数学必修 第一册4.1 指数学案

这是一份数学必修 第一册4.1 指数学案，共11页。学案主要包含了对数函数的概念及应用，与对数函数有关的定义域，对数函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考 函数y＝lgπx，y＝lg2eq \f(x,3)是对数函数吗？
答案 y＝lgπx是对数函数，y＝lg2eq \f(x,3)不是对数函数．
1．由y＝lgax，得x＝ay，所以x>0.( √ )
2．y＝lg2x2是对数函数．( × )
3．若对数函数y＝lgax，则a>0.( √ )
4．函数y＝lga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．( × )
一、对数函数的概念及应用
例1 (1)下列给出的函数：
①y＝lg5x＋1；
②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝lg3eq \f(x,2)；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；
⑥其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故③⑥正确．
(2)设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，由图象过点M(8,3)，则有3＝lga8，解得a＝2.所以对数函数的解析式为f(x)＝lg2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝lg2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
答案 －3
二、与对数函数有关的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝lg2(16－4x)；
(3)y＝lg1－x5.
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))得－3∴函数的定义域是(－3,3)．
(2)由16－4x>0，得4x<16＝42，
由指数函数的单调性得x<2，
∴函数y＝lg2(16－4x)的定义域为(－∞，2)．
(3)依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1－x≠1，))得x<1且x≠0，
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1)．
反思感悟 求含对数式的函数定义域关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数、底数的取值范围是否改变．
跟踪训练2 求下列函数的定义域．
(1)y＝eq \f(\r(x2－4),lgx＋3)；
(2)y＝eq \f(1,\r(2－x))＋ln(x＋1)．
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4≥0，,x＋3>0，,x＋3≠1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－2或x≥2，,x>－3，,x≠－2，))即－3故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞)．
(2)要使函数有意义，需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x>0，,x＋1>0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<2，,x>－1，))∴－1故所求函数的定义域为(－1,2)．
三、对数函数模型的应用
例3 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
解 (1)由v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)可知，
当θ＝900时，v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(900,100)＝eq \f(1,2)lg39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)设鲑鱼原来的游速、耗氧量为v1，θ1，提速后的游速、耗氧量为v2，θ2.
由v2－v1＝1，即eq \f(1,2)lg3eq \f(θ2,100)－eq \f(1,2)lg3eq \f(θ1,100)＝1，
得eq \f(θ2,θ1)＝9.
所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
反思感悟 对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型．
(2)依实际情况确定解析式中的参数．
(3)依题设数据解决数学问题．
(4)得出结论．
1．下列函数为对数函数的是( )
A．y＝lgax＋1(a>0且a≠1)
B．y＝lga(2x)(a>0且a≠1)
C．y＝lg(a－1)x(a>1且a≠2)
D．y＝2lgax(a>0且a≠1)
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 C
2．函数y＝lg2(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 C
3．函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )
A．[－1,3) B．(－1,3) C．(－1,3] D．[－1,3]
答案 C
4．对数函数f(x)过点(9,2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝________.
答案 －1
解析 设f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，lga9＝2，
∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)，
∴f(x)＝lg3x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝lg3eq \f(1,3)＝－1.
5．函数f(x)＝lgax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________.
答案 3
解析 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－3＝0，,a>0，,a≠1，))解得a＝3.
1．知识清单：
(1)对数函数的定义．
(2)对数函数的定义域．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．
1．给出下列函数：
①y＝；②y＝lg3(x－1)；③y＝lg(x＋1)x；④y＝lgπx.
其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 A
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|x<1}
C．{x|－1考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 C
解析 ∵M＝{x|1－x>0}＝{x|x<1}，
N＝{x|1＋x>0}＝{x|x>－1}，
∴M∩N＝{x|－13．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )
A．y＝(eq \r(x))2 B．y＝eq \r(x2)
C．y＝ D．y＝lg22x
答案 D
解析 因为y＝lg22x的定义域为R，且根据对数恒等式知y＝x.
4．对数函数的图象过点M(16,4)，则此对数函数的解析式为( )
A．y＝lg4x B．y＝
C．y＝ D．y＝lg2x
答案 D
解析 由于对数函数的图象过点M(16,4)，
所以4＝lga16，得a＝2.
所以对数函数的解析式为y＝lg2x，故选D.
5．已知函数f(x)＝lga(x＋2)，若图象过点(6,3)，则f(2)的值为( )
A．－2 B．2 C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
考点 对数函数的性质
题点 对数函数图象过定点问题
答案 B
解析 代入(6,3)，得3＝lga(6＋2)＝lga8，
即a3＝8，∴a＝2.
