高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数学案

这是一份高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数学案，共11页。

1．理解对数函数的概念，知道对数函数模型是一类重要的函数模型．(数学抽象)
2．会求简单的对数型函数的定义域．(数学运算)
我们已经知道，假设有机体生存时碳14的含量为1，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量y满足
y＝12x5 730，也就是说，y是x的函数．
在得到古生物的样品时，考古学家能够测量出其中的碳14含量y，你认为考古学家们能利用这个值推断出古生物的死亡时间x吗？给定一个y值，有多少个x值与之对应？这里的x能看成y的函数吗？为什么？
知识点 对数函数的概念
函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，故对数函数的定义域是(0，＋∞)，底数a>0，且a≠1．
(1)y＝lgxa(a>0，且a≠1)是对数函数吗？
(2)y＝lga(2x)(a>0，且a≠1)是对数函数吗？
[提示] 都不是．
1．函数y＝lga(x－1)的定义域为________．
[答案] (1，＋∞)
2．若对数函数f (x)的图象过点(4，2)，那么f (x)＝________．
lg2x [设对数函数f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)，由f (4)＝lga4＝2得a2＝4，∴a＝±2．
又a>0，且a≠1，∴a＝2，故f (x)＝lg2x．]
类型1 对数函数的概念及应用
【例1】 (1)下列给出的函数：①y＝lg5x＋1；②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③y＝lg3-1x；④y＝13lg3x；⑤y＝lgx3(x>0，且x≠1)；⑥y＝lg2πx，其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)若函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________．
(3)已知对数函数的图象过点(16，4)，则f12＝________．
(1)D (2)4 (3)－1 [(1)由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D．
(2)因为函数y＝lg(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，
所以2a-1>0， 2a-1≠1， a2-5a+4＝0，
解得a＝4．
(3)设对数函数为f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)，
由f (16)＝4可知lga16＝4，∴a＝2，
∴f (x)＝lg2x，∴f 12＝lg212＝－1．]
判断一个函数是对数函数的方法
[跟进训练]
1．若函数f (x)＝(a2＋a－5)lgax是对数函数，则a＝________．
2 [由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2．
又a>0且a≠1，所以a＝2．]
类型2 对数函数的定义域
【例2】 (源自湘教版教材)求下列函数的定义域：
(1)y＝lg0.5(3－x)；
(2)y＝lg2x－3(x2＋3)．
[解] (1)要使函数有意义，需3－x>0，即x<3．
所以函数y＝lg0.5(3－x)的定义域是(－∞，3)．
(2)要使函数有意义，需2x－3>0且2x－3≠1，即x>32且x≠2．
所以函数y＝lg2x－3(x2＋3)的定义域是32，2∪(2，＋∞)．
求对数型函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0．
(2)根指数为偶数时，被开方数非负．
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1．
[跟进训练]
2．求下列函数的定义域．
(1)y＝1lgx；
(2)y＝lg(2x－1)(－4x＋8)．
[解] (1)∵x＞0，且lg x≠0，
∴x＞0且x≠1．
∴函数y＝1lg⁡x的定义域为"{x|x＞0且x≠1}．
(2)由题意得-4x+8>0，2x-1>0， 2x-1≠1， 解得x<2，x>12，x≠1．
故函数y＝lg(2x－1)(－4x＋8)的定义域为x12 类型3 对数函数模型的应用
【例3】 已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位，求y与x的关系式．
思路导引：增长率问题 建模 指数函数 指对互化 对数函数
[解] 由题意可知(1－20%)y＝x，0即y＝lg0.8x，0y与x的关系式为y＝lg0.8x，0 利用指数、对数函数解决应用问题
(1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围．
(2)利用指对互化转化为对数函数y＝lgax．
(3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算．
[跟进训练]
3．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计经过多少年，该物质的剩余质量是原来的13(结果保留1位有效数字，lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)?
[解] 假设经过x年，该物质的剩余质量是原来的13，根据题意得0.75x＝13．
所以x＝lg0.7513＝-lg3lg3-lg4＝-lg3lg3-2lg2≈4(年)．
故估计经过4年，该物质的剩余质量是原来的13．
1．(多选)下列函数是对数函数的是( )
A．y＝lg23x2B．y＝lg15 x
C．y＝lg(x＋1)xD．y＝lgπx
[答案] BD
2．(2022·广东东莞期中)函数f (x)＝2x-1＋lg (x－2)的定义域为( )
A．[0，2) B．(2，＋∞)
C．12，2 D．12，+∞
B [由题意可得2x-1≥0x-2>0 ，解得x>2．故选B．]
3．已知对数函数y＝f (x)的图象过点M(9，2)，则此对数函数的解析式为________．
f (x)＝lg3x [设此对数函数的解析式为f (x)＝lgax(a>0且a≠1)，则2＝lga9，所以a2＝9．又a＞0，所以a＝3．所以f (x)＝lg3x．]
4．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案中奖励金额y与销售额x的关系式为y＝2lg4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
