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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀导学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）优秀导学案，共12页。学案主要包含了指数型函数模型，对数型函数模型，建立拟合函数模型解决实际问题等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识点一 几类已知函数模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
1．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
2．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )
3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )
一、指数型函数模型
例1 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
解 (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．(已知：lg 0.5≈0.301 0，
lg 0.9≈0.045 8)
(1)求t年后，这种射放性元素的质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
解 (1)最初的质量为500 g.
经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，ω＝500×0.92；
所以t年后，ω＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
二、对数型函数模型
例2 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(O,10)，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10个单位．
(2)将耗氧量O＝80代入题中公式，得v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)．
反思感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．
跟踪训练2 “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
答案 36.72
解析 当N＝40时，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40,90)))＝－144lg eq \f(5,9)＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
三、建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝algbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解 (1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝algbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1 296a＋36b＋c＝90，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝－10，,c＝126，))
∴y＝eq \f(1,4)x2－10x＋126＝eq \f(1,4)(x－20)2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．
反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
跟踪训练3 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝algbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(150＝2 500a＋50b＋c，,108＝12 100a＋110b＋c，,150＝62 500a＋250b＋c，))
解得a＝eq \f(1,200)，b＝－eq \f(3,2)，c＝eq \f(425,2).
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝eq \f(1,200)t2－eq \f(3,2)t＋eq \f(425,2).
(2)当t＝－eq \f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝eq \f(1,200)×1502－eq \f(3,2)×150＋eq \f(425,2)＝100(元/10 kg)．
1．一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 A
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 D
3．国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
答案 C
4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤( )
A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只
考点 函数模型应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
解析 当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2019年冬，
即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故选C.
5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(lg 2≈0.301 0，
lg 3≈0.477 1)
解 每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，
则每过滤一次杂质含量将降为原来的eq \f(2,3)，
设过滤n次后杂质含量不超过0.1%，
则有2%×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤0.1%，
即n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，
又n∈N*，故n≥8，
即至少应过滤8次，才能使产品达到市场要求．
1．知识清单：
(1)指数型函数模型．
(2)对数型函数模型．
2．方法归纳：把实际问题转化为数学问题．
3．常见误区：实际应用题易忘定义域和作答．
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝lg2t
答案 D
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝
B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.957 6,100)))x
D．y＝1－
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 A
3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，以经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
答案 B
4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．8 升 B．6 升
C．4 升 D．10 升
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 A
解析 由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600(千米)，耗油量为48升，∴每100千米耗油量为8升．
5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x－2 B．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
C．y＝lg2x D．y＝2x
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 B
解析 由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低eq \f(1,3)，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格为________元．
答案 2 400
解析 依题意得，所求价格为8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3＝8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝2 400(元)．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒．
答案 e6－1
解析 当v＝12 000时，2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，
∴lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq \f(M,m)＝e6－1.
8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案 甲
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
9．某家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买一张全票，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的三分之二优惠．”这两家旅行社的原价是一样的，根据该家庭中孩子数的不同，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设该家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅行社的收费为y，旅行社的原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋eq \f(1,2)(x＋1)a＝eq \f(1,2)(x＋3)a；
乙旅行社收费：y＝eq \f(2,3)(x＋2)a.
因为eq \f(2,3)(x＋2)a－eq \f(1,2)(x＋3)a＝eq \f(1,6)(x－1)a，
所以当x＝1时，两家旅行社收费相等；
当x>1时，甲旅行社更优惠．
10.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式；
(2)设公司获得的利润为S(元)(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．
①试用销售单价x表示利润S；
②当销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
解 (1)由图象可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40＝60k＋b，,30＝70k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝100，))
所以y＝－x＋100(50≤x≤80)．
(2)①由(1)知，S＝xy－50y＝(－x＋100)(x－50)
＝－x2＋150x－5 000(50≤x≤80)．
②由①可知，S＝－(x－75)2＋625，
其图象开口向下，对称轴为x＝75，
所以当x＝75时，Smax＝625，
即该公司可获得的最大利润为625元，
此时相应的销售单价为75元/件，销售量为25件．
11．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
答案 B
解析 y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数，x>0)，令x＝eq \f(550,60)，
故[x]＝10，则y＝0.9.故选B.
12．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
答案 C
13．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为________．
答案 75
解析 由已知，得eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，
则eq \f(8,27)a＝a·，
∴eq \f(8,27)＝＝，
∴eq \f(t1,50)＝eq \f(3,2)，t1＝75.
