高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）精品第三课时学案设计

第四章 指数函数与对数函数

4.5.3函数模型的应用

【课程标准】

1. 理解函数是描述客观世界变量关系和规律的重要数学语言和工具
2. 在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律
3. 学会根据题意选择合适的数学模型解题

【知识要点归纳】

1. 建立函数模型

过程详见函数的应用（一）

2. 常见的函数模型

3. 应用函数模型求解实际问题

1. 已知函数模型解决实际问题时，给出的函数解析式往往含有参数，需要将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值
2. 利用函数模型解决实际问题时，要抓住问题的关键：选择和建立适当的函数模型；因而必须熟悉常见函数模型的特点

【经典例题】

例1．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足．

（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

例2．某工厂可以生产甲、乙两类产品，设甲、乙两种产品的年利润分别为、百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金百万元的关系分别为（其中，，都为常数），函数、的图象分别是、，如图所示，曲线、均过点．

（1）求函数、的解析式；

（2）若该工厂用于投资生产甲、乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

例3．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．

（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？

（2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？

例4．某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用．模型假设如下：

假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性．潜伏期时间记为，以潜伏期时间为一个传染周期；

假设2、记为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；

假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即不变．

（1）第一模型：无干预模型．在上述模型假设中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，，请问9天后感染总人数是多少？

（2）第二模型：无限医疗模型．增加两个模型假设：

假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；

假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；

在第二模型中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？

（参考数据：，，，，，，，．

例题解析

例1．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“”计划在甲、乙两座城市共投资80万元，根据行业规定，每个城市至少要投资20万元，由前期市场调研可知：甲城市收益与投入（单位：万元）满足，乙城市收益与投入（单位：万元）满足．

（1）当甲项目的投入为25万元时，求甲乙两个项目的总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

【分析】（1）当甲项目的投入为25万元时，则乙项目的投入为55万元，分别代入甲、乙的收益函数即可求出结果．

（2）由题意可知，当时，利用基本不等式求出的最大值，当时利用单调性求出的最大值，再比较两者取较大的即为总收益的最大值．

【解答】解：（1）当甲项目的投入为25万元时，则乙项目的投入为55万元，

甲乙两个项目的总收益为：（万元）．

（2）设甲项目的投入万元，则乙项目的投入万元，

由，解得，

甲城市收益，乙城市收益，

甲、乙两个项目的总收益为，

当时，，当且仅当即时，等号成立，

所以当时，取得最大值70万元，

当时，单调递减，

所以当时，取得最大值65万元，

因为，

故当时，取得最大值70万元．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．

例2．某工厂可以生产甲、乙两类产品，设甲、乙两种产品的年利润分别为、百万元，根据调查研究发现，年利润与前期投人资金百万元的关系分别为（其中，，都为常数），函数、的图象分别是、，如图所示，曲线、均过点．

（1）求函数、的解析式；

（2）若该工厂用于投资生产甲、乙产品共有5百万元资金，问：如何分配资金能使一年的总利润最大，最大总利润是多少万元？

【分析】（1）分别把，代入，可得关于与的方程组，求得与的值，可得的解析式；把代入，求得的值，得到的解析式；

（2）结合（1）写出总利润，换元后利用配方法求最值．

【解答】解：（1）由函数的图象过点，，得，；

由函数的图象过点，，得，．

；

（2）设投资甲产品为百万元，则投资乙产品为百万元，，

则总利润，

设，

则，

当，即时，最大为．

即投资甲产品225万元，投资乙产品275万元，获得最大利润为105万元．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用配方法求最值，考查运算求解能力，是中档题．

例3．有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．

（1）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？

（2）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？

【分析】（1）将，代入函数，计算得到答案．

（2）根据题意得到方程组，两式相减化简即可求出答案．

【解答】解：（1）将，代入函数，得：，

即，

所以，

所以．

故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．

（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟耗氧量为，由题意可得：

，

两式相减可得：，

所以，即，

故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题．

例4．某同学尝试用数学模型来说明隔离和医疗两大因素在对抗传染病时的作用．模型假设如下：

假设1、传染病在人群中的表现有潜伏期和爆发期两种形式，潜伏期无症状，爆发期可以被人识别，无论在潜伏期还是爆发期的病人都具有相同的传染性．潜伏期时间记为，以潜伏期时间为一个传染周期；

假设2、记为一个病人在一个传染周期内平均感染人数；

假设3、某一固定区域（如某个城市）的人群，保持原有的生活习惯，即不变．

（1）第一模型：无干预模型．在上述模型假设中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，那么1天后将有1万人处于爆发期，1.2万人处于潜伏期，感染总人数为2.2万人，，请问9天后感染总人数是多少？

（2）第二模型：无限医疗模型．增加两个模型假设：

假设4、政府和社会加大医疗投入，将所有爆发期的病人“应收尽收”；

假设5、潜伏期病人在传染健康人群后转为爆发期病人，然后被收入医院，收入医院的病人即失去传染性；

在第二模型中，取天，，假设初始的潜伏期人数为1万人，请问多少天后感染总人数将超过1000万？

（参考数据：，，，，，，，．

【分析】（1）记为天后感染总人数，则，，从而得到9天后感染总人数的值．

（2）记为第天收入医院的人数，则，，，是首项为1，公比为1.2的等比数列，再利用等比数列的前项和公式即可求解．

【解答】解：（1）记为天后感染总人数，则，，

所以，

故9天后感染总人数是1207万人．

（2）记为第天收入医院的人数，则，，，

由题意知，是首项为1，公比为1.2的等比数列，

所以，

若天后总感染人数超过1000万，即，

所以

所以，

又因为，

所以，所以

故29天后感染总人数将超过1000万．

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了等比数列的实际应用，是中档题．