初中数学苏科版八年级上册4.1 平方根学案及答案

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知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.
2.平方根的定义
如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
【微点拨】
当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
【即学即练1】下列语句：①任意一个数都有两个平方根；②是1的平方根；③带根号的数都是无理数；④的平方根是；⑤的算术平方根2．⑥有序实数对与坐标轴上的点一一对应．其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，算术平方根的定义，无理数的定义，依次分析，选出正确的序号，即可得到答案．
【详解】解：①负数没有平方根，正数有两个平方根，0的平方根是0，故①错误；
②−1是1的平方根，故②正确；
③带根号的数不一定是无理数，故③错误；
④的平方根是，故④正确；
⑤的算术平方根2，故⑤正确；
⑥有序实数对与坐标平面内的点一一对应，故⑥错误；
综上分析可知，正确的有3个，故B正确．
故选：B．
知识点02 平方根的性质
【微点拨】（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
【即学即练2】若△ABC三边a、b、c满足，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
【答案】A
【分析】根据绝对值、偶次幂及根式的非负性可得a、b、c的值，然后根据勾股定理逆定理可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC是直角三角形；
故选A．
知识点03 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【即学即练3】已知，，则（ ）
A．0.15129B．0.015129C．0.0015129D．1.5129
【答案】B
【分析】根据题意可得出，，然后再将、和的计算结果对比可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，，
∴．
故选：B．
考法01 平方根和算术平方根的区别和联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
【典例1】下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根以及算术平方根进行化简计算即可．
【详解】解∶ A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，符合题意；
D．，不符合题意；
故选：C．
考法02 求一个数的平方根
如何手算求-一个数的平方根：
述求平方根的方法，称为笔算开平方法，用这个方法可以求出任何正数的算术平方根，它的计算步骤如下:
1.将被开方数的整数部分从个位起向左每隔两位划为-段，用撇号分开(竖式中的11'56)，分成几段，表示所求平方根是几位数;
2.根据左边第一段里的数，求得平方根的最高位.上的数(竖式中的3);
3.从第一段的数减去最高位上数的平方，在它们的差的右边写上第二段数组成第一个余数(竖式中的256);
4.把求得的最高位数乘以20去试除第一个余数,所得的最大整数作为试商(3x20除256，所得的最大整数是4，即试商是4);
5.用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商，如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数;如果所得的积大于余数，就把试商减小再 试(竖式中(20*3+4)x4= 256，说明试商4就是平方根的第二位数);
【典例2】的平方根是（ ）
A．6B．C．D．36
【答案】B
【分析】根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：由题意知的平方根为，即
故选B．
题组A 基础过关练
1．的算术平方根为（ ）
A．B．C．D．﹣
【答案】C
【分析】根据算术平方根的定义即可得．
【详解】解：因为，
所以的算术平方根为，
故选：C．
2．计算：（ ）
A．3B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵
∴
故选A
3．已知的三边分别为、、，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．无法计算
【答案】B
【分析】根据绝对值，偶次方，算术平方根的非负性，可得，，，从而求出，，的值，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，最后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．
【详解】解：，
，，，
，，，
，，
，
是直角三角形，
的面积
故选：B．
4．下列计算正确的是（ ）
A．＝±4B．±＝3C．D．＝﹣3
【答案】C
【分析】根据算术平方根，平方根的定义，二次根式的性质分别计算即可．
【详解】解：A．＝4，故选项错误，不符合题意；
B．±＝±3，故选项错误，不符合题意；