14．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
答案 4
解析 设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，
依题意可得，14.4(1－0.1)x＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.
令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数，
又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，
所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
15．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；
②y＝1.003x；
③y＝1＋lg7x；
④y＝eq \f(1,4 000)x2.
答案 ③
解析 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(ⅰ)函数为增函数；
(ⅱ)函数的最大值不超过5；
(ⅲ)y≤x·25%＝eq \f(1,4)x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋lg7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋lg71 000＝1＋eq \f(3,lg 7)<5，且1＋lg7x≤eq \f(1,4)x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝eq \f(1,4 000)x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
解 (1)由题中图象，设y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－a，t>1.))
当t＝1时，由y＝4，得k＝4；
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－a＝4，得a＝3.所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3，t>1.))
(2)由y≥0.50，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤t≤1，,4t≥0.50))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3≥0.50，))
解得eq \f(1,8)≤t≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－eq \f(1,8)＝eq \f(31,8)(小时)．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
t
50
110
250
Q
150
108
150
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
运送距离x(km)
0
1 000
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
8.00
…
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日
12
35 000
2018年5月15日
48
35 600
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
学习目标 1.能利用已知函数模型求解实际问题.2.能自建确定性函数模型解决实际问题.
3.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．
知识点一 几类已知函数模型
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；
2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；
3．求模——求解数学模型，得出数学模型；
4．还原——将数学结论还原为实际问题．
1．在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( × )
2．利用函数模型求实际应用问题的最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符．( √ )
3．用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．( × )
一、指数型函数模型
例1 目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(已知：1.01210≈1.126 7，1.01211≈1.140 2，lg 1.2≈0.079，lg 1.012≈0.005)
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．
解 (1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；
当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；
当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100(1＋1.2%)3；….
故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．
(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.
故10年后该县约有112.7万人．
(3)设x年后该县的人口总数为120万，
即100×(1＋1.2%)x＝120，
解得x＝lg1.012eq \f(120,100)≈16.
故大约16年后该县的人口总数将达到120万．
反思感悟 在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．
跟踪训练1 一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．(已知：lg 0.5≈0.301 0，
lg 0.9≈0.045 8)
(1)求t年后，这种射放性元素的质量ω的表达式；
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
解 (1)最初的质量为500 g.
经过1年，ω＝500(1－10%)＝500×0.9；
经过2年，ω＝500×0.92；
所以t年后，ω＝500×0.9t.
(2)由题意得500×0.9t＝250，即
0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数，得
lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，
所以t＝eq \f(lg 0.5,lg 0.9)≈6.6.
即这种放射性元素的半衰期为6.6年．
二、对数型函数模型
例2 我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(O,10)，单位是m/s，其中O表示燕子的耗氧量．
(1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？
(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
解 (1)由题意知，当燕子静止时，它的速度v＝0，代入题中公式，可得0＝5lg2eq \f(O,10)，解得O＝10个单位．
(2)将耗氧量O＝80代入题中公式，得v＝5lg2eq \f(80,10)＝5lg28＝15(m/s)．
反思感悟 有关对数型函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义．
跟踪训练2 “学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________.(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)
答案 36.72
解析 当N＝40时，t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(40,90)))＝－144lg eq \f(5,9)＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
三、建立拟合函数模型解决实际问题
例3 某纪念章从2019年1月6日起开始上市．通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：
(1)根据上表数据结合散点图，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由：①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝algbx；
(2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
解 (1)∵随着时间x的增加，y的值先减后增，而所给的三个函数中y＝ax＋b和y＝algbx显然都是单调函数，不满足题意，
∴用函数y＝ax2＋bx＋c描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系．
(2)把点(4,90)，(10,51)，(36,90)分别代入y＝ax2＋bx＋c中，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(16a＋4b＋c＝90，,100a＋10b＋c＝51，,1 296a＋36b＋c＝90，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝\f(1,4)，,b＝－10，,c＝126，))
∴y＝eq \f(1,4)x2－10x＋126＝eq \f(1,4)(x－20)2＋26.
∴当x＝20时，y有最小值26.
故该纪念章市场价最低时的上市天数为20天，最低的价格为26元．
反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则
(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素，主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．
(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．
(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
跟踪训练3 芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场．某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如表：
(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝algbt，并说明理由；
(2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．
解 (1)由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，若用函数Q＝at＋b，Q＝a·bt，Q＝algbt中的任意一个来反映时都应有a≠0，且上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以应选用二次函数Q＝at2＋bt＋c进行描述．将表格所提供的三组数据分别代入函数Q＝at2＋bt＋c，可得：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(150＝2 500a＋50b＋c，,108＝12 100a＋110b＋c，,150＝62 500a＋250b＋c，))
解得a＝eq \f(1,200)，b＝－eq \f(3,2)，c＝eq \f(425,2).
