必修 第一册3.4 函数的应用（一）同步测试题

这是一份必修 第一册3.4 函数的应用（一）同步测试题，共12页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．某产品的总成本y（单位：万元）与产量x（单位：台）之间的函数关系式为y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240，x∈N）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（ ）
A．100台B．120台C．150台D．180台
2．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝，其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘面试的人数为60，则该公司拟录用人数为（ ）
A．15B．40C．25D．130
3．随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量y（g/m3）与大气压强x（kPa）成正比例函数关系．当x＝36时，y＝144，则y与x的函数关系为（ ）
A．y＝xB．y＝x（x≥0）
C．y＝4xD．y＝4x（x≥0）
4．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是（ ）
A．2000元B．2500元C．3000元D．3500元
5．某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．当销售单价为6元时，日均销售量为480桶．根据数据分析，销售单价在进价基础上每增加1元，日均销售量就减少40桶．为了使日均销售利润最大，销售单价应定为（ ）
A．6.5元B．8.5元C．10.5元D．11.5元
6．李华经营了两家电动轿车销售连锁店．其月利润（单位：元）分别为L1＝﹣5x2+900x﹣16000，L2＝300x﹣2000（其中x为销售辆数）．若某月两连锁店共销售了110辆．则能获得的最大利润为（ ）
A．11000元B．22000元C．33000元D．40000元
7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q（单位：件）与零售价P（单位：元）有如下关系：Q＝8300﹣170P﹣P2，则最大毛利润为（毛利润＝销售收入﹣进货支出）（ ）
A．30元B．60元C．28000元D．23000元
8．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是（ ）
A．cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2
二、多选题
（多选）9．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程一样多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
（多选）10．某工厂八年来某种产品总产量y（即前x年年产量之和）与时间x（年）的函数关系如图，下列说法中正确的是（ ）
A．前三年中，总产量的增长速度越来越慢
B．前三年中，年产量的增长速度越来越慢
C．第三年后，这种产品停止生产
D．第三年后，年产量保持不变
（多选）11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗8升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油
三、填空题
12．某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案：销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励方案模型为y＝alg4x+b．某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为 万元．
13．某电脑公司2016年的各项经营总收入中电脑配件的收入为40万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2018年经营总收入要达到169万元，且计划从2016年到2018年每年经营总收入的年增长率相同，则2017年预计经营总收入为 万元．
14．某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间（包含0.55元/度和0.75元/度），经测算，若电价调至x元/度，则本年度新增用电量y（亿度）与（x﹣0.4）（元/度）成反比，且当x＝0.65时，y＝0.8．则y与x之间的函数关系式为 ．
四、解答题
15．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有﹣棵树与两墙的距离分别是a米（0＜a＜12），4米，不考虑树的粗细，现在想用16米长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD，并要求将这棵树围在花圃内或在花圃的边界上．设BC＝x米，此矩形花圃的面积为y平方米．
（1）写出y关于x的函数关系，并指出这个函数的定义域；
（2）当BC为何值时，花圃面积最大？
16．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
（1）求炮的最大射程；