128 [由题意得5＝2lg4x－2，即7＝lg2x，得x＝128．]
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如何判断一个函数是不是对数函数？
[提示] 判断一个函数是对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)系数为1．
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x．
2．解决对数函数定义域问题应从哪些方面考虑？
[提示] 除了要特别注意真数和底数外，还要遵循前面学习过的求函数定义域的方法，比如函数解析式为分式、根式等情形．
课时分层作业(三十四) 对数函数的概念
一、选择题
1．下列函数是对数函数的是( )
A．y＝ln x2 B．y＝ln (x－1)
C．y＝lgx2 D．y＝lg2x
[答案] D
2．函数y＝1lg2x-2的定义域为( )
A．(－∞，2) B．(2，＋∞)
C．(2，3)∪(3，＋∞) D．(2，4)∪(4，＋∞)
C [要使函数有意义，则x-2>0， lg2x-2≠0，解得x＞2且x≠3，故选C．]
3．设函数f (x)＝x2+1，x≤1，lgx，x>1， 则f (f (10))的值为( )
A．lg 101 B．1 C．2 D．0
C [f (f (10))＝f (lg 10)＝f (1)＝12＋1＝2．]
4．满足”对定义域内任意实数x，y，都有f (xy)＝f (x)＋f (y)”的函数f (x)可以是( )
A．f (x)＝x2 B．f (x)＝2x
C．f (x)＝lg2x D．f (x)＝eln x
C [∵对数运算律中有lgaM＋lgaN＝lga(MN)，∴f (x)＝lg2x满足题目要求．故选C．]
5．“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是( )
A．y＝lg1.05x B．y＝lg1.005x
C．y＝lg0.95x D．y＝lg0.995x
B [由题意得x＝(1＋5‰)y＝1.005y，化为对数函数得y＝lg1.005x．]
二、填空题
6．函数y＝lg12(3x－a)的定义域是23，+∞，则a＝________．
2 [由题意可知3x－a>0，即x>a3，
∴函数y＝lg12(3x－a)的定义域是a3，+∞，
由题知函数y＝lg12(3x－a)的定义域为23，+∞，∴a3＝23，∴a＝2．]
7．已知函数f (x)＝lg3x，则f 95＋f (15)＝________．
3 [f 95＋f (15)＝lg395＋lg315＝lg327＝3．]
8．某种动物的数量y(单位：只)与时间x(单位：年)的函数关系式为y＝alg2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则第7年它们的数量为________只．
300 [由题意，知100＝alg2(1＋1)，得a＝100，
则当x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝100×3＝300．]
三、解答题
9．(2022·山东临沂期中)已知f (x)＝lgax(a>0且a≠1)满足f 12＋f (4)＝1，求f (1)＋f (2)＋f (4)＋…＋f (210)的值．
[解] 由已知f (x)＝lgax(a>0且a≠1)满足f (〖1/2〗)) ＋f (4)＝1，
可得lga12＋lga4＝1，即－lga2＋2lga2＝1，
则lga2＝1，所以a＝2，得f (x)＝lg2x，
则f (1)＋f (2)＋f (4)＋…＋f (210)
＝lg21＋lg22＋lg24＋lg28＋…＋lg2210＝lg22(1+2+3+…+10)
＝1＋2＋3＋…＋10＝55．
10．与函数y＝10lg (x-1)是同一个函数的是( )
A．y＝x-1x-12 B．y＝|x－1|
C．y＝x－1 D．y＝x2-1x+1
A [y＝10lg (x-1)＝x－1(x＞1)，而y＝x-1x-12＝x－1(x＞1)．故选A．]
11．(多选)设集合A＝{x|y＝lg x}，B＝{x|y＝ln (x＋2)}，则下列关系中正确的是( )
A．A∪B＝B B．B⊆A
C．A∩B＝A D．A∩B＝B
AC [由题意可知A＝(0，＋∞)，B＝(－2，＋∞)，∴A⊆B，即A∪B＝B，A∩B＝A．故选AC．]
12．设函数f (x)＝lgax(a>0，且a≠1)，若f (x1x2…x2 024)＝8，则f(x12)+f(x22)+…+f(x2 0242))的值等于________．
16 [∵f(x12)+f(x22)+f(x32)+…+f(x2 0242))
＝lgax12+lgax22+lgax32+…+lgax2 0242
＝lga(x1x2x3…x2 024)2
＝2lga(x1x2x3…x2 024)＝2×8＝16．]
13．若函数f (x)＝lga(x－1)＋8(a>0，且a≠1)的图象过点M(2，m)，则m＝________．当幂函数g(x)的图象过M点时，g(x)的解析式为________．
8 g(x)＝x3 [由题意可知m＝lga(2－1)＋8＝8，∴M(2，8)．
设g(x)＝xα，则g(2)＝2α＝8，∴α＝3．
∴g(x)＝x3．]
14．科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I(单位：瓦/平方米)有关，在实际测量时，常用L(单位：分贝)来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I满足关系式：L＝a lg II0a是常数，其中I0＝1×10-12瓦/平方米．如风吹落叶沙沙声的强度I＝1×10-11瓦/平方米，它的强弱等级L＝10分贝．
已知生活中几种声音的强度如表：
求a和m的值．
[解] 将I0＝1×10-12瓦/平方米，I＝1×10-11瓦/平方米代入L＝a lg II0，
得10＝a lg 1×10-111×10-12＝a lg 10＝a，即a＝10，
所以m＝10lg 1×10-101×10-12＝10lg 100＝20．
15．设函数f (x)＝ln (ax2＋2x＋a)的定义域为M．
(1)若1∉M，2∈M，求实数a的取值范围；
(2)若M＝R，求实数a的取值范围．
[解] (1)由题意M＝{x|ax2＋2x＋a>0}．
由1∉M，2∈M可得a×12+2×1+a≤0，a×22+2×2+a>0，
化简得2a+2≤0，5a+4>0，解得a≤-1，a>-45．
所以a的取值范围为∅．
(2)由M＝R可得ax2＋2x＋a>0恒成立．
当a＝0时，不等式可化为2x>0，解得x>0，显然不合题意；
当a≠0时，由二次函数的图象可知Δ＝22－4×a×a<0，且a>0，即4-4a2<0，a>0， 化简得a2>1，a>0， 解得a>1．
所以a的取值范围为(1，＋∞)．
声音来源
风吹落叶沙沙声
轻声耳语
很嘈杂的马路
强度I(瓦/平方米)
1×10-11
1×10-10
1×10-3
强弱等级L(分贝)
10
m
90