所以，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数Q＝eq \f(1,200)t2－eq \f(3,2)t＋eq \f(425,2).
(2)当t＝－eq \f(－\f(3,2),2×\f(1,200))＝150(天)时，芦荟种植成本最低为
Q＝eq \f(1,200)×1502－eq \f(3,2)×150＋eq \f(425,2)＝100(元/10 kg)．
1．一辆汽车在某段路途中的行驶路程s关于时间t变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 A
2．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：
则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x－1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
考点 函数拟合问题
题点 函数拟合问题
答案 D
3．国内邮寄1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
如果某人在西安要邮寄800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
答案 C
4．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系y＝alg3(x＋2)，观测发现2013年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2019年冬有越冬白鹤( )
A．4 000只 B．5 000只 C．6 000只 D．7 000只
考点 函数模型应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 C
解析 当x＝1时，由3 000＝alg3(1＋2)，得a＝3 000，所以到2019年冬，
即第7年，y＝3 000×lg3(7＋2)＝6 000.故选C.
5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不超过0.1%，若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？(lg 2≈0.301 0，
lg 3≈0.477 1)
解 每过滤一次可使杂质含量减少eq \f(1,3)，
则每过滤一次杂质含量将降为原来的eq \f(2,3)，
设过滤n次后杂质含量不超过0.1%，
则有2%×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n≤0.1%，
即n≥eq \f(1＋lg 2,lg 3－lg 2)≈7.4，
又n∈N*，故n≥8，
即至少应过滤8次，才能使产品达到市场要求．
1．知识清单：
(1)指数型函数模型．
(2)对数型函数模型．
2．方法归纳：把实际问题转化为数学问题．
3．常见误区：实际应用题易忘定义域和作答．
1．某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t的数据，将其整理得到如图所示的图形．下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是( )
A．y＝2t B．y＝2t2
C．y＝t3 D．y＝lg2t
答案 D
2．若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩留量为y，则x，y的函数关系是( )
A．y＝
B．y＝(0.957 6)100x
C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0.957 6,100)))x
D．y＝1－
考点 函数模型的应用
题点 指数、对数函数模型的应用
答案 A
3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，以经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77 C．2.89 D．4.40
答案 B
4．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( )
A．8 升 B．6 升
C．4 升 D．10 升
考点 建立函数模型解决实际问题
题点 建立函数模型解决实际问题
答案 A
解析 由表知：汽车行驶路程为35 600－35 000＝600(千米)，耗油量为48升，∴每100千米耗油量为8升．
5．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x－2 B．y＝eq \f(1,2)(x2－1)
C．y＝lg2x D．y＝2x
考点 函数模型的应用
题点 一次、二次函数模型的应用
答案 B
解析 由题中表格可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
6．计算机成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低eq \f(1,3)，现在价格为8 100元的计算机9年后的价格为________元．
答案 2 400
解析 依题意得，所求价格为8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))3＝8 100×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3＝2 400(元)．
7．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m))).当燃料质量是火箭质量的______倍时，火箭的最大速度可达12 千米/秒．
答案 e6－1
解析 当v＝12 000时，2 000·lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝12 000，
∴lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))＝6，∴eq \f(M,m)＝e6－1.
8．现测得(x，y)的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型，甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型．
答案 甲
解析 将x＝3分别代入y＝x2＋1及y＝3x－1中，得y＝32＋1＝10，y＝3×3－1＝8.由于10更接近10.2，所以选用甲模型．
9．某家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买一张全票，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的三分之二优惠．”这两家旅行社的原价是一样的，根据该家庭中孩子数的不同，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．
解 设该家庭中孩子数为x(x≥1，x∈N*)，旅行社的收费为y，旅行社的原价为a.
甲旅行社收费：y＝a＋eq \f(1,2)(x＋1)a＝eq \f(1,2)(x＋3)a；
乙旅行社收费：y＝eq \f(2,3)(x＋2)a.