（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，若炮弹可以击中它，求k的取值范围．
17．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
18．某工厂拟建一座平面图（如图所示）为矩形，且面积为200m2的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16m，如果池外周壁每米的建造价格为400元，中间两条隔墙每米的建造价格为248元，池底每平方米的建造价格为80元（池壁厚度忽略不计，且池无盖），那么当污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价．
人教A版（2019）必修第一册《3.4 函数的应用（一）》2023年同步练习卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【分析】由题意得到25x⩾3000+20x﹣0.1x2，又x∈（0，240），x∈N，即可求解．
【解答】解：由题意可知：要使企业不亏本则有总收入要大于等于总支出，
又因为总收入为：25x，
总支出为：3000+20x﹣0.1x2，
所以25x⩾3000+20x﹣0.1x2，
解得：x⩾150或x⩽﹣200，
又x∈（0，240），x∈N，
所以150⩽x＜240，x∈N，
故能使生产者不亏本的最低产量是150台．
故选：C．
2．【分析】这是已知函数值求自变量的问题，又是分段函数，所以分类讨论求解即可．
【解答】解：令y＝60，若4x＝60，则x＝15＞10，不合题意；
若2x+10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40＜100，不合题意．
故拟录用人数为25．
故选：C．
3．【分析】设y＝kx，把x＝36，y＝144代入可求得k值，然后可求得答案．
【解答】解：设y＝kx，把x＝36，y＝144代入得k＝4，
∴y与x的函数关系为：y＝4x（x≥0）．
故选：D．
4．【分析】设彩电的进价是x元，由题意列出方程：x（1+40%）×0.8＝360+x，由此能求出结果．
【解答】解：设彩电的进价是x元，
由题意得：x（1+40%）×0.8＝360+x，
解得x＝3000．
故选：C．
5．【分析】若设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则y＝x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，其中0＜x＜13，整理函数y，可得x取何值时，y有最大值，即获得最大利润
【解答】解：设定价在进价的基础上增加x元，日销售利润为y元，则
y＝x[480﹣40（x﹣1）]﹣200，
由于x＞0，且520﹣40x＞0，所以，0＜x＜13；
即y＝﹣40x2+520x﹣200，0＜x＜13．
所以，当x＝﹣＝6.5时，y取最大值．
此时售价为6.5+5＝11.5
故选：D．
6．【分析】先根据题意，可设一其中一家连锁店销售x辆，则另一家销售（110﹣x）辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．
【解答】解析：依题意，可设一其中一家连锁店销售x辆，则另一家销售（110﹣x）辆，
∴总利润S＝﹣5x2+900x﹣16000+300（110﹣x）﹣2000
＝﹣5x2+600x+15000（x≥0）．
∴当x＝60时，S取最大值．
且为Smax＝33000．
故选：C．
7．【分析】毛利润等于销售额减去成本，可建立函数关系式，利用导数可求函数的极值点，利用极值就是最值，可得结论．
【解答】解：由题意知：毛利润等于销售额减去成本，即
L（P）＝PQ﹣20Q＝Q（P﹣20）＝（8300﹣170P﹣P2）（P﹣20）
＝﹣P3﹣150P2+11700P﹣166000，
所以L′（P）＝﹣3P2﹣300P+11700．
令L′（P）＝0，解得P＝30或P＝﹣130（舍去）．
此时，L（30）＝23000．
因为在P＝30附近的左侧L′（P）＞0，右侧L′（P）＜0．
所以L（30）是极大值，根据实际问题的意义知，L（30）是最大值，
故选：D．
8．【分析】设两段长分别为xcm，（12﹣x）cm，则这两个正三角形面积之和 S＝（）2+（）2，
利用二次函数的性质求出其最小值．
【解答】解：设两段长分别为xcm，（12﹣x）cm，
则这两个正三角形面积之和 S＝（）2+（）2
＝（x2﹣12x+72）＝[（x﹣6）2+36]≥2，
故选：D．
二、多选题
9．【分析】根据路程和时间关系图，判断甲乙两人的速度，时间关系进行判断即可．
【解答】解：当t＝0时，甲乙都在原点，说明甲乙两人是同时出发，故A错误，
甲乙两人最后的最大值相同，则甲乙两人路程一样多，故B正确，
甲到达的时间短，乙到达的时间长，则甲的速度对，乙的速度慢，即甲先到终点，故C错误，D正确，
故选：BD．
10．【分析】根据图象可分析产量的变化情况，前三年增长变慢，后五年停止生产．
【解答】解：在区间[0，3]上，函数图象在任一点处的切线斜率越来越小，表明总产量的增长速度越来越慢，即选项A正确；
由总产量增长越来越慢知，年产量逐年减少，即选项B错误；
在区间[3，8]上，图象呈水平直线，表明总产量保持不变，即年产量为0，因此选项C和D均正确．
故选：ACD．
11．【分析】结合燃油效率情况图依次分析各个选项即可．
【解答】解：对于A，消耗1升汽油，乙车最多可行驶距离大于5千米，故A错误；
对于B，因为当速度相同时，甲的燃油效率最高，所以以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B正确；
