初中苏科版3.1 勾股定理课堂检测

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考试时间：120分钟 姓名： 得分：
一、选择题（在给出的四个选项里只有一项是正确的；本大题共10小题，每小题2分，共20分）
1．下列三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】解：A．∵82+152≠162，
∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵92+122=152，
∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C．∵92+402≠422，
∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D．设a=2k，b=3k，c=4k，
∵（2k）2+（3k）2≠（4k）2，
∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A．5B．6C．7D．9
【答案】A
【解析】解：如图所示：
．
故选：A．
3．下列说法正确的是（ ）A．若，，是的三边，则
B．若，，是的三边，则
C．若，，是的三边，，则
D．若，，是的三边，，则
【答案】D
【解析】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意；
B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；
C、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；
D、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意．
故选：D．
4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，
则OA=3，AB=4，由勾股定理得：，
∴a=10-5=5；
当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6；
综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为．
故选：A．
5．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：由题意，得：AD=60km，
在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km，
∴BD=(km)．
∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．
∴在Rt△ACD中，AC==75（km）．
75÷25=3（h）．
答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
故选：D．
6．如图，直线上有三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，己知，则面积为的正方形的边长为（ ）．
A．B．2C．3D．12
【答案】B
【解析】解：如图所示，
由题意可知，AC=EC，，
，
∴．
在和中，，
∴，
∴BC=DE．
∵，
即，．
在中，，
∴，，
即面积为的正方形的边长为．
故选：B．
7．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则a，b，h的数量关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：设高为a对应的直角边的长为x，高为b对应的直角边的长为y，斜边为z，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选C．
8．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（ ）
A．169cm2B．25cm2C．49cm2D．64cm2
【答案】C
【解析】解：在中，
，
个直角三角形是全等的，
，
小正方形的边长，
阴影部分的面积，
故选：C．
9．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为，则的值为（ ）
A．13B．12C．11D．10
【答案】A
【解析】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，
在△BAF和△EAF中，
，
∴△BAF≌△EAF(SAS)，
∴BF=EF，
∴AF⊥BE，
又∵AF＝4，AB＝5，
∴，
在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△BDF中，，，
∴，
故选：A．
10．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【解析】解：①∵
∴20是“整弦数”，符合题意；
②如5，2是“整弦数”，
∵不是“整弦数”，
∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；
③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；
④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，

∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；
⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），
∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，
∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，
∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，
∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
11．直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的______倍．
【答案】3
【解析】解：设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2；
扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，则根据勾股定理知斜边为
=3c．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，
则斜边扩大到原来的3倍．
故答案为3．
12．已知一个直角三角形的两条直角边分别为、，那么这个直角三角形斜边上的高为______．
【答案】
【解析】解：设这个直角三角形斜边上的高为，
由勾股定理得，直角三角形斜边长，
由三角形的面积公式得，，
解得，，
故答案为： ．
13．如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为______．
【答案】
【解析】解：在Rt△ACB中，AB=
∵AA′=BB′=5cm，
∴CB′=BB′-BC=5-3=2（cm），
∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16（cm）．
故答案为：16cm．
14．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BF＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是_____cm2．
【答案】
【解析】解：∵AB＝3cm，BF＝5cm，
由折叠的性质可得，， ，
在中，由勾股定理得：
∴，，
设DE＝x，则＝（9−x） cm，
在中，由勾股定理得：
，
∴（9−x）2＋9＝x 2，
解得：x＝5，
∴DE＝5（cm），
∴△DEF的面积是：×5×3＝（cm2）．
15．如图，已知等腰的直角边长为，以它的斜边为直角边画第二个等腰，再以斜边为直角边画第三个等腰，…，依此类推，长为，长为，第个等腰直角三角形斜边长为___________，第个等腰三角形斜边长为__________，则第个等腰直角三角形斜边长为__________．
【答案】
【解析】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：
第一个等腰三角形斜边长为：，
第二个等腰三角形斜边长为：，
第三个等腰三角形斜边长为：，
第四个等腰三角形斜边长为：，
……依此类推，
第个等腰三角形斜边长为：．
故答案为：；；．
16．如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)
①； ②当E为中点时，﹔
③若，则； ④若，则面积的最大值为2．
【答案】①②③④
【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴CD=BD=AD，
∴∠DCB=∠DBC，
∴∠ADC=2∠DCB，
∵AE⊥CD于点E，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∵∠ACE+∠DCB=90°，
∴∠CAE=∠DCB，
∴∠ADC=2∠CAE，故①正确；
当E为CD中点时，∵AE⊥CD，
∴AC=AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∴BC=AC，故②正确；
作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM，
∴∠DAE=∠DBM，
∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，
∴△ADE≌△BDM（AAS），
∴DE=DM，
若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确；
∵△ADE≌△BDM，
∴AE=BM，DE=DM，
∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE，
若AB=4，则AD=2，
在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，
即的最大值值为1，
∴△ABE面积的最大值为2，故④正确；
故答案为：①②③④．
三、解答题（本大题共10题，共68分）
