必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）练习题

4.5函数的应用（二）同步练习人教A版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 人们对声音有不同的感觉，这与声音的强度有关系声音的强度常用单位：瓦米，即表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用单位：分贝表示，它们满足换算公式：，其中是人们平均能听到的声音的最小强度若使某小区内公共场所声音的强度水平降低10分贝，则声音的强度应变为原来的   

A.  B.  C.  D.

2. 已知函数有两个零点，则

A.  B.  C.  D.

3. 生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减称为衰减率，P与死亡年数t之间的函数关系式为其中a为常数，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的，则可推断该文物属于 
    

参考数据：．

参考时间轴：

A. 战国 B. 汉 C. 唐 D. 宋

4. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 

A.  B.  C.  D.

5. 已知定义在R上的函数对任意的x都满足，当时，若函数有5个不同零点，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

6. 已知，则方程的解的个数为   

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

7. 已知函数的零点为a，设，，则a，b，c的大小关系为 

A.  B.  C.  D.

8. 已知定义在上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是

A.  B.
C.  D.

9. 函数的零点所在区间为

A.  B.  C.  D.

10. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是

A. 在上为增函数
B. 的最大值为2
C. 方程有四个不相等的实数根
D. 当时，

11. 用二分法求方程的近似解时，可以取的一个区间是

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 设函数，若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围是          ．
14. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是          ．
15. 已知，函数若关于x的方程恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是          ．

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 设函数，则的值为          ；若函数恰有3个零点，则实数a的取值范围是          ．
17. 设函数  则          ；若方程有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是          ．
18. 设函数 其中．

若，则          ；

若函数有两个零点，则的取值范围是          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知函数，
    当，时，求方程的解；
    若方程在上有实数根，求实数a的取值范围；
    当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲其覆盖面积为，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积单位：与月份单位：月的关系有两个函数模型与可供选择．

试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；

求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．参考数据：，．






 

21. 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，则称“局部中心函数”．
    已知二次函数，试判断是否为“局部中心函数”，并说明理由；
    若是定义域为R上的“局部中心函数”，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内按30天计，每件的销售价格单位：元与时间单位：天，的函数关系满足为常数，且，日销售量单位：件与时间x的部分数据如表所示：

设该工艺品的日销售收入为单位：元，且第20天的日销售收入为603元．
求k的值；
给出以下四种函数模型：
；；；
请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
利用问题中的函数，求的最小值．






 

23. 已知关于x不等式的解集为M．
    ，求实数m的取值范围；
    当M不为空集，且时，求实数m的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数函数模型的应用．
设出对应的变量，根据对数运算即可求出结论．

【解答】

解：设该小区内公共场所声音的强度水平降低前为，降低后为，相应声音的强度分别为，，
由题意，得，即，解得．
故选C．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点的个数，属于基础题．
根据函数的零点的定义求解即可．

【解答】

解：令则，
又函数有两个零点，
所以，
故选D．

3.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数模型的应用，意在考查学生的应用能力，属于中档题．
根据题意得到函数关系式，代入数据计算得到答案．

【解答】

解：由已知得，所以，
所以生物体内碳14的含量P与死亡年数t之间的函数关系式为，
由题，

，
所以，对应朝代为汉，
故选B．

4.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点与方程根的关系及指数函数和对数函数的性质，同时考查图象的应用，
将问题转化为函数图象交点的问题，然后画图象求解即可．

【解答】

解： 由，可得，
即a为函数与函数的图象交点的横坐标，

由，可得，
即b为函数与函数的图象交点的横坐标，
由，可得，
即c为函数与函数的图象交点的横坐标，

在同一坐标系下画出这几个函数的图象如下图，

由图知．

故选A．

5.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数零点个数问题，考查了数形结合思想．
得到的图象与的图象有5个交点，数形结合，进行求解即可．

【解答】

解：由题意，有5个不同零点，即函数和的图象有5个交点，
因为，所以是周期为2的周期函数，
当时，，过原点，
则当时，，
是偶函数，图象关于y轴对称，过原点，
作出和的图象，如图：