对于C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，此时的燃油效率是10km/L，一共开了80km，所以消耗8升汽油，故C正确；
对于D，当速度小于80千米/小时时，丙车的燃油效率比乙车高，所以相同条件下，在该市用丙车比用乙车省油，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
12．【分析】把点（8，1），（64，4）代入y＝alg4x+b，得到关于a，b的方程组，求得a与b的值，可得函数解析式，取y＝8，求解对数方程得x值即可．
【解答】解：函数模型为y＝alg4x+b，把点（8，1），（64，4）代入，
可得，解得a＝2，b＝﹣2．
∴y＝2lg4x﹣2，
由2lg4x﹣2＝8，得2lg4x＝10，即lg2x＝10，得x＝210＝1024．
∴某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为1024万元．
故答案为：1024．
13．【分析】增长率问题的一般形式为a（1+x）2＝b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．本题中a就是2016年的经营收入，b就是2018年的经营收入，从而可求出增长率的值，进而可求2017年预计经营总收入．
【解答】解：2016年的经营总收入为400÷40%＝1000（万元）．
设年增长率为x（x＞0），依题意得，1000（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3，
∵x＞0
∴x2＝﹣2.3不合题意，
∴只取x1＝0.3．
1000（1+x）＝1000×1.3＝130（万元）．
即2017年预计经营总收入为130万元．
故答案为：130．
14．【分析】设，把x＝0.65，y＝0.8代入可得关于k的方程，解出k即可得答案．
【解答】解：因为y与x﹣0.4成反比例，设，
把x＝0.65，y＝0.8代入得，
解得k＝0.2．
所以y与x之间的函数关系式为．
故答案为：．
四、解答题
15．【分析】（1）要使树被圈进去，则ABCD中BC≥a，CD≥4，由此可确定函数的变量的范围．设长BC＝x米，宽CD＝（16﹣x）米，所以面积y＝f（x）＝x（16﹣x）＝﹣x2+16x；
（2）由（1）得，y＝f（x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，x∈[a，12]，由于对称轴x＝8，根据0＜a＜12，故要进行分类讨论：即8≤a＜12；4≤a＜8；0＜a＜4，从而可求y＝f（x）的最大值．
【解答】解：（1）要使树被圈进去，则ABCD中BC≥a，CD≥4，
因为篱笆长为16米，所以当长BC＝x米时，宽CD＝（16﹣x）米．
由于BC≥a，CD≥4，故a≤x≤12，
所以面积y＝f（x）＝x（16﹣x）＝﹣x2+16x，其定义域为x∈[a，12]；
（2）由（1）得，y＝f（x）＝﹣x2+16x＝﹣（x﹣8）2+64，x∈[a，12]
对称轴x＝8，又因为0＜a＜12，
所以，当8≤a＜12时，x＝a时，ymax＝﹣a2+16a；
当4≤a＜8时，x＝8时，ymax＝64；
当0＜a＜4时，x＝8时，ymax＝64．
16．【分析】（1）令＝0，则x＝或0（舍0），再利用基本不等式的性质求出x的最大值即可；
（2）原问题等价于存在x＞0，使得y＝kx﹣（1+k2）x2＝3.2成立，即关于x的方程（k2+1）x2﹣20kx+64＝0有正根，然后利用韦达定理列出关于k的不等式，解之即可．
【解答】解：（1）令＝0，则x＝0或，
∵k＞0，x＞0，
∴x＝＝≤＝10，当且仅当＝k，即k＝1时，等号成立．
故当k＝1时，炮的射程最大，为10千米．
（2）炮弹可以击中目标等价于存在x＞0，使得y＝kx﹣（1+k2）x2＝3.2成立，
即关于x的方程（k2+1）x2﹣20kx+64＝0有正根，
由韦达定理知，满足两根之和大于0，两根之积大于0，
∴只需Δ＝（20k）2﹣4（k2+1）×64≥0，解得k≥或k≤﹣．
∵k＞0，∴k≥．
故若炮弹可以击中它，k的取值范围为．
17．【分析】（1）由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；
（2）由（1）的结论，我们设投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．
【解答】解：（1）f（x）＝k1x，，
，，（x≥0），
（x≥0）
（2）设：投资债券类产品x万元，则股票类投资为20﹣x万元．
（0≤x≤20）
令，则＝＝
所以当t＝2，即x＝16万元时，收益最大，ymax＝3万元．
则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为3万元．
18．【分析】设污水处理池的长为x米，可得宽为米，列出总造价Q（x）＝400（2x+2×）+248×2×+80×200，再根据对勾函数的单调性，即可求出最值．
【解答】解：设污水处理池的长为x米，则宽为米（0＜x≤16，0＜≤16），
∴12.5≤x≤16．
于是总造价Q（x）＝400（2x+2×）+248×2×+80×200．
＝800（x+）+16 000，
由对勾函数的性质可知y＝x+在（0，18）上单调递减，在（18，+∞）上单调递增，
∴Q（x）在[12.5，16]上是单调递减函数，
∴Q（x）≥Q（16）＝45000．
所以当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，最低造价为45 000元．