初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形学案

这是一份初中数学苏科版八年级上册1.2 全等三角形学案，文件包含苏科版八年级数学上册同步精品讲义第02讲全等三角形教师版docx、苏科版八年级数学上册同步精品讲义第02讲全等三角形学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共32页， 欢迎下载使用。

目标导航
知识精讲
知识点01 全等三角形
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
【即学即练1】下列说法中正确的是（ ）
A．全等三角形是指形状相同的两个三角形B．全等三角形是指大小相同的两个三角形
C．全等三角形是指周长相等的两个三角形D．全等三角形的形状、大小完全相同
【答案】D
【分析】根据全等三角形的概念，即能够完全重合的两个三角形，进行判断即可．
【详解】能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，故全等三角形的形状和大小完全相同．
A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误；
B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误；
C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误；
D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确．
故选：D．
知识点02 对应顶点、对应边、对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
【微点拨】
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，（符号“≌”表示全等，读作“全等于”）其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
【即学即练2】如图，，和，和是对应边．写出其他对应边及对应角．
【答案】其他对应边：和．对应角：和，和，和．
【分析】根据全等三角形的概念，写出相对应的边和角即可．
【详解】解：∵△ABC≌△CDA，
∴其他对应边：AC和CA．对应角：∠BAC和∠DCA，∠B和∠D，∠ACB和∠CAD．
知识点03 全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等.
【微点拨】
全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【即学即练3】如图所示，≌，下面四个结论中，不一定成立的是（ ）．
A．和的面积相等B．和的周长相等
C．D．
【答案】C
【分析】根据三角形全等的性质，可知：全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长相等，面积相等．
【详解】根据三角形全等的性质可知：面积相等，所以A不符合题意．
根据三角形全等的性质可知：周长相等，所以B不符合题意．
根据三角形全等的性质可知：对应边相等，AD=CD，AB=CB，应为，所以C符合题意．
根据三角形全等的性质可知：对应边相等AD=CD，所以D不符合题意．
故选C
能力拓展
考法01 全等三角形的概念
1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形，叫做全等三角形。
2.全等三角形的性质：（1）全等三角形对应边相等 （2）全等三角形对应角相等

如上图：△ABC和△A1B1C1是全等三角形，记作△ABC≌△A1B1C1，符号“≌”表示全等，读作“全等于”. 其中，AB=A1 B1、AC=A1C1、BC=B1C1；∠A=∠A1 、∠B=∠B1、∠C=∠C1.
补充：（1）全等三角形面积相等、周长相等；
（2）全等三角形对应线段（高、角平分线、中线）相等；
（3）翻折、平移、旋转前后的三角形全等
【典例1】我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，虽然位置发生了改变，但图形的形状与大小都不发生变化，反映了图形之间的全等关系．这种运用动态变换研究图形之间的关系的方法，是一种重要而且有效的方法．同学们学完了这些知识后，王老师在黑板上给大家出示了这样的一道题目：
（1）如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．试说明AD＝BE；聪明的小亮很快就找到了解决该问题的方法：请你帮小亮把说理过程补充完整．
解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝ （等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转 度，能够与 重合
∴△ACD≌ （旋转变换的性质）
∴AD＝BE（ ）；
（2）当同学们把这道题领会感悟后，王老师又在上题基础上追加了一问：试求∠AEB的度数．聪明的同学们你会解决吗？请写出你的求解过程．（此题不用写推理依据即可）．
【答案】（1）∠BCE，60，△BCE，△BCE，全等三角形的对应边相等；（2）60°
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得∠ACD＝∠BCE，然后根据旋转的性质可得△ACD≌△BCE，即可求证；
（2）根据等边三角形的性质可得∠CDE＝∠CED＝60°，从而∠ADC＝120°，再由全等三角形的性质，可得到∠BEC＝∠ADC＝120°，即可求解．
【详解】解：（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，（等边三角形的性质）
∴∠ACD＝∠BCE，（等式的性质）
∴△ACD绕点C按逆时针方向旋转60度，能够与△BCE重合，
∴△ACD≌△BCE，（旋转变换的性质）
∴AD＝BE（全等三角形的对应边相等）；
（2）∵△DCE为等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∵点A，D，E在同一直线上，
∴∠ADC＝120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC＝∠ADC＝120°，
∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．
考法02 全等三角形的性质
【典例2】如图，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．
（1）求证：BC＝DE+CE．