因为eq \f(2,3)(x＋2)a－eq \f(1,2)(x＋3)a＝eq \f(1,6)(x－1)a，
所以当x＝1时，两家旅行社收费相等；
当x>1时，甲旅行社更优惠．
10.某公司试销一种成本单价为50元/件的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不高于80元/件．经试销调查，发现销售量y(件)与销售单价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y＝kx＋b(如图所示)．
(1)根据图象，求一次函数y＝kx＋b的解析式；
(2)设公司获得的利润为S(元)(利润＝销售总价－成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝成本单价×销售量)．
①试用销售单价x表示利润S；
②当销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润？最大利润是多少？此时的销售量是多少？
解 (1)由图象可知，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(40＝60k＋b，,30＝70k＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝100，))
所以y＝－x＋100(50≤x≤80)．
(2)①由(1)知，S＝xy－50y＝(－x＋100)(x－50)
＝－x2＋150x－5 000(50≤x≤80)．
②由①可知，S＝－(x－75)2＋625，
其图象开口向下，对称轴为x＝75，
所以当x＝75时，Smax＝625，
即该公司可获得的最大利润为625元，
此时相应的销售单价为75元/件，销售量为25件．
11．某地固定电话市话收费规定：前三分钟0.20元(不满三分钟按三分钟计算)，以后每加一分钟增收0.10元(不满一分钟按一分钟计算)，那么某人打市话550秒，应支付电话费( )
A．1.00元 B．0.90元
C．1.20元 D．0.80元
答案 B
解析 y＝0.2＋0.1×([x]－3)([x]是不小于x的最小整数，x>0)，令x＝eq \f(550,60)，
故[x]＝10，则y＝0.9.故选B.
12．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y(台)与投放市场的月数x之间的关系的是( )
A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100
C．y＝50×2x D．y＝100lg2x＋100
答案 C
13．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为：V＝a·e－kt.已知新丸经过50天后，体积变为eq \f(4,9)a.若一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，则需经过的天数为________．
答案 75
解析 由已知，得eq \f(4,9)a＝a·e－50k，∴e－k＝.
设经过t1天后，一个新丸体积变为eq \f(8,27)a，
则eq \f(8,27)a＝a·，
∴eq \f(8,27)＝＝，
∴eq \f(t1,50)＝eq \f(3,2)，t1＝75.
14．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．
答案 4
解析 设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，
依题意可得，14.4(1－0.1)x＋2.4x＝14.4，化简得x－6×0.9x＝0.
令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)为单调递增函数，
又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，
所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点．
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元．
15．某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时资金数额不超过利润的25%，其中下列模型中能符合公司要求的是________．(参考数据：1.003600≈6，lg 7≈0.845)
①y＝0.025x；
②y＝1.003x；
③y＝1＋lg7x；
④y＝eq \f(1,4 000)x2.
答案 ③
解析 由题意知，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10,1 000]时，
(ⅰ)函数为增函数；
(ⅱ)函数的最大值不超过5；
(ⅲ)y≤x·25%＝eq \f(1,4)x，
①中，函数y＝0.025x，易知满足(ⅰ)，但当x>200时，y>5不满足公司要求；
②中，函数y＝1.003x，易知满足(ⅰ)，但当x>600时，y>5不满足公司要求；
③中，函数y＝1＋lg7x，易知满足(ⅰ)，且当x＝1 000时，y取最大值1＋lg71 000＝1＋eq \f(3,lg 7)<5，且1＋lg7x≤eq \f(1,4)x恒成立，故满足公司要求；
④中，函数y＝eq \f(1,4 000)x2，易知满足(ⅰ)，但当x＝400时，y>5不满足公司要求．
16.某禁毒机构测定，某种毒品服用后每毫升血液中的含毒量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服用毒品后y与t之间的函数关系式；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含毒量不少于0.50微克时会有重度躁动状态，求服用毒品后重度躁动状态的持续时间．
解 (1)由题中图象，设y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－a，t>1.))
当t＝1时，由y＝4，得k＝4；
由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1－a＝4，得a＝3.所以y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3，t>1.))
(2)由y≥0.50，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤t≤1，,4t≥0.50))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t>1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))t－3≥0.50，))
解得eq \f(1,8)≤t≤4，因此服用毒品后重度躁动状态持续4－eq \f(1,8)＝eq \f(31,8)(小时)．函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
反比例函数模型
f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)
二次函数模型
f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数型函数模型
f(x)＝blgax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数型模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
上市时间x天
4
10
36
市场价y元
90
51
90
t
50
110
250
Q
150
108
150
x
1
2
3
…
y
1
3
8
…
运送距离x(km)
0
1 000
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
8.00
…
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2018年5月1日
12
35 000
2018年5月15日
48
35 600
x
1.992
3
4
5.15
6.126
y
1.517
4.041 8
7.5
12
18.01
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