高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课时练习

4.5函数的应用（二）

一．选择题（共5小题）

1．函数，则满足的所有实数的和为　　

A． B．6 C．8 D．

2．已知函数有且只有一个零点，则的值为　　

A． B． C． D．

3．已知定义域为的函数在，上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在，上的零点个数为　　

A．404 B．804 C．806 D．402

4．已知函数满足，当，，，若在区间，内，函数有两个不同零点，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

5．已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为、

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为 　　．

7．已知函数有三个不同的零点，，且，若，2，，则的值为 　　（注：题中为自然对数的底数，即

8．已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是 　　．

9．设，，若关于的方程在区间，上有5个解，且它们的和为，则　　．

三．解答题（共3小题）

10．已知函数，关于的方程恰有两个不相同的实根，．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

11．已知函数，，，且关于的不等式的解集为，设．

（1）若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围；

（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

12．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．

（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；

（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：

假设1：家具呈长方体的形状：

假设2：转角两侧的过道宽度相同：

假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；

假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：

假设5：过道的转角为直角：

假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．

根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内

                       4.5函数的应用（二）

参考答案与试题解析

一．选择题（共5小题）

1．函数，则满足的所有实数的和为　　

A． B．6 C．8 D．

【分析】先求出奇偶性，函数为偶函数，则可得或，可求出解，得出结果．

【解答】解：，则为偶函数，

则由可得或，

即或，

则或，

所以满足的所有实数的和为，

故选：．

【点评】本题考查奇偶性性质应用，函数的零点问题，属于难题．

2．已知函数有且只有一个零点，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】令，得，设，可求得，且，进一步分析可得当时，取得最小值，从而可得的值．

【解答】解：令，得，

令，则，

当时，，

则当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，当时，取得极小值．

又时，，，，

所以，当时，取得最小值，为，

此时函数有且只有一个零点，

故选：．

【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与函数的零点判定定理的应用，考查化归思想、逻辑推理能力和运算能力，属于难题．

3．已知定义域为的函数在，上有1和3两个零点，且与都是偶函数，则函数在，上的零点个数为　　

A．404 B．804 C．806 D．402

【分析】根据题意可求得函数周期为10，以此可解决此题．

【解答】解：与都是偶函数，

与，

与，

，，

是函数的周期，

又，，，，，

，

函数在，上有1和3两个零点，

函数在，上的零点个数为：．

故选：．

【点评】本题考查函数周期性与奇偶性、函数零点，考查数学运算能力及推理能力，属于难题．

4．已知函数满足，当，，，若在区间，内，函数有两个不同零点，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】根据条件关系求出函数在，上的解析式，利用函数与方程之间的关系，利用参数分离法进行转化，构造函数，求出函数的导数和极值极限求解即可．

【解答】解：由，得，

当时，，此时，

即，

若在区间，内，函数有两个不同零点，

即在区间，内，，即有两个不同零点，

设，

当时，，那么，此时为增函数，

当时，，那么，

由，得，得，

那么，即在时，单调递增，

则（4），要使有两个不同零点，

则，

即实数的取值范围是．

故选：．

【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．属于难题．

5．已知函数（其中是自然对数的底数），若关于的方程恰有三个不等实根，，，且，则的最小值为　　

A． B． C． D．

【分析】题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个根，，可解决此题．

【解答】解：由题意设，根据方程恰有三个不等实根，即必有两个根，，

；则，作出的图象，函数与三个不等实根，，，且，

那么，

可得；根据，则，

构造新函数

当时，，在单调递减；

当时，，在单调递增；

当时，取得最小值为，即的最小值为．

故选：．

【点评】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．

二．填空题（共4小题）

6．已知函数，若关于的方程有4个不同的实数根，则实数的取值范围为 　　．

【分析】，通过解或得函数单调区间，然后得函数最大值，令，

关于的方程有4个不同的实数根在上有2个不等实数根，

以此可解决此题．

【解答】解：根据题意可知函数定义域为：，

，

由得：，

函数单调递增区间为：，单调递减区间为：，，

，

令，则关于的方程有4个不同的实数根在上有2个不等实数根，

，得，解得：，．

故答案为：，．

【点评】本题考查导数应用、函数性质、一元二次方程根与系数关系，考查数学运算能力及直观想象能力，属于难题．

7．已知函数有三个不同的零点，，且，若，2，，则的值为 　　（注：题中为自然对数的底数，即

【分析】运用分离变量法构造新函数，通过分析新函数的性质，结合函数的图象，确定函数的零点，即可得到答案．

【解答】解：因为有三个不同的零点，，且，

又，

因为，可得，即，

即，其中，

令，

则，

当或时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

当时，，

当且时，，

当且时，，

又（1），

故函数的图象大致如图所示，

令，则或，

可得，

令，

则，

当时，，则单调递增，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递减，

当时，，则单调递增，

则的图象大致如图所示，

因为有三个零点，结合和的函数图象，

当时，至多有2个零点；

当时，的解，必有一个为，否则必存在四个零点，

所以，，

又因为，

所以，，

所以．

故答案为：．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．

8．已知函数的定义域为，为单调函数且对任意的都有，若方程有两解，则实数的取值范围是 　　．

【分析】由题意可得，方程可变形得，构造函数，利用导数得到该函数的单调性及最值，作出图像，数形结合即可．

【解答】解：令，则，所以，

因为，所以，解得，则，

故方程化简可得，则，

令，则时，，

故当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，函数有最大值（e），当时，，当时，，

作出函数的图像如图所示：

由图可知，实数的取值范围为，

故答案为：．

【点评】本题考查函数的图象与性质的综合运用问题，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，是较难的题目．