C．，故选项正确，符合题意；
D．＝3，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5．计算的结果等于_________．
【答案】3
【分析】先计算有理数的乘方，再计算算术平方根即可得．
【详解】解：，
故答案为：3．
6．代数式2020的最大值是 _____．
【答案】2020
【分析】根据算术平方根的非负数性质解答即可．
【详解】解：∵，
∴20202020，
∴代数式2020的最大值是2020．
故答案为：2020．
7．求下列各数的平方根和算术平方根：
（1）0.04；
（2）；
（3）7；
（4）．
【答案】（1），0.2；（2），；（3），；（4），
【分析】根据算术平方根、平方根定义计算即可．
【详解】解：（1）0.04的平方根是，0.04的算术平方根是；
（2）的平方根是，的算术平方根是；
（3）7的平方根是；7的算术平方根是；
（4）的平方根是；的算术平方根是；
题组B 能力提升练
1．已知和是一个正数的平方根，则这个正数的值是（ ）
A．9B．1C．7D．49或
【答案】D
【分析】根据正数有两个平方根，它们互为相反数，列方程解出a的值，代入其中一个平方根．
【详解】解：∵2a-1和-a+4是一个正数的平方根，
∴①2a-1+4-a=0，
解得a=-3，
把a=-3代入4-a=7，
∴这个正数的值是49；
②2a-1=4-a，
解得a=，
把a=代入4-a=，
∴这个正数的值是；
故选：D．
2．已知的三条边长分别为，，，其中，满足，则该直角三角形的面积等于（ ）
A．24B．48C．D．24或
【答案】D
【分析】根据完全平方公式整理，然后利用非负数的性质列式求解即可得到a、b的值，然后分a是直角边和斜边两种情况，利用勾股定理求出另一直角边，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】解：∵a，b满足，
∴a-8=0，2b-12=0，
解得a=8，b=6，
当a=8是直角边时，6是直角边，△ABC的面积=×8×6=24，
a=8是斜边时，另一直角边=，
△ABC的面积=，
综上所述，△ABC的面积为24或，
故选：D．
3．若＋＝0，则a2－b2的值是（ ）
A．15B．－15C．8D．－8
【答案】B
【分析】根据算术平方根的非负性得到，解方程组求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意得，
解得，
∴a2-b2=1-16=-15，
故选：B．
4．设的三条边为a，b，c，且a，b，c，满足关系式：，则的形状为 （ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形
【答案】D
【分析】由非负数的性质可求得a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵+|4﹣b|+（c﹣5）2＝0，
∴a﹣3＝0，4﹣b＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴a2+b2＝32+42＝25，c2＝52＝25，
∴a2+b2＝c2，
由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形．
故选：D．
5．已知实数满足，则的值为_______．
【答案】16
【分析】先对进行变形，然后根据算术平方根的非负性和平方的非负性，求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：16．
6．如图，正方形ABCD的面积等于，正方形DEFG的面积等于，则阴影部分的面积______．
【答案】14
【分析】由题意可知：已知正方形ABCD面积等于，边长是6，正方形DEFG的面积等于，边长是4，阴影部分是正方形ABCD面积的一半，加上正方形DEFG的面积，减去底为6+4=10cm，高为4cm的三角形的面积，由此列式得出答案即可．
【详解】解：∵正方形ABCD面积等于，正方形DEFG的面积等于，
∴正方形ABCD边长是6，正方形DEFG的边长是4，
∴阴影部分的面积S=36×+16-×（6+4）×4
=18 +16 -20
=14．
故答案为14．
7．若＝0，则（b﹣a）2009＝___．
【答案】1
【分析】先由算术平方根的非负性求出b-a=1，再代入求解即可．
【详解】解：∵＝0，
∴a-b+1=0，则b-a=1，
∴（b﹣a）2009=12009=1．
故答案为：1．
8．如果是整数，则n的最小整数值是______．
【答案】0
【分析】根据算术平方根得出2n≥0，根据为整数得出2n是完全平方数，求出即可．
【详解】解：∵为整数，
∴2n≥0，2n是完全平方数，
∴n的最小整数值是0，
故答案为：0．
9．已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值．
【答案】10
【详解】解：∵10﹣3a的平方根是±1，
∴，
解得，a＝3，
∵a﹣b+2的算术平方根是 2，
∴，
解得，b＝1，
∴．
10．已知实数a、b、c满足
(1)求证：；
(2)求的平方根．
【答案】(1)见解析；(2)
【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；
（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得的值，进而求得的平方根．
【详解】(1)证明：∵，，
