人教A版高中数学必修第一册第4章4-3-2第2课时换底公式课时学案

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第2课时　换底公式1．掌握换底公式及其推论．(逻辑推理)2．能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．(数学运算)大家可能已经看出，对数值的计算并不容易，比如lg 3，lg 5，log35等．事实上，在没有计算器的时代，人们曾花费了大量的精力，求出一些常用对数的近似值，制成表格以供大家查询使用．这样一来，大家就可以根据已知的值和对数运算法则，求出另一些对数的值，例如，由lg 3≈0.477 1，lg 5≈0.699 0可得出lg 15＝lg 3＋lg 5≈0.477 1＋0.699 0＝1.176 1．但是我们知道，对数的底可以是任意不等于1的正数，那么知道常用对数的值，能不能求出任意对数的值呢？比如，能不能借助lg 3，lg 5的值算出log35的值呢？知识点　对数换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有logab＝logcblogca．换底公式的作用：(1)将不同底对数转换为相同底对数；(2)同底对数相除的运算；(3)将底数转换为常用对数或自然对数计算．1．logab与logba(a>0，a≠1；b>0，b≠1)存在什么关系？[提示]　logab·logba＝1(a>0，a≠1；b>0，b≠1)．2．logambn与logab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)存在什么关系？[提示]　logambn ＝nmlogab(a>0，a≠1，b>0，m≠0，n∈R)．1．化简：log832＝________．53　[log832＝log232log28＝log225log223＝53．]2．已知lg 3＝a，lg 7＝b，则log721＝________．(用a，b表示)a+bb　[log721＝lg21lg7＝lg3+lg7lg7＝a+bb．] 类型1　运用换底公式化简求值【例1】　(源自北师大版教材)计算：(1)log4259＋log23－log0.515；(2)(log32＋log23)2－log32log23－log23log32．[解]　根据对数的换底公式，得(1)log4259＋log23－log0.515＝log2259log24＋log23－log215log20.5＝log253＋log23－log25＝log253×35＝log21＝0．(2)(log32＋log23)2－log32log23－log23log32＝ln2ln3+ln3ln22－ln2ln3·ln2ln3－ln3ln2·ln3ln2＝ln2ln32＋ln3ln22＋2－ln2ln32－ln3ln22＝2．　利用换底公式进行化简求值的原则和技巧[跟进训练]1．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)．[解]　(1)原式＝lg3lg2·lg5lg3·lg16lg5＝lg16lg2＝4lg2lg2＝4．(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝log253+log2252+log235·(log5323+log5222+log52)＝133log25·3log52＝133×3＝13． 类型2　对数运算中的条件求值问题【例2】　(1)若3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log189＝a，18b＝5，求log3645(用a，b表示)．思路导引：(1)3x＝4y＝36 指对互化表示出x，y对数运算求得2x＋1y(2)18b＝5 指对互化 得出blog189＝a 换底公式 得出log3645[解]　(1)∵3x＝4y＝36，∴x＝log336，y＝log436．∴2x＝2log336＝2log3636log363＝2log363＝log369，1y＝1log436＝1log3636log364＝log364．∴2x＋1y＝log369＋log364＝log3636＝1．(2)∵18b＝5，∴b＝log185．又log189＝a，∴log3645＝log1845log1836＝log185+log1891+log182＝a+b2-log189＝a+b2-a．[母题探究]在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解]　∵log189＝a，∴log183＝a2．又log185＝b，∴log915＝log1815log189＝log183+log185log189＝a2+ba＝a+2b2a．　条件求值问题的求解方法带有附加条件的代数式求值问题，需要对已知条件和所求式子进行化简转化，原则上是化为同底的对数，以便利用对数的运算法则．要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式互化进行解题．[跟进训练]2．已知3x＝4y＝6z，求证：1x＋12y＝1z．[证明]　设3x＝4y＝6z＝m(m>0)，则x＝log3m，y＝log4m，z＝log6m．所以1x＝1log3m＝logm3，1y＝1log4m＝logm4，1z＝1log6m＝logm6．故1x＋12y＝logm3＋12logm4＝logm3＋logm412＝logm3＋logm2＝logm(3×2)＝logm6＝1z． 类型3　实际问题中的对数运算【例3】　中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog21+SN，它表示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中SN叫做信噪比．