（2）若∠ACB＝90°，求证：BC∥DE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）根据全等三角形的性质得，，由即可得证；
（2）根据全等三角形的性质得，由内错角相等两直线平行即可得证．
【详解】（1），
，，
，
；
（2），
，，
，
．
分层提分
题组A 基础过关练
1．如图，已知△ABC≌△DCB，∠A=75°，∠DBC=40°，则∠DCB的度数为（ ）
A．75°B．65°
C．40°D．30°
【答案】B
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角相等进而求出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DCB，
∴∠D=∠A=75°，∠ACB=∠DBC=40°，
∴∠DCB=180°-75°-40°=65°，
故选：B．
2．如图：△ABC≌△ADE，∠C=115°，则∠E的度数为( )
A．30°B．35°C．105°D．115°
【答案】D
【分析】由全等三角形的性质，得到∠E=∠C，即可得到答案
【详解】解：根据题意，
∵△ABC≌△ADE，
∴∠E=∠C=115°，
故选：D．
3．如图，A，F，C，D在一条直线上，△ABC≌△DEF， AF＝1，FD＝3，则FC的长是（ ）
A．1B．1.5C．2D．2.5
【答案】C
【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝FD＝3，再求出FC即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DEF，FD＝3，
∴AC＝FD＝3，
∵AF＝1，
∴FC＝AC﹣AF＝3﹣1＝2，
故选：C．
4．如图，，点B，C，E在同一条直线上，且，则的长为（ ）
A．10B．11C．12D．13
【答案】B
【分析】根据三角形全等的性质可知，．再由点B，C，E在同一条直线上，即可由求出答案．
【详解】∵，
∴，．
∵点B，C，E在同一条直线上，
∴．
故选B．
5．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．115°B．65°C．40°D．25°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：由三角形内角和定理得，∠2=180°-115°-25°=40°，
∵两个三角形全等，
∴∠1=∠2=40°，
故选：C．
6．已知，若，，则的度数为______．
【答案】80°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的对应角相等解答即可．
【详解】解：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝∠B＝80°，
∵△ABC≌△EFG，
∴∠G＝∠C＝80°，
故答案为：80°
7．已知，若，，，则的周长是______．
【答案】18
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴的周长为 ．
故答案为：18
8．如图，，∠ACB＝29°，则∠F＝______．
【答案】29°
【分析】根据全等三角形的性质，即可求得．
【详解】解：，∠ACB＝29°，，
故答案为：29°．
题组B 能力提升练
1．如图，，若，则的度数是（ ）
A．80°B．70°C．65°D．60°
【答案】B
【分析】由根据全等三角形的性质可得，再利用三角形内角和进行求解即可．
【详解】，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．如图，已知，，，则的长为（ ）
A．7B．3.5C．3D．2
【答案】C
【分析】利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵△ABC≌△DAE，
∴AC=DE=5，AE=BC=2，∴CE=AC-AE=3，
故选C．
3．如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点B落在点F处；若，∠A=70°，AB=AC，则∠CEF的度数为（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出，则即可求．
【详解】解：沿线段DE折叠，使点B落在点F处，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
4．若，且，，则的度数为（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
【答案】C
【分析】根据三角形内角和的性质，计算得；再根据全等三角形的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵，
∴
∵
∴
故选：C．
5．如图，△ABC≌△DEF，AD=2，CD=1，则DF的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】AC＝AD＋CD＝3，再根据△ABC≌△DEF，可得DF＝AC， 即可求解．
【详解】解：∵ AC＝AD＋CD，AD＝2，CD＝1，
∴ AC＝2＋1＝3，
∵ △ABC≌△DEF，
∴ DF＝AD＝3，
故选：C．
6．已知图中的两个三角形全等，则∠1 _______ 度
【答案】58
【分析】根据左图求出b边所对的角，即可作答．
【详解】左图三角形b边所对应的角的度数为：180°-50°-72°=58°，
根据左右两个三角形全等，可知对应边所对的角相等，
即∠1=58°，
故答案为：58°．
7．如图，已知△ABC≌△DBE，∠A＝36°，∠B＝40°，则∠AED的度数为 _____．
【答案】76°
【分析】根据全等三角形的性质得到∠A＝∠D＝36°，根据三角形的外角的性质即可得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠A＝∠D＝36°，
∵∠AED是△BDE的外角，
∴∠AED＝∠B+∠D＝40°+36°＝76°．
故答案为：76°．
8．如图，ΔABC≌ΔDEC，点B，C，D在同一条直线上，且CE=2，CD=4，则BD的长__________．
【答案】
【分析】根据全等的性质可得，根据点B，C，D在同一条直线上，可得，代入数值求解即可．
【详解】解：∵ΔABC≌ΔDEC，CE=2，
∴
点B，C，D在同一条直线上，CD=4，
故答案为：
题组C 培优拔尖练
1．如图，若则下列结论中不成立的是（ ）
A．
B．
C．DA平分
D．
【答案】D
【分析】根据全等三角形的性质得出∠B＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，∠E＝∠C，再逐个判断即可．
