高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后复习题

2021-2022学年高一数学同步课时优练测（人教A版必修第一册）

一、单选题

1.函数 的零点所在区间是（    ）           

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

【答案】 C  

【解析】∵连续减函数 ，

∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）= ﹣log24＜0，

∴函数 的零点所在的区间是 （3，4）。

故答案为：C．

2.函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（   ）           

A.                                    B.                                    C.                                    D. 

【答案】 B  

【解析】解： 函数 在其定义域上单调递增，

∴f（2） ， （1） ，

∴f（2） （1） ．

根据函数零点的判定定理可得函数 的零点所在的区间是 ，

故答案为：B．

3.设函数 ，对于非负实数t，函数 有四个零点 ， ， ， ．若 ，则 的取值范围中的整数个数为（    ）           

A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3

【答案】 B  

【解析】如图所示：

依据题意可知：非负实数t，所以 ，

当 时，则 ，即

所以

当 时，则 ，即 ，所以

所以

所以只有 一个整数在这个范围，

故答案为：B

4.若函数 （ 且 ）有两个不同零点，则a的取值范围是（    ）           

A.                                B.                                C.                                D. 

【答案】 B  

【解析】当 时， 在定义域上单调递减，最多只有一个零点，不满足题意；

当 时，根据函数 有两个不同零点，可得方程 有两个不等实根，

即函数 与直线 有两不同零点，指数函数 恒过点 ；直线 过点 ，作出函数 与 的大致图象如下：

因为 ，所以点 在 的上方，因此 时， 与 必有两不同交点，即原函数有两不同零点，满足题意；

综上 。

故答案为：B.
5.函数 ( …)是自然对数的底数)一定存在零点的区间是（    ）           

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

【答案】 B  

【解析】∵ ，是连续增函数，

∴ ， ，

可得 ，

由函数零点判定定理可知，函数在 上一定存在零点.

故答案为：B.

6.二次函数 在 上有两个零点，则函数 在 上的零点的个数为（    ）           

A. 0                                      B. 1                                      C. 2                                      D. 以上均不对

【答案】 C  

【解析】因为 可由 向左平移一个单位后得到，

又二次函数 在 上有两个零点，

所以向左平移一个单位后，其零点位于区间 内，

即函数 在 上的零点的个数为 个.

故答案为：C.

二、填空题

7.已知 有四个零点，则m的取值范围________.   

【答案】 (0,1)  

【解析】因为 有四个零点，

所以 有四个零点，

在同一坐标系中作函数 的图象如图所示：

由图象知： ，

故答案为：(0,1)
8.已知函数 ，若函数 有4个零 ，且 ，则 ________.   

【答案】 8  

【解析】令 ，画出 图像

函数 ，

函数 4个零点即 和 有4个不同交点，

其横坐标分别为 ， ， ， 且 ，易得

由 ，即

即 ，即 ，所以

可得

故答案为：8

9.已知函数 ， （其中 ， 为常数，且 ）有且仅有5个零点，则a的值为________， 的取值范围是________．   

【答案】 1；[4,6)  

【解析】因为函数 ， 为偶函数，有且仅有5个零点,

所以必有一个零点为 ，所以 ，即 ,

令 ，可得 ，即 ，即 ,

因为有且仅有5个零点，所以 ，解得 ,

故答案为：1；[4,6)。

三、解答题

10.已知函数 ， ．   

（1）若函数 是奇函数，求实数 的值；   

（2）在(1)的条件下，判断函数 与函数 的图象公共点个数，并说明理由；   

（3）当 时，函数 的图象始终在函数 的图象上方，求实数 的取值范围．   

【答案】 （1）解：因为 为奇函数，所以对于定义域内任意 ，都有 ，  

即 ，

，

显然 ，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有 .

上面等式左右两边同时乘以 得

，化简得

，.

上式对定义域内任意 恒成立，所以必有 ，

解得 .

（2）解：由（1）知 ，所以 ，即 ，  

由 得 或 ，

 所以函数 定义域 .

由题意，要求方程 解的个数，即求方程

在定义域 上的解的个数.

令 ，显然 在区间 和 均单调递增，

又 ，

且 ， .

 所以函数 在区间 和 上各有一个零点，

即方程 在定义域 上有2个解，

所以函数 与函数 的图象有2个公共点.

（附注：函数 与 在定义域 上的大致图象如图所示）

（3）解：要使 时，函数 的图象始终在函数 的图象的上方，  

必须使 在 上恒成立，

令 ，则 ，上式整理得 在 恒成立.

方法一：令 ， .

① 当 ，即 时， 在 上单调递增，

所以 ，恒成立；

② 当 ，即 时， 在 上单调递减，

只需 ，解得 与 矛盾.

③  当 ，即 时，

在 上单调递减，在 上单调递增，

所以由 ，解得 ，

又 ，所以

综合①②③得 的取值范围是 .           

方法二：因为 在 恒成立. 即 ，

又 ，所以得 在 恒成立

令 ，则 ，且 ，

所以 ，

由基本不等式可知 （当且仅当 时，等号成立.）

即 ，

所以 ，

所以 的取值范围是

【解析】 (1)运用奇函数的定义，以及对数的运算性质，结合恒成立思想解方程可得a的值；
(2)求得 的定义域，要求方程  解的个数，即求方程   在定义域D上的解的个数。构造函数，运用函数零点存在定理，即可得到所求零点个数；
(3)要使  时，函数  的图象始终在函数 的图象的上方，必须使   在  上恒成立 ， 令  ，则  ，上式整理得  在  恒成立。由参数分离和基本不等式可得最值，进而得到所求范围．

11.已知函数     

（1）用定义证明 在(0，1)内单调递减；   

（2）证明 存在两个不同的零点 ， ，且 .   

【答案】 （1）解：设 ，且 ，  

则

因为 ，且 ，所以 ， ， ，所以 ，所以 ，所以 在 内单调递减

（2）解：由（1）可知 在 内单调递减，当 时， ， ， ，可得 ，所以    

所以 在 内单调递增，

又 ， ， ， ，根据零点存在性定理可得函数在 及 上各存在一个零点，即 存在两个不同的零点 ， ，令 ， 则 ， ，所以

【解析】（1）利用函数单调性的定义进行证明即可；
（2）判断  在  内单调递增，利用函数与方程的关系，结合零点存在定理判断两个零点的范围进行判断即可。

12.已知二次函数 的图象以原点为顶点且过点 ，函数 的图象过点 ．   

（1）求 的解析式；   

（2）证明：当 时，函数 有三个零点．   

【答案】 （1）解：设 ，由 可得    

，

故

（2）证明：令    

故

即 ，故

即 ，

故 ①

当 时， ，

故 有两实根，且不为 和

有一根，为

故 有三实数根

故 有三个零点.

【解析】（1）利用二次函数 的图象以原点为顶点且过点 ，结合代入法，从而求出二次函数的解析式，再利用函数 的图象过点 结合代入法，进而求出k的值，从而求出函数g(x)的解析式，再利用 ，则求出函数h(x)的解析式。
（2）利用(1)求出的函数h(x)的解析式，结合 ，从而结合函数零点的定义， 令   ， 故   ，  故 ① ，当 时， ，   ， 故 有两实根，且不为 和 有一根，为   ， 故 有三实数根，再利用方程的根与函数的零点的等价关系，故 有三个零点，从而证出当 时，函数 有三个零点。