它们有5个交点时，，
根据对称性，可知，时两个函数图象要有两个交点，
则，解得，
故选：B．

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查函数方程的根的个数，考查指，对数函数的图像，属于中档题．
将方程的实根个数问题转化为函数图象的交点个数问题，根据指数函数、对数函数的图象作图判断交点个数即可判断的解的个数．

【解答】

解：方程的解的个数，
也就是函数与的图象的交点的个数．
画出函数图象如图所示，

观察可得函数与的图象的交点的个数为2，
从而方程的解的个数为2．
故选B．

7.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
由已知得，，可得：，进而比较出大小关系．

【解答】

解：由已知得，，可得：，
，，
．
故选：B．

8.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的周期性，函数的零点个数转化为图象交点的个数，属于中档题．
根据的周期及上的解析式，画出在实数上的图象，转化为与图象交点的个数，即可讨论a的取值范围．

【解答】

解：由得，
因此，即函数是周期为2的周期函数．
函数至少有6个零点可转化成与两函数图象交点至少有6个，需对底数a进行分类讨论．
若，则，．

若，则，即．

所以a的取值范围是．
故选A．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点存在定理，属于基础题．
由函数零点存在定理判断求解即可．

【解答】

解：函数是连续函数且单调递增，
，
，
，
由函数零点存在定理，可知函数的零点所在区间为
故选：C．

10.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的个数问题，涉及函数的奇偶性、最值的分析，属于中档题．
根据题意，设，则，由偶函数的性质求出的解析式，综合可得在R上的解析式，作出函数的图象，据此依次分析选项，综合可得答案．

【解答】

解：根据题意，设，则，则，
又由是偶函数，则，
则，其图像如图所示，

依次分析选项：
对于A，在区间上为减函数，A错误，
对于B，当时，取得最大值，即，B错误，
对于C，如图：的图象与的图象有2个交点，

则方程只有2个不相等的实数根，C错误，
对于D，当时，，D正确，
故选：D．

11.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查二分法求方程的近似解，属于基础题．
设，根据，在区间上有零点，即在区间上有解．
【解答】
解：设，显然是增函数，至多有一个零点，
当连续函数满足时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又，
故，
故方程在区间上有解，
故选A．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

求出三个函数零点时x的表达式，分别画出四个函数在同一坐标系的图象，即可得到a，b，c的大小关系
本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法，是拔高题．

【解答】

解：，则，
，则，
，则，
函数，，的零点分别为a，b，c，
作出函数，，，的图象如图，


由图可知：，
故选：B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查方程根的存在性与根的个数的判断，考查转化思想与数形结合的解题思想，是难题．
作出函数的图象，令，结合图象可知，要使关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两个不同的实数根，再由一元二次方程根的分布列不等式组求解．

【解答】

解：作出函数的图象如图，

令，则当，方程有3个不同的实数解，
则方程化为，
使关于x的方程恰好有六个不同的实数解，
则方程在内有两个不同的实数根，
令
所以
解得，
所以实数a的取值范围为
故答案为

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于较难题．
利用函数与方程的关系转化为有两个不同的根，作出分段函数的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】

解：作出函数的图象：

当时，，
当时，，
当时，，
由得，
函数有两个不同的零点等价于有两个不同的根，
则，
即，
则，
即实数a的取值范围是，
故答案为：．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点与方程根的关系，属于拔高题．
利用函数零点与方程根的关系，结合方程根的判别式分情况讨论，可得a的取值范围．

【解答】

解：当时，等价于，
令，由得或，
因为，所以对称轴，，
当时，有1个零点，
当时，无零点，
当时，有两个零点；
当时，等价于，
令，由得或，
因为，所以对称轴，，
当时，有1个零点，
当时，无零点，
当时，有两个零点；
已知关于x的方程恰有2个互异的实数解，综合以上结论可知仅当有两个零点，无零点时满足要求，故．
故答案为．