∴f(x)＝lg2(x＋2)，∴f(2)＝lg2(2＋2)＝2.
6．若f(x)＝lgax＋a2－4a－5是对数函数，则a＝________.
答案 5
解析 由对数函数的定义可知，
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－4a－5＝0，,a>0，,a≠1，))解得a＝5.
7．函数y＝的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))，则a＝________.
答案 2
解析 由y＝知，3x－a>0，即x>eq \f(a,3).
∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,3)，即a＝2.
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2lg4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
答案 128
解析 由题意得5＝2lg4x－2，
即7＝lg2x，得x＝128.
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝eq \f(\r(2x＋3),x－1)＋lg2(3x－1)．
解 (1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1故f(x)的定义域是(1,2)∪(2,3)．
(2)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3≥0，,x－1≠0，,3x－1>0，))解得x>eq \f(1,3)，且x≠1.
故f(x)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))∪(1，＋∞)．
10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解 (1)M＝lg A－lg A0＝lgeq \f(A,A0)＝lgeq \f(20,0.002)＝lg 104＝4.
即这次地震的震级为4级．
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝lg A5－lg A0，,8＝lg A8－lg A0，))
所以lg A8－lg A5＝3，
即lgeq \f(A8,A5)＝3.
所以eq \f(A8,A5)＝103＝1 000.
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．
11．函数y＝eq \f(lg2x－1,\r(2－x))的定义域是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,2－x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,x<2，))
∴1∴函数的定义域为(1,2)．
12．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alg2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则7年后它们发展到( )
A．300只 B．400只 C．600只 D．700只
答案 A
解析 将x＝1，y＝100代入y＝alg2(x＋1)得，
100＝alg2(1＋1)，解得a＝100，
所以x＝7时，y＝100lg2(7＋1)＝300.
13．若函数f(x)＝(a2－a＋1)lg(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________.
答案 1
解析 由a2－a＋1＝1，
解得a＝0或a＝1.
又底数a＋1>0，
且a＋1≠1，所以a＝1.
14．函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kx2－kx＋\f(3,8)))的定义域为R，则实数k的取值范围是________．
答案 [0,3)
解析 依题意，2kx2－kx＋eq \f(3,8)>0的解集为R，
即不等式2kx2－kx＋eq \f(3,8)>0恒成立，
当k＝0时，eq \f(3,8)>0恒成立，∴k＝0满足条件．
当k≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝k2－4×2k×\f(3,8)<0，))解得0综上，k的取值范围是[0,3)．
15．函数f(x)＝eq \r(a－lg x)的定义域为(0,10]，则实数a的值为( )
A．0 B．10 C．1 D.eq \f(1,10)
答案 C
解析 由已知，得a－lg x≥0的解集为(0,10]，
由a－lg x≥0，得lg x≤a，
又当0所以a＝1，故选C.
16．国际视力表值(又叫小数视力值，用V表示，范围是[0.1，1.5])和我国现行视力表值(又叫对数视力值，由缪天容创立，用L表示，范围是[4.0,5.2])的换算关系式为L＝5.0＋lg V.
(1)请根据此关系式将下面视力对照表补充完整；
(2)甲、乙两位同学检查视力，其中甲的对数视力值为4.5，乙的小数视力值是甲的2倍，求乙的对数视力值．
(所求值均精确到小数点后面一位数，参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
解 (1)因为5.0＋lg 1.5＝5.0＋lgeq \f(15,10)
＝5.0＋lg eq \f(3,2)＝5.0＋lg 3－lg 2
≈5.0＋0.477 1－0.301 0≈5.2，
所以①应填5.2；
因为5.0＝5.0＋lg V，
所以V＝1，②处应填1.0；
因为5.0＋lg 0.4＝5.0＋lgeq \f(4,10)＝5.0＋lg 4－1
＝5.0＋2lg 2－1≈5.0＋2×0.301 0－1≈4.6，
所以③处应填4.6；
因为4.0＝5.0＋lg V，所以lg V＝－1.
所以V＝0.1.
所以④处应填0.1.
对照表补充完整如下：
(2)先将甲的对数视力值换算成小数视力值，
则有4.5＝5.0＋lg V甲，
所以V甲＝10－0.5，则V乙＝2×10－0.5.
所以乙的对数视力值L乙＝5.0＋lg(2×10－0.5)
＝5.0＋lg 2－0.5≈5.0＋0.301 0－0.5≈4.8.V
1.5
②
0.4
④
L
①
5.0
③
4.0
V
1.5
1.0
0.4
0.1
L
5.2
5.0
4.6
4.0