高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第1课时学案及答案，共15页。

1．初步掌握对数函数的图象和性质．(直观想象、数学抽象)
2．会利用对数函数的单调性比较大小．(逻辑推理、数学运算)
分别求出对数函数y＝lg2x在自变量取18，14，12，1，2，4，8时所对应的函数值(填写下表)，并由此猜测对数函数y＝lg2x的定义域、值域、奇偶性、单调性，尝试说明理由．
知识点 对数函数的图象和性质
对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)的图象的“上升”或“下降”与谁有关？
[提示] 底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．
当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0函数f (x)＝lga(x＋1)的图象必经过定点________．
(0，0) [由x＋1＝1得x＝0，∴f (x)的图象必过定点(0，0)．]
类型1 对数函数的图象问题
【例1】 (1)如图，若C1，C2分别为函数y＝lgax和y＝lgbx的图象，则( )
A．0B．0C．a>b>1
D．b>a>1
(2)若函数y＝lga(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3，2)，则实数b＝________，c＝________．
(3)已知f (x)＝lga|x|(a>0，且a≠1)满足f (－5)＝1，试画出函数f (x)的图象．
(1)B (2)－2 2 [(1)结合图象可知0x1＝a，x2＝b，结合图知b(2)由于函数图象恒过定点(3，2)，故
lga3+b=0，c=2， ∴3+b=1，c=2， ∴b=-2，c=2． ]
(3)[解] 因为f (－5)＝1，所以lga5＝1，即a＝5，
故f (x)＝lg5|x|＝lg5x，x>0，lg5-x，x<0．
所以函数y＝lg5|x|的图象如图所示．
[母题探究]
把本例(3)改为f (x)＝lg2x+1＋2，试作出其图象．
[解] 第一步：作y＝lg2x的图象，如图(1)所示．
(1) (2)
第二步：将y＝lg2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得y＝lg2(x＋1)的图象，如图(2)所示．
第三步：将y＝lg2(x＋1)的图象在x轴下方的部分作关于x轴的对称变换，得y＝|lg2(x＋1)|的图象，如图(3)所示．
第四步：将y＝|lg2(x＋1)|的图象沿y轴向上平移2个单位长度，即得到所求的函数图象，如图(4)所示．
(3) (4)
函数图象的变换规律
(1)一般地，函数y＝f (x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f (x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的．
(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的．一般地，y＝f (|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f (x)|的图象与y＝f (x)的图象在f (x)≥0的部分相同，在f (x)<0的部分关于x轴对称．
[跟进训练]
1．当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
A B C D
C [∵a>1，∴0<1a<1，∴y＝a－x是减函数，y＝lgax是增函数，故选C．]
类型2 比较对数值的大小
【例2】 (源自北师大版教材)比较下列各题中两个数的大小：
(1)lg25.3，lg24.7；
(2)lg0.27，lg0.29；
(3)lg3π，lgπ3；
(4)lga3.1，lga5.2(a>0，且a≠1)．
[解] (1)因为2>1，所以函数y＝lg2x在定义域(0，＋∞)上是增函数．由5.3>4.7，得lg25.3>lg24.7．
(2)因为0<0.2<1，所以函数y＝lg0.2x在定义域(0，＋∞)上是减函数．
由7<9，得lg0.27>lg0.29．
(3)因为3>1，所以函数y＝lg3x在定义域(0，＋∞) 上是增函数．
由π>3，得lg3π>lg33＝1．
同理可得1＝lgππ>lgπ3．
因此lg3π>lgπ3．
(4)当a>1时，函数y＝lgax在定义域(0，＋∞)上是增函数，
此时由3.1<5.2，得lga3.1当0此时由3.1<5.2，得lga3.1>lga5.2．
比较对数值大小的常用方法
(1)同底数的利用对数函数的单调性．
(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．
(3)底数和真数都不同，找中间量．
[跟进训练]