；
(2)解：，，
，
，
，
，
的平方根是．
题组C 培优拔尖练
1．若|x＋2|＋，则xy的值为（ ）
A．﹣8B．﹣6C．5D．6
【答案】B
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求出x、y，代入即可求解．
【详解】解：∵|x+2|≥0，≥0，
而|x+2|+＝0，
∴x+2＝0且y﹣3＝0，
∴x＝﹣2，y＝3，
∴xy＝（﹣2）×3＝﹣6．
故选：B
2．已知表示取三个数中最小的那个数，例加：，当时，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可知都小于1且大于0，根据平方根求得的值即可求解．
【详解】解：∵
∴都小于1且大于0
（负值舍去）
故选D
3．已知a，b，c为△ABC的三边长，且＋|b－c|＝0，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质及算术平方根的性质求出a、b，b、c的关系，即可得解．
【详解】解：根据题意得，a2-2ab+b2=0，b-c=0，
解得a=b，b=c，
所以，a=b=c，
所以，△ABC的形状是等边三角形．
故选：B．
4．已知是二元一次方程组的解，则的平方根为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】将代入二元一次方程组，可得，解得m、n的值，即可求解．
【详解】解：∵是二元一次方程组的解，
∴，
解得，
∴2m-n=4，
∴平方根为，
故选：A．
5．已知a，b均为实数，且＋a2b2＋9＝6ab，则a2＋b2＝_______．
【答案】19
【分析】利用完全平方公式变形得到＋（ab-3）2＝0，求出a+b=5，ab=3，再利用完全公式变形计算即可．
【详解】解：∵＋a2b2＋9＝6ab，
∴＋a2b2＋9-6ab=0，
∴＋（ab-3）2＝0，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2＋b2＝（a+b）2-2ab=52-6=19，
故答案为：19．
6．若实数a，b满足，则代数式=________．
【答案】0
【分析】首先根据二次根式的非负性，即可求得a，b的值，再把a，b的值代入代数式，即可求得其值．
【详解】解：，，
解得



故答案为：0
7．若除以的商是，余式是1．则的值__________．
【答案】16
【分析】根据整式的运算得到，再展开得到a，b的值，故可求解．
【详解】解：依题意，得


．
8．计算
(1)已知一个多边形的内角和等于一个十边形的外角和，求该多边形的边数．
(2)已知a、b、c是ΔABC的边长，且满足于=0，求ΔABC的面积．
【答案】(1)4；(2)6
【分析】（1）设这个多边形为n边形，而一个十边形的外角和为 再列方程 解方程即可；
（2）利用非负数的性质先求解，再利用勾股定理的逆定理判断三角形ABC为直角三角形，再利用三角形的面积公式求解面积即可；
【详解】(1)解：设这个多边形为n边形，而一个十边形的外角和为
∴
解得：
∴多边形的边数为4．
(2)解：∵

解得：
∴
为直角三角形且
9．阅读材料：若，求m，n的值．
解：
∴
∴
∵
∴
∴m=2，n=-3
根据你的观察，解答下列问题：
(1)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且则△ABC为 三角形．
(2)已知=0，求x和y的值．
(3)证明：无论x，y取何值多项式的值总是正数．
【答案】(1)直角；(2)；(3)见解析
【分析】（1）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再利用勾股定理的逆定理进行证明即可；
（2）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方和算术平方根的非负性求解即可；
（3）将式子利用完全平方公式变形，再根据平方的非负性证明即可．
【详解】(1)，
，
即，
，
，
，
，
是直角三角形，
故答案为：直角；
(2)，
，
即，
，
解得；
(3)，
且，
，即，
无论x，y取何值多项式的值总是正数．
10．例如：当，时，求的值．
解：因为，所以，即：
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
(1)当，时，求的值；
(2)当时，求的值（提示：可设，）；
(3)如图，已知正方形的边长为，、分别是、上的点，且，，若长方形的面积是12，则的值为______．
【答案】(1)；；(2)；；(3)5．
【分析】（1）求出，利用完全平方公式展开即可求出的值；
（2）类比（1）先求出的和，再利用完全平方公式求解即可；
（3）结合图形，得出，，利用公式变形，直接开方法解方程求解即可．
【详解】(1)解：∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴；
(2)设，，
∵，
∴，
即，
∵，
∴，
即
(3)观察图形可得，，，
∵长方形的面积是12，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
故答案为5．
课程标准
课标解读
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
1.了解平方根、算术平方根的概念，会表示一个数的平方根、算术平方根
2.会求一个非负数的平方根、算术平方根