【详解】解：A．∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC＝∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，故本选项不符合题意；
B．如图，∵△ABC≌△ADE，
∴∠C＝∠E，
∵∠AOE＝∠DOC，∠E＋∠CAE＋∠AOE＝180°，∠C＋∠COD＋∠CDE＝180°，
∴∠CAE＝∠CDE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＝∠CDE，故本选项不符合题意；
C．∵△ABC≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠BDA，
∴∠BDA＝∠ADE，
∴AD平分∠BDE，故本选项不符合题意；
D．∵△ABC≌△ADE，
∴BC＝DE，故本选项符合题意；
故选：D．
2．如图，，BE与CF交于点D，连接BC．若，，则的度数为（ ）
A．5°B．10°C．12°D．15°
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
故选：B．
3．如图，，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得出ED=AC，∠E=∠A，据此即可一一判定，得出答案．
【详解】解：∵△ABC≌△EFD，
∴ED=AC，∠E=∠A，故C错误，
∴ED-CD=AC-CD，，故B正确，
∴EC=AD，故A错误，
AC与ED在一条直线上，故D错误，
故选：B．
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8厘米，BC＝6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1.5厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上，由C点向A点运动，为了使△BPD≌△CPQ，点Q的运动速度应为（ ）
A．1厘米/秒B．2厘米/秒C．3厘米/秒D．4厘米/秒
【答案】B
【分析】由全等三角形的性质可得出BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米，求出点P运动的时间，则可得出答案．
【详解】解：当△BPD≌△CPQ时，BD＝CQ＝4厘米，BP＝CP＝3厘米，
∴点P运动的时间为3÷1.5＝2（秒），
∴点Q的运动速度为4÷2＝2（厘米/秒）．
故选：B．
5．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于折叠，可得三角形全等，运用三角形全等得出，利用平行线的性质可得出则即可求．
【详解】解：∵沿线段折叠，使点落在点处，
∴ ，
∴ ，
∵，，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
6．如图，已知△ABC与△DEF全等，且∠A＝72°、∠B＝45°、∠E＝63°、BC＝10，EF＝10，那么∠D＝_____度．
【答案】
【分析】△ABC中，根据三角形内角和定理求得∠C＝63°，那么∠C＝∠E．根据相等的角是对应角，相等的边是对应边得出△ABC≌△DFE，然后根据全等三角形的对应角相等即可求得∠D．
【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝72°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝63°，
∵∠E＝63°，
∴∠C＝∠E．
∵△ABC与△DEF全等，BC＝10，EF＝10，
∴△ABC≌△DFE，
∴∠D＝∠A＝72°，
故答案为72．
7．如图，在四边形中，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，当与以，，为顶点的三角形全等时，点的运动速度为______．
【答案】1或
【分析】设点的运动速度为，由题意可得，与以，，为顶点的三角形全等时分为两种情况：，再利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：设点的运动速度为，
由题意可得，
∵
∴与以，，为顶点的三角形全等时可分为两种情况：
①当时，
∴，
∴
∴
∴此时点的运动速度为；
②当时，
，
∴，
∴，
此时点的运动速度为，
故答案为：1或．
8．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积．
【答案】6
【分析】延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，证明，则的面积等于的面积，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而计算其面积．
【详解】解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，则AE＝4．
∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，
，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝3，，
．
∵AE＝4，AB＝5，BE＝3，
∴，
∴△ABE是直角三角形，且．
∴．
9．如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E，且△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，求
(1)DE的长；
(2)∠BAC的度数．
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠D＝90°，求得∠DBA+∠BAD＝90°，根据全等三角形的性质得到∠DBA＝∠CAE等量代换即可得到结论．
【详解】(1)解：∵△ABD≌△CAE，AD＝2cm，BD＝4cm，
∴AE＝BD＝4cm，
∴DE＝AD+AE＝6cm．
(2)∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°，
∴∠DBA+∠BAD＝90°，
∵△ABD≌△CAE，
∴∠DBA＝∠CAE
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∴∠BAC＝90°．
课程标准
课标解读
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
1.了解全等三角形的概念
2.了解常见的全等三角形的基本图形
3.理解全等三角形的性质
4.知道全等三角形之间对应边与对应角的重要性