16.【答案】1

【解析】

【分析】

本题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查函数零点的个数，考查数形结合的数学思想方法．

根据分段函数的解析式，求得的值；求得的部分解析式，由此画出和两个函数图象，根据两个函数图象有3个交点，确定a的取值范围．

【解答】

解：；

当时，，所以，

当时，，所以．

当时，，所以．

当时，，所以．

画出和两个函数图象如下图所示，

由，，
由，．
由图可知，当两个函数图象有3个交点，也即函数恰有3个零点时，a的取值范围是

故答案为：1；．

17.【答案】

【解析】

【分析】

本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．
利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围．

【解答】

解：函数，
则．
时，时，，对称轴为：，开口向下，

函数的最大值为：，时，，
方程有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：
故答案为：；

18.【答案】  

【解析】

【分析】

代值计算即可，
分别画出与的图象，结合图象可得的取值范围．
本题主要考查函数零点个数的判断，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题是解决本题的关键，注意要利用数形结合．

【解答】

解：当时，
，
，
，
分别画出与的图象，如图所示：
          
函数有两个零点，结合图象可得，
故a的取值范围是，
故答案为：；．

19.【答案】解：当，时，求方程化为，
解得：或；
函数的对称轴是，开口向上，
在区间上是减函数，
函数在区间上存在零点，则必有：
，即，解得．
故所求实数a的取值范围为；
若对任意的，总存在，使成立，
只需函数的值域为函数的值域的子集．
，的值域为，
下面求的值域．
当时，为常数，不符合题意舍去；
当时，的值域为，要使，
需，解得；
当时，的值域为，要使，
需，解得．
综上，m的取值范围为．
 

【解析】直接把，代入方程，求解一元二次方程得答案；
求出函数的对称轴，得到在区间上是减函数，由函数在区间上存在零点得不等式组，求解不等式组得实数a的取值范围；
把对任意的，总存在，使成立转化为函数的值域为函数的值域的子集，然后求的值域得答案．
本题考查了函数的零点，考查了函数恒成立问题，训练了数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法．
 

20.【答案】解：函数与在上都是增函数，
随着x的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求．
根据题意可知时，；时，，
，解得．
故该函数模型的解析式为，，；
当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
，
，，
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月底．
 

【解析】由题意结合给出的两个函数模型增加的快慢程度，可知选择模型符合要求，进一步列关于a与k的方程组，求得a与k的值，则函数解析式可求；
取，求得元旦放入凤眼莲的覆盖面积，再由题意列指数不等式求解．
本题考查函数模型的选择及应用，考查指数不等式的解法，考查运算求解能力．
 

21.【答案】解： 
 
当时，，
是“局部中心函数” 
是R上“局部中心函数”，
，
即有解．
令，则，则在时有解，
当时，，则，；
当时，令，
则，解得
，
综上可得．
 

【解析】本题考查新定义问题，考查函数的对称性，代换法及二次函数的性质．
根据新定义直接代入判断即可；
问题转化为在时有解即可求解．
 

22.【答案】解：因为第20天的日销售收入为603元，
所以，
解得：；
由表中数据知，当时间x变化时，先增后减，
函数模型；；，都是单调函数，
所以选择函数模型，由，得，
所以，
由，解得，，
所以日销售量与时间x的变化关系为；
由知，
所以，
即，
当，时，
由基本不等式得，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以；
当，时，
为减函数，
所以，
综上所述：当时，的最小值为441．
 

【解析】本题主要考查了函数模型的应用，以及分段函数的最值，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解能力，属于中档题．
由可求得k；
由数据知先增后减，选择，由对称性求得m的值，再利用其它函数值求出a、b，从而可得该函数的解析式；
根据求得的解析式，然后一段利用基本不等式求得最小值，一段利用函数的单调性求得最小值，比较可得结论．
 

23.【答案】解：由题意可知，令，则
解得：．
不为空集，且，
当时，则，解得：，
当时，或，
当时，符合题目要求，
时，不符合题目要求，舍去．
综上：．
 

【解析】本题主要考查集合的包含关系，分类讨论的数学思想，二次方程根的分布等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．
由题意得到关于m的不等式组，求解不等式组确定实数m的取值范围即可；
由题意分类讨论即可求得实数m的取值范围．