概念


题点 判断是否能用二分法求解零点


答案 A


3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )


A．[－2，－1] B．[－1,0]


C．[0,1] D．[1,2]


答案 A


4．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为( )


A．0.6 B．0.75 C．0.7 D．0.8


答案 C


解析 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，


则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]．


又0.68＝eq \f(0.64＋0.72,2)，且f(0.68)<0，


所以零点在区间(0.68,0.72)上，


因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，


因此所求函数的一个正实数零点的近似值可为0.7，


故选C.


5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的唯一零点的近似值时，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2,4)的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是________．


考点 用二分法求函数零点的近似值


题点 用二分法判断函数零点所在的区间


答案 (2,3)





1．知识清单：


(1)二分法的定义．


(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．


2．方法归纳：


(1)化归思想：把求方程f(x)＝0的近似解转化为求函数y＝f(x)的近似零点．


(2)逼近思想：二分法是求函数零点的一种常用方法，是“逐步逼近”的数学思想的应用．


3．常见误区：利用二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．








1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )





A．x1 B．x2 C．x3 D．x4


答案 C


解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件，故选C.


2．用二分法求函数f(x)＝2x－3的零点时，初始区间可选为( )


A．[－1,0] B．[0,1] C．[1,2] D．[2,3]


答案 C


解析 因为f(－1)＝eq \f(1,2)－3<0，f(0)＝1－3<0，f(1)＝2－3<0，f(2)＝4－3＝1>0，所以初始区间可选为[1,2]．


3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )


A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001


C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001


答案 B


解析 据二分法的步骤知当区间长度|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．


4．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间( )


A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)


C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)


答案 C


解析 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，故选C.


5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：





那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )


A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25


考点 用二分法求方程的近似解


题点 用二分法求方程的近似解


答案 C


解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，


∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，


∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，


又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05，


∴方程的近似根可以是1.438.故选C.


6．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解时，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．


考点 用二分法求函数零点的近似值


题点 用二分法判断函数零点所在的区间


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))


解析 令f(x)＝x3－x2－1，则f(1)＝－1<0，f(2)＝3>0，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝eq \f(1,8)>0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2))) f(1)<0，


故可断定该实数根所在的区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2))).


7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．


答案 a2＝4b


解析 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，


∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．


∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.


8．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：





据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度0.01)为________．


答案 1.562 5


解析 由图表知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，


∴函数f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556 2，1.562 5)上，


由于|1.556 2－1.562 5|＝0.006 3<0.01，


可得方程3x－x－4＝0的一个近似解可以是1.562 5.


9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)


解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，


即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，


又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，


∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．


取区间(0,1)的中点x1＝0.5，


f(0.5)＝－0.75<0，


∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．


取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，


f(0.75)＝－0.156 25<0，


∴f(0.75)·f(1)<0.


即x0∈(0.75,1)．


取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，


f(0.875)≈0.34>0.


∴f(0.75)·f(0.875)<0，


即x0∈(0.75,0.875)．


取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，


f(0.812 5)≈0.073>0.


∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，


即x0∈(0.75,0.812 5)，


而|0.812 5－0.75|<0.1.


所以f(x)的零点的近似值可取为0.75.


10．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条长10 km的线路，电线杆的间距为100 m．如何迅速查出故障所在呢？


解 如图所示，





首先从AB线路的中点C开始检查，当用随身带的话机向两端测试时，例如发现AC段正常，判定故障在BC段；再到BC段中点D检查，这次发现BD段正常，可见故障出在CD段；再到CD段中点E来检查……每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半．要把故障可能发生的范围缩小到100 m之内，查7次就可以了．





11．已知函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续不断，并且在区间(a，b)内有唯一零点，当a＝1.2，b＝1.4，精确度ε＝0.1时，应将区间(a，b)等分的次数至少为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


考点 二分法的概念


题点 分析二分法计算的次数


答案 B


12．某方程有一无理根在区间D＝(1,3)内，若用二分法，求此根的近似值，则将D至少等分________次后，所得近似值的精确度为0.1.


答案 5


解析 由eq \f(3－1,2n)<0.1(n∈N*)，得2n>20，n≥5，故至少等分5次．


13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．


答案 1.5,1.75,1.875,1.812 5


解析 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．


14．已知f(x)＝eq \f(1,x)－ln x，在区间(n，n＋1)(n∈Z)上有一个零点x0，则n＝________.若用二分法求x0的近似值(精确度0.1)，则至少需要将区间等分________次．


答案 1 4


解析 f(x)＝eq \f(1,x)－ln x在(0，＋∞)上为减函数，


又f(1)＝1>0，f(2)＝eq \f(1,2)－ln 2<0，


∴f(x)的零点x0∈(1,2)，故n＝1.


设至少需等分n次，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n≤0.1且n∈N，


解得n≥4，故至少需等分4次．





15．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：





则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )


A．1.125 B．1.312 5


C．1.437 5 D．1.468 75


答案 B


解析 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解，故选B.


16．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？


解 将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次能保证一定可以发现这枚假币．(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
(0.687 5,0.75)
|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1
区间
中点的值
中点函数值(或近似值)
(1,2)
1.5
0.375
(1,1.5)
1.25
－1.047
(1.25,1.5)
1.375
－0.400
(1.375,1.5)
1.437 5
－0.030
(1.437 5,1.5)
1.468 75
0.168
(1.437 5,1.468 75)
1.453 125
0.068
(1.437 5,1.453 125)
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9