按照香农公式，若不改变信道带宽W，而将信噪比SN从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)(　　)A．20%　　B．23%　　C．28%　　D．50%B　[将信噪比SN从1 000提升至5 000，C大约增加了Wlog21+5 000-Wlog21+1 000Wlog21+1 000＝log25001-log21001log21001＝lg5001lg2-lg1001lg2lg1001lg2≈lg53＝lg1023＝1-lg23≈0.233，所以C大约增加了23%．故选B．]　关于对数运算在实际问题中的应用(1)在与对数相关的实际问题中，先将题目中数量关系理清，再将相关数据代入，最后利用对数运算性质、换底公式进行计算．(2)在与指数相关的实际问题中，可将指数式利用取对数的方法，转化为对数运算，从而简化复杂的指数运算．[跟进训练]3．某化工厂生产一种溶液，按市场需求，杂质含量不能超过0.1%．若初始时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，要使产品达到市场要求，则至少应过滤的次数为(附：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)(　　)A．6　　　B．7　　　C．8　　　D．9C　[设至少需要过滤n次，则0.02×1-13n＝0.001，即23n＝120．所以n lg 23＝lg 120，即n(lg 2－lg 3)＝－lg 20，即n＝-lg10×2lg2-lg3＝1+lg2lg3-lg2≈7.4．又n∈N，所以n≥8．所以至少过滤8次才能使产品达到市场要求．]1．(多选)下列等式正确的有(　　)A．log34＝ln4ln3 B．log34＝lg4lg3C．log34＝1log43 D．log34＝log14log13[答案]　ABC2．log29log23＝(　　)A．12　　　B．2　　　C．32　　　D．92B　[原式＝log39＝log332＝2log33＝2．故选B．]3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝(　　)A．ba　　　B．a+ba　　　C．ab　　　D．a＋bB　[∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝lg6lg2＝lg2+lg3lg2＝a+ba．故选B．]4．已知2a＝5b＝10，则1a＋1b＝________．1　[∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴1a＝log102＝lg 2，1b＝lg 5，∴1a＋1b＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．对数有哪些运算性质？[提示]　(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；3logabm＝mlogab．其中(a>0且a≠1，M>0，N>0，b>0)2．你能用对数的换底公式证明logNnMm＝mnlogNM吗？[提示]　logNnMm＝lgMmlgNn＝mlgMnlgN＝mnlogNM．3．常见的换底公式变形有哪些？[提示]　(1)logab＝lgblga＝lnblna＝logcblogca其中a>0，b>0，c>0且a≠1，c≠1．(2)logab·logba＝1(其中a>0，且a≠1，b>0, 且b≠1)．指数的换底公式很多关于大数的故事里(例如“棋盘上的学问”“64片金片在3根金针上移动”)都涉及264这个数．(1)你能用64个2相乘算出它的值吗？(2)你会用计算器得出它的结果吗？(3)如果恰好你手头没有计算器，又需要你马上估计出它的值，你有什么办法？分析　(1)如果你愿意不厌其烦地计算，可以得出264＝18 446 744 073 709 551 616．(2)使用科学计算器，可以算出264≈1.844 674 407×1019．(3)若把264换成以10为底的幂，则便于估计它的值．怎么转换呢？根据指数函数的性质，对于数2一定存在唯一的常数α，使得2＝10α(如图)．由对数的概念，得α＝lg 2．因而264＝1064α＝1064lg 2≈1064×0.301 0＝1019.264．也就是说，264是1019和1020之间的数．因此，264秒大概是5 849亿年，而太阳的寿命大约是100亿年．一般地，对于任意不为1的正数a和b，有a＝blogba，所以对任意的实数α，都有aα＝bαlogba．这就是指数的换底公式．例如，可以用上述公式把以3为底的幂转换为以10或以e为底的幂：35＝105lg 3，35＝e5ln 3．课时分层作业(三十三)　换底公式一、选择题1．化简log832的值为(　　)A．12　　　B．2　　　C．4　　　D．53D　[∵log832＝log232log28＝log225log223＝53．故选D．]2．已知2x＝3y≠1，则xy＝(　　)A．lg 23 B．lg 32C．log32 D．log23D　[令2x＝3y＝k(k>0且k≠1)，所以x≠y≠0，x＝log2k，y＝log3k，故xy＝log2klog3k＝logk3logk2＝log23．]3．(2022·天津高考)化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　)A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．6B　[原式＝2×12log23+13log23log32+12log32＝43log23×32log32＝2．故选B．]4．(2022·山东临沂二十四中月考)若5x＝2，lg 2≈0.301 0，则x的值约为(　　)A．0.431　　　B．0.430　　　C．0.429　　　D．