9．设，，若关于的方程在区间，上有5个解，且它们的和为，则　 或．　．

【分析】先把方程的解转化为函数的零点，记为，，，，，不妨设，再结合三角函数的图形及其性质可得，，，再建立，的方程，解出，，最后利用解出．

【解答】解：令，则，

因为关于 的方程 在区间，上有 5 个解，

则函数 在，上有 5 个零点，记为，，，，，不妨设，

因为，即，的区间长度等于 2 个周期，

所以必有，，，如下图所示，

结合三角函数的图象可知，

于是，又因为函数 的对称轴为，

所以，即，

又因为，，所以 或．

故答案为： 或．

【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查函数的零点与方程的根之间的关系，考查数形结合的数学思想，属于难题．

三．解答题（共3小题）

10．已知函数，关于的方程恰有两个不相同的实根，．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）是否存在使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）将问题转化为方程有两个不同的实数根，分，两种情况，去掉绝对值，然后转化为一元二次方程根的问题进行分析求解，即可得到答案；

（Ⅱ）先判断不符合题意，当时符合题意，再求解以及时，使得成立的关系，即可得到答案．

【解答】解：（Ⅰ）恰有两个不相同的实根，恰有两个不相同的实根，其中，

①当，即时，，

则有两个不相同的实根，

故△，解得；

②当，即时，

当时，原方程等价，

故△恒成立，

故在有一根；

当时，原方程等价于，

故△恒成立，

故在上有一根，

故满足题意；

综上所述，实数的取值范围为；

（Ⅱ）当时，，，此时，不合题意；

当时，，，，符合题意；

当时，由（1）可知，，

，

故

，

又，

当时，由（1）可知，，

故，

又，

故，

则成立，

故

因为，所以，

解得，结合，

则；

综上所述，当时，成立．

【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于较难题．

11．已知函数，，，且关于的不等式的解集为，设．

（1）若存在，，使不等式成立，求实数的取值范围；

（2）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．

【分析】（1）说明，是方程的两个根，求出，，得到函数的解析式，存在，，使不等式成立，等价于在，上有解，利用基本不等式转化求解即可．

（2）化简方程，令，则，则有两个不同的实数解，，

其中，，或，，构造函数，利用函数的零点判定定理，列出关系式，求解即可．

【解答】解：（1）不等式的解集为，

，是方程的两个根，

，解得，

．．

存在，，使不等式成立，

等价于在，上有解，

而，

当且仅当，即时等号成立，

的取值范围为；

（2）原方程可化为，

令，则，，则有两个不同的实数解，，

其中，，或，，

记，

则①，解得，

或②，不等式组②无实数解，

实数的取值范围为．

【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断，考查转化思想以及计算能力，是难题．

12．随着生活水平的逐步提高，越来越多的人开始改善居住条件，搬家成了生活中经常谈及的话题，在搬运大型家具的过程中，经常需要考虑家具能否通过狭长的转角过道，如果我们能够根据过道的宽度和家具的尺寸，用数学的方法预先判断家具能否转弯，必将为搬运家具提供实用的依据，从而避免因家具尺寸过大而不能转弯的麻烦，有经验的搬运工的做法是：将家具推进过道的转角，让家具的一侧抵住过道的拐角，然后转动并推进家具，若家具过长或过宽，家具都会卡在过道内，家具将不能转过转角．

（1）请你提出一个数学问题，并将你的问题填入答题纸对应题号的方框内；

（2）为了解决问题，我们需要作出一些合理的假设：

假设1：家具呈长方体的形状：

假设2：转角两侧的过道宽度相同：

假设3：墙壁是光滑的平面，且地面是水平面；

假设4：家具转动时其侧面始终保持与水平面垂直：

假设5：过道的转角为直角：

假设6：忽略家具转动时家具与墙壁、地面的摩擦影响；等等．

根据上述假设和你提出的数学问题，画出搬运家具时一个转角过道的示意图，设定相关参数或变量，构建相应的数学模型，并将示意图和建立的数学模型填写在答题纸对应题号的方框内

【分析】（1）作出图形，提出问题即可；

（2）利用三角函数的知识结合题中的等量关系，求出矩形的长与角度的函数关系式，然后由导数求解函数的最值即可．

【解答】解：（1）提出的问题为：如下图，在不同的角度下，求的最小值，

这就是能通过的家具长的最大值，请你求矩形的长与角度的函数关系式，

并对，时，求这个函数的最小值．

（2）画出搬运家具时一个转角过道的示意图，如图所示：

右图可知，，

所以，

故矩形的长与角度的函数关系式为，

当，时，，

所以

，

因为，则，，

所以，，

故，

由，即，解得，

由，即，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

故当时，取得最小值为，

所以当，时，函数的最小值为．

【点评】本题考查了函数模型的旋转应用，开放性问题对学生的能力要求较高，涉及了三角函数的化简，三角恒等变换的应用，利用导数研究函数的单调性与最值问题，综合性强，考查了逻辑推理能力、化简运算能力

声明：试