17．（6分）如图，已知等腰三角形ABC底边上的高AD为4，的周长为16，求三角形ABC的面积．
【答案】12
【解析】解：∵AD是底边BC上的高，
∴，
设BD＝x，
∵△ABC的周长为16，
∴AB+BD＝8，AB＝8－x，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴，
解得：，
∴BC＝2BD＝6，
∴．
18．（6分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）
【答案】这辆小汽车超速行驶
【解析】解：根据题意，，，
∴在中，
，
∴小汽车的速度为，
∵，
∴这辆小汽车超速行驶．
19．（6分）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，求的长．
【答案】
【解析】解：∵，为边上的中线
∴，
∴
∵
∴
∴在中
．
20．（6分）一个四边形零件的形状如图，工人师傅量得∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝13，DC＝12，请你求出零件中的∠BDC的度数．
【答案】90°
【解析】解：∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，
∴BD＝＝5．
∵BC＝13，DC＝12，，
∴，
∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°．
21．（6分）如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E．
(1)若，求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析；(2)
【解析】（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3．
∴AC＝6，BC＝8．
∵．
∴．
∴△ABC是直角三角形．
∴．
（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，
∴，．
∵AD、BE分别为边BC、AC的中线．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
22．（6分）如图：和都等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边DE上，
(1)求证：；
(2)试探究线段AC、AD、AE三条线段之间的数量关系，证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)线段AC，AD，AE三条线段的数量关系是，证明见解析
【解析】（1）∵，
∴
∴
∴
∴
（2）线段AC，AD，AE三条线段的数量关系是
∵△ECD是等腰直角三角形，
∴∠E=∠EDC=45°
由（1）知：
∴
即，
又为等腰直角三角形，且，
∴，
即．
23．（6分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作．QH上AP于点H，交AB于点M．
(1)若∠PAC＝α，则∠AMQ＝______（用含有α的式子表示）；
(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)45°＋α
(2)PQ＝BM；证明见解析
【解析】（1）∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，
∵QH⊥AP，
∴∠AHM=90°，
∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；
故答案为：∠AMQ=45°+α
（2）PQ=MB；理由如下：
连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，
∴∠QAC=∠PAC=α，
∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，
∴AP=AQ=QM，
在△APC和△QME中，
，
∴△APC≌△QME（AAS），
∴PC=ME，
∵△MEB是等腰直角三角形，
∴．即．
24．（6分）如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段上的一点，连接，将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图1，猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)如图2，若，连接、，当运动到使得时，求的面积．
【答案】(1)，，证明见解析
(2)
【解析】（1），，
证明：如图1，延长交于点，
∵将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即．
（2）如图2，作于点，于点，
∵在等腰直角中，，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，即，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，，
∴
25．（10分）【情景呈现】画，并画的平分线．
(1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）(2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由．
【理解应用】
(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______．
【拓展延伸】
(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．
【答案】(1)＝
(2)，理由见解析
(3)
(4)，理由见解析
【解析】（1）解：∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵PE⊥OA，
∴∠OEP=90°，
∵∠AOB=90°，∠EPF=90°
∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，
∴∠OEP=∠OFP
又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP
∴△OEP≌△OFP（AAS），
∴PE=PF，
故答案为：=；
（2）解：PE=PF，理由如下：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，
∵PM⊥OA，PN⊥OB，，
∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，
∴∠MPN=90°，
与（1）同理可证PM=PN，
∵∠EPF=90°，
∴∠MPE=∠FPN，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴PE=PF；
（3）解：GE2+FH2=EF2，理由如下：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=45°，
∵GH⊥OC，
∴∠OGH=∠OHG=45°，
∴OP=PG=PH，
∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，
∴∠GPE=∠OPF，
在△GPE和△OPF中，
，
∴△GPE≌△OPF（ASA），
∴GE=OF，
同理可证明△EPO≌△FPH，
∴∴FH=OE，
在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，
∴GE2+FH2=EF2，
故答案为：GE2+FH2=EF2；
（4）解：PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．
在△OPG和△OPH中，
，
∴△OPG≌△OPH，
∴PG=PH，
∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，
∴∠GPH=120°，
∵∠EPF=120°，
∴∠GPH=∠EPF，
∴∠GPE=∠FPH，
在△PGE和△PHF中，
∴△PGE≌△PHF，
∴PE=PF．
26．（10分）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．
(1)发现
①∠DCE的度数是 ；
②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．
(2)探究
如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．
(3)拓展应用：
如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．
【答案】(1)120°；CA＝CE+CD
(2)CA＝CD+CE；理由见解析
(3)
【解析】（1）发现解：①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD=AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE＝∠B，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACE=60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．
（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE．∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，∴∠ACE=45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．∵在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，且CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．
（3）应用∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝AC＝，CD＝1，∴，AD=AE，∴BD=BC+CD=3，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，∴∠ACE=45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴．
题 号
一
二
三
总 分
分 数