2.322A　[由5x＝2得x＝log52＝lg2lg5＝lg2lg102＝lg21-lg2≈0.301 01-0.301 0≈0.431．故选A．]5．(2022·贵州凯里一中期中)某品牌计算器在计算logab时需按“log(a，b)”．某生在计算logab时(其中a>1且b>1)顺序弄错，误按“log(b，a)”，所得结果为正确值的4倍，则(　　)A．a＝2b B．b＝2aC．a＝b2 D．b＝a2C　[由题意得logba＝4·logab，∴lnalnb＝4lnblna，即(ln a)2＝(2ln b)2，由于a>1且b>1，∴ln a＝2ln b，即a＝b2．故选C．]二、填空题6．若logab·log3a＝4，则b＝________．81　[∵logab·log3a＝4，∴lgblga·lgalg3＝4，即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81．]7．(2022·北京牛栏山一中月考)计算：lg 3·log32＋lg 5＝________．1　[lg 3·log32＋lg 5＝lg 3·lg2lg3＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1．]8．计算：log2125·log318·log519＝________．－12　[原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝-2lg5·-3lg2·-2lg3lg2·lg3·lg5＝－12．]三、解答题9．(2022·江苏南京师大附中期中)化简求值(需要写出计算过程)(1)若100a＝4，10b＝25，求2a＋b的值；(2)827-23+eln2＋log142－log332·log23．[解]　(1)100a＝4⇒a lg 100＝lg 4⇒2a＝lg 4，10b＝25⇒b＝lg 25，得2a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2．(2)原式＝233·-23+2+log2-2212－log325·log23＝23-2＋2－14－5＝94－134＝－1．10．已知log23＝a，则下列能化简为a1+2a的是(　　)A．log83 B．log183C．log186 D．log123B　[对于A，log83＝log233＝13log23＝13a，A错误；对于B，log183＝log23log218＝log23log22+2log23＝log231+2log23＝a1+2a，B正确；对于C，log186＝log26log218＝log22+log23log22+2log23＝1+log231+2log23＝1+a1+2a，C错误；对于D，log123＝log23log212＝log232log22+log23＝log232+log23＝a2+a，D错误．故选B．]11．数学家欧拉曾得到这样的结论：小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈xlnx．根据欧拉得出的结论，可估计105以内的素数的个数为(　　)(注：素数即质数，lg e≈0.434 3)A．2 172 B．4 343C．869 D．8 686D　[π(105)≈105ln105＝1055ln10＝2×104ln10＝2×104×lg e≈2×104×0.434 3＝8 686．故选D．]12．(多选)设a，b，c都是正数，且4a＝6b＝9c，那么(　　)A．ab＋bc＝2ac B．ab＋bc＝acC．2c＝2a＋1b D．1c＝2b－1aAD　[由题意，设4a＝6b＝9c＝k(k>0，k≠1)，则a＝log4k，b＝log6k，c＝log9k，对于选项A，由ab＋bc＝2ac，可得bc＋ba＝2，因为bc＋ba＝log6klog9k＋log6klog4k＝logk9logk6＋logk4logk6＝log69＋log64＝log636＝2，故A正确，B错误；对于选项C，2a＋1b＝2log4k＋1log6k＝2logk4＋logk6＝logk96，2c＝2log9k＝2logk9＝logk81，故2c≠2a＋1b，即C错误；对于选项D，2b－1a＝2log6k－1log4k＝2logk6－logk4＝logk9，1c＝1log9k＝logk9，故1c＝2b－1a，即D正确．故选AD．]13．(2022·上海市市西中学期中)记lg 2 ＝a，10b＝3，则log1220可用a，b表示为________．a+12a+b　[由10b＝3，得b＝lg 3．因为lg 2＝a，所以log1220＝lg20lg12＝lg2+lg10lg3+lg4＝lg2+1lg3+2lg2＝a+12a+b．]14．已知地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R＝23(lg E－11.4)．若A地地震级别为9.0级，B地地震级别为8.0级，求A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的多少倍．[解]　由R＝23(lg E－11.4)，得32R＋11.4＝lg E，故E＝1032R+11.4．设A地和B地地震释放的能量分别为E1，E2，则E1E2＝1032 ×9+11.41032 ×8+11.4＝1010，即A地地震释放的能量是B地地震释放的能量的1010倍．15．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)．(1)若设x＝at，试用a，t表示y；(2)若当01)，所以logay＝(logax)2－3logax＋3．当x＝at时，logax＝logaat＝t，所以logay＝t2－3t＋3．所以y＝at2－3t＋3 ( t≠0)．(2)y＝at-322+34，因为01，所以当t＝32时，ymin＝a34＝8．所以a＝16，此时x＝1632＝64．