2．比较下列各组值的大小：
(1)lg534与lg543；
(2)lg132与lg152；
(3)lg23与lg54．
[解] (1)法一(单调性法)：对数函数y＝lg5x在(0，＋∞)上是增函数，而34<43，所以lg534法二(中间值法)：因为lg534<0，lg543>0，
所以lg534(2)法一(单调性法)：由于lg132＝1lg213，lg152＝1lg215，
对数函数y＝lg2x在(0，＋∞)上是增函数，
且13>15，所以0>lg213>lg215，
所以1lg213<1lg215，
所以lg132法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝lg13x及y＝lg15x的图象，由图易知：lg132(3)取中间值1，
因为lg23>lg22＝1＝lg55>lg54，
所以lg23>lg54．
类型3 解对数不等式
【例3】 解下列关于x的不等式：
(1)lg17x>lg17(4－x)；
(2)lga(2x－5)>lga(x－1)．
思路导引：观察不等式发现共性 数学抽象 构造函数单调性 脱掉对数
建立新的不等式
[解] (1)由题意可得x>0， 4-x>0，x<4-x，解得0所以原不等式的解集为{x|0(2)当a>1时，原不等式等价于2x-5>0， x-1>0， 2x-5>x-1．解得x>4．
当00， x-1>0， 2x-5解得52综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0 常见的对数不等式的3种类型
(1)形如lgax＞lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．
(2)形如lgax＞b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式，再借助y＝lgax的单调性求解．
(3)形如lgax＞lgbx的不等式，可利用图象求解．
[跟进训练]
3．已知lga12<1，其中a＞0且a≠1，求a的取值范围．
[解] 由lga12<1得lga12(1)当a>1时，有a>12，此时a>1．
(2)当0所以a的取值范围是0，12∪(1，＋∞)．
1．函数y＝lgax的图象如图所示，则实数a的可能取值为( )
A．5 B．15 C．1e D．12
A [由题图可知，a>1，故选A．]
2．函数y＝lg132x-3的定义域是( )
A．32，+∞ B．[2，＋∞) C．32，2 D．32，2
D [依题意0<2x－3≤1，解得323．设a＝lg32，b＝lg52，c＝lg23，则( )
A．a>c>b B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b
D [a＝lg32lg22＝1，由对数函数的性质可知lg524．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是________．
{x|2∴0<2x－4≤10，即2回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．如图，曲线C1，C2，C3，C4分别对应y＝lga1x，y＝lga2x，y＝lga3x，y＝lga4x的图象，你能指出a1，a2，a3，a4以及1的大小关系吗？
[提示] 作直线y＝1，它与各曲线C1，C2，C3，C4的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有a4>a3>1>a2>a1>0．
2．如何解对数不等式lgaf (x)>lgag(x)(a>0，且a≠1)?
[提示] 分01两类分别求解．
当0lgag(x)⇔0当a>1时，lgaf (x)>lgag(x)⇔f (x)>g(x)>0．
3．比较对数值大小的常用方法有哪些？
[提示] (1)单调性法；(2)图象法；(3)中间量法．
课时分层作业(三十五) 对数函数的图象和性质
一、选择题
1．若对数函数y＝lg(a＋1)x(x>0)是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，0) B．(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(0，1)
B [由对数函数的单调性知，a＋1>1，则a>0． 故选B．]
2．已知f (x)＝lg3x，则f 14，f 12，f (2)的大小关系是( )
A．f 14>f 12>f (2)
B．f 14C．f 14>f (2)>f 12
D．f (2)>f 14>f 12
B [因为f (x)＝lg3x是增函数，且14<12<2，故f 143．函数f (x)＝|lg12x|的单调递增区间是( )
A．0，12 B．(0，1]
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
D [f (x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)．故选D．
]
4．(多选)若0A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
BCD [∵y＝lga(x＋5)过定点(－4，0)且单调递减，∴此函数图象不过第一象限．故选BCD．]
5．(多选)(2022·浙江省杭州第二中学期末)已知a＝lg23，b＝ln 2，c＝lg2π，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．b>a B．a>b
C．c>a D．a>c
BC [因为f (x)＝lg2x为单调递增函数，所以lg2π>lg23>1，又因为ln 2<1，所以c>a>b．故选BC．]
二、填空题
6．已知函数f (x)＝lga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的图象恒过定点Q，则Q点坐标是________．
(2，4) [令x－1＝1，即x＝2，则f (x)＝4，即函数图象恒过定点Q(2，4)．]
7．函数y＝lg0.54x-3-1的定义域为________．
34，78 [4x-3>0，4x-3≤12 ，解得34∴定义域为34，78．]
8．如果函数f (x)＝(3－a)x与g(x)＝lgax(a>0，且a≠1)的单调性相同，则实数a的取值范围是________．
(1，2) [由题意可知0<3-a<1，01，a>1，
解得1∴实数a的取值范围是(1，2)．]
三、解答题
9．已知f (x)＝lg3x．
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f (a)[解] (1)作出函数f (x)＝lg3x的图象如图所示．
(2)由图象知：
当0所以所求a的取值范围为010．(多选)以下结论正确的是( )
A．函数y＝lg2x的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝lg2(x－1)＋1
B．函数y＝lg12x和y＝lg2x的图象关于x轴对称
C．函数y＝lg2x与y＝lg21x的图象关于y轴对称
D．函数y＝lg121x与y＝lg2x的图象关于原点对称
AB [利用平移变换和对称变换的定义可判断A、B正确．C中，y＝lg21x＝－lg2x，与y＝lg2x的图象关于x轴对称；D中，y＝lg121x＝lg2x，与y＝lg2x是同一函数．]
11．(多选)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f (x)＝ax与函数g(x)＝－lgbx在同一坐标系中的图象可能是( )

A B C D
AB [∵ab＝1，∴a＝1b．
又∵f (x)＝ax，g(x)＝－lgbx＝lg1bx＝lgax，
∴f (x)与g(x)单调性相同．故选AB．]
12．(多选)若实数a，b满足lga2A．0C．a>b>1 D．0ABC [根据题意，实数a，b满足lga20>lga2，则有0b>1，故C有可能成立；对于D，当00，lgb2<0，lga213．已知函数f (x)＝lg3x，x>0，3x，x≤0， f (f (－1))＝________；若直线y＝a与函数f (x)的图象恒有两个不同的交点，则a的取值范围是________．
－1 (0，1] [∵f (－1)＝3-1＝13，
∴f (f (－1))＝f 13＝lg313＝－1．
函数f (x)的图象如图所示，要使直线y＝a与f (x)的图象有两个不同的交点，则014．已知函数f (x)＝lga(x－1)，g(x)＝lga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数φ(x)＝f (x)＋g(x)的定义域；
(2)试确定不等式f (x)≤g(x)中x的取值范围．
[解] (1)由x-1>0，6-2x>0，解得1＜x＜3，
∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．
(2)不等式f (x)≤g(x)，即为lga(x－1)≤lga(6－2x)，
①当a＞1时，不等式等价于1解得1②当0＜a＜1时，不等式等价于1解得73≤x<3．
综上可得，当a＞1时，不等式的解集为1，73；
当0＜a＜1时，不等式的解集为73，3．
15．若不等式x2－lgmx<0在0，12内恒成立，求实数m的取值范围．
[解] 由x2－lgmx<0，得x2要使x2∵x＝12时，y＝x2＝14，∴只要x＝12时，y＝lgm12 ≥14＝lgmm14，∴12≤m14，即116≤m．
又0即实数m的取值范围是116，1．
x
18
14
12
1
2
4
8
y＝lg2x
a的范围
0a>1
图象
定义域
(0，＋∞)
值域
R
性质
定点
(1，0)，即x＝1时，y＝0
单调性
在(0，＋∞)上是减函数
在(0，